12. Lengths and areas

Perímetro y área de una figura plana / Perimeter and area of a shape.
Cálculo de medidas indirectas / Indirect measurements
Identificación de triángulos rectángulos.
Área del rectángulo y del cuadrado. Área del paralelogramo y del triángulo. Área del trapecio. Área de polígonos regulares. Triangulación de un polígono. Área de un polígono irregular.
Longitud de una circunferencia. Longitud de un arco de circunferencia.
Área del círculo. Área de una corona circular. Área de un sector circular.
Cálculo de áreas por composición.

Situación de aprendizaje

Dibuja todos los tetraminós posibles.
Mira este vídeo sobre una aplicación práctica/lúdica de los tetraminós.
Imagina que eres tan pequeño que puedes caminar alrededor de ellos. ¿En cuál sería la vuelta más corta? Ordénalos siguiendo ese criterio.
¿Cuántos pentominós existen? ¿Dibújalos todos y calcula sus perímetros?

Perimeter

The perimeter of a polygon is the sum of the length of all its sides.

Calculate the perimeter of each of the following shapes (1 little square = 0.5 cm):

area

Area is a quantity that expresses the extent of a two-dimensional surface or shape in the plane. [1]

El área se suele medir, como sabes, en unidades cuadradas (km2, m2, cm2...). Para conocer el área de una figura en una determinada unidad hay que calcular cuantas de esas unidades caben, exactamente, en su interior. Así pues, vamos a contar cuadritos.

Calcula el área de las figuras anteriores.

Some well known areas

Área of a rectangle: area = length x width

¿Qué superficie tiene un campo de fútbol que mide 80m de ancho y 100m de largo?

Área of a triangle: area = = 1/2 × base × height

Calculate the area of the following triangles:

You can transform a parallelogram in a rectangle by moving a triangle.

So that, its area is the area of a rectangle with the same base and height.

Calculate the area of each parallelogram below:

Para determinados polígonos más complejos, los dividiremos en otros más pequeños cuyas áreas podamos calcular.

Find the area of each of these shapes:

Find the area of these polygons:

Área de figuras irregulares

Algunas veces los cuadritos no pueden contarse completamente porque la figura es irregular. En ese caso tenemos que hacer una estimación como verás en el siguiente ejemplo:

Queremos calcular el área de la siguiente figura:

Primero contamos los cuadritos que caben completamente dentro de ella.

Son 19, luego el área de la figura es mayor que 19.

Luego contamos los cuadritos que contienen la parte de la figura que no hemos contado.

Son 24. Esto es, el área de la figura sería más pequeña que 19 + 24, porque esos 24 cuadritos contienen, cada uno, sólo un trozo de la figura.

Para terminar podemos dar como estimación del área los 19 cuadritos iniciales, más la mitad de los otros 24, es decir, 19 + 12 = 31 cuadritos.

Si cada cuadrito representase un metro cuadrado, diríamos que el área de esa figura es, aproximadamente, 31 m2.

Otra forma de enfocarlo sería tomar un valor entre el recinto exterior y el interior: el exterior sería el que contiene a todos los cuadritos (amarillos y azules), con un total de 19+24 = 43; el interior, es el azul, con 19 cuadritos. Sabemos, entonces, que 19 < A < 43, así que podemos tomar como aproximación de A la media entre esos dos números: A ≈ (19 + 43)/2 = 31. Como ves, el resultado es el mismo.

These shapes were drawn on centimetre-squared paper. By counting squares, estimate the area of each of them, giving your answers in square centimetres.

Ejercicio: dibuja la palma de tu mano en tu libreta y haz una estimación de su área.

Circular shapes

Perimeter of a circle = 2πr

Area of a circle = πr²

Halla el área de la zona sombreada de rojo.

¿Es más grande la zona amarilla o la zona azul?

¿Qué área tienen, si el cuadrado tiene lado 1?

¿Qué área es más grande, la azul o la amarilla? Calcula el área de la zona azul, si el círculo tiene radio 1.

¿Qué zona es más grande, la azul o la blanca?

Calcula el área de la zona azul en un cuadrado de lado 1.

¿Qué parte es mayor, la azul o la roja?

¿Qué fracción de cada círculo está sombreada?

Los 12 puntos de cada círculo están igualmente espaciados.

Problemas

A continuación se muestra el plano de una cocina cuyo suelo se desea cambiar (parte amarilla). Si las losetas son cuadradas, de 40 cm de lado y tienen un precio de 1,5 € cada una. ¿Cuánto costará hacer la reforma?

2. Observa un plano a escala de la Plaza del Carmen. Se desea estimar el aforo para un evento organizado por el Ayuntamiento. Teniendo en cuenta una densidad de una persona por m2, que habrá un escenario rectangular de 12 m x 7 m y que no se puede ocupar la calle Reyes Católicos por motivos de seguridad:

a) Haz un dibujo de la Plaza en tu libreta, teniendo en cuenta la cuadrícula que se muestra.

b) Calcula el aforo de la plaza.

3. How much will it cost to buy enough carpet for a rectangular room 12 m by 5 m, if the carpet costs £13.99 per square metre?

4. A tree is in the middle of a garden. Around the tree there is a square region where nothing will be planted. The dimensions of the garden are shown in the diagram. How much area can be planted?

5. A map of an island is shown on the centimetre grid. The scale is 1 cm represents 1 km. Estimate the area of the island.

6. Calculate the area of this shape:

7. Calculate the area of the following Sierpinsky triangles (Data: the base is 16 cm and the height of the big triangle is 12 cm).

8. Un entrenador ha castigado a un futbolista que ha llegado tarde al entrenamiento con 10 vueltas al campo de fútbol. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido el díscolo futbolista cuando termine su castigo si tenemos en cuenta que el campo tiene 100 m de largo y 80 m de ancho?

9. Se desea pintar las pistas polideportivas del Instituto. Para ello se comprará pintura especial que tiene un rendimiento de ...

10. Un agricultor quiere comprar un plaguicida para sus tomates. Si debe usarse una cantidad de 500 g por hectárea, ¿cuántas bolsas de 3 kg tiene que comprar si sus tomates ocupan una extensión de 36.500 m²?

11. Se quiere organizar un concierto en el campo de fútbol sala del Instituto. ¿Cuántas entradas habría que vender si descontamos el espacio que ocupa una barra para vender bebidas y el escenario? ¿Qué beneficio se obtendría si el artista cobra 3000 euros por la actuación y vendemos cada entrada a 20 €?

12. Explica esto (paradoja de los rectángulos de distinta superficie).

13. Solve the following problems related to area.

14. Un día de lluvia se calculó que en una zona habían caído 71 litros por metro cuadrado. Calcula los litros de agua que cayeron en una finca de 3 hectáreas.

6. En cada una de las siguientes frases, indica de qué magnitud se trata y la unidad de medida que se utiliza:

a) El petrolero era más largo que 3 campos de fútbol.

b) Al depósito de mi coche le cabe mucha gasolina.

c) My TV is 40'' long.

d) Un elefante pesa 10 veces más que un toro.

e) The weight of Gasol is about 250 lbs.

_____

[1] From the Wikipedia.

[2] Word problems and some graphics from GCSE Maths.

Refuerzo

Área de un paralelogramo.

Anexo: Saberes básicos implicados en esta unidad

B. Sentido de la medida

MAT.3.B.1. Magnitud

MAT.3.B.1.1. Atributos mensurables de los objetos físicos y matemáticos: reconocimiento, investigación y relación entre los mismos.

MAT.3.B.1.2. Estrategias de elección de las unidades y operaciones adecuadas en problemas que impliquen medida.

MAT.3.B.2. Medición

MAT.3.B.2.1. Longitudes, áreas y volúmenes en figuras planas y tridimensionales: deducción, interpretación y aplicación.

MAT.3.B.2.2. Representaciones planas de objetos tridimensionales en la visualización y resolución de problemas de áreas.

MAT.3.B.2.3. Representaciones de objetos geométricos con propiedades fijadas, como las longitudes de los lados o las medidas de los ángulos.

MAT.3.B.2.4. La probabilidad como medida asociada a la incertidumbre de experimentos aleatorios.

MAT.3.B.3. Estimación y relaciones

MAT.3.B.3.1. Formulación de conjeturas sobre medidas o relaciones entre las mismas basadas en estimaciones.

MAT.3.B.3.2. Estrategias para la toma de decisión justificada del grado de precisión requerida en situaciones de medida.

F. Sentido socioafectivo

MAT.3.F.1. Creencias, actitudes y emociones

MAT.3.F.1.1. Gestión emocional: emociones que intervienen en el aprendizaje de las matemáticas. Autoconciencia y autorregulación.

MAT.3.F.1.2. Estrategias de fomento de la curiosidad, la iniciativa, la perseverancia y la resiliencia en el aprendizaje de las matemáticas.

MAT.3.F.1.3. Estrategias de fomento de la flexibilidad cognitiva: apertura a cambios de estrategia y transformación del error en oportunidad de aprendizaje.

MAT.3.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones

MAT.3.F.2.1. Técnicas cooperativas para optimizar el trabajo en equipo y compartir y construir conocimiento matemático.

MAT.3.F.2.2. Conductas empáticas y estrategias de la gestión de conflictos.

MAT.3.F.3. Inclusión, respeto y diversidad

MAT.3.F.3.1. Actitudes inclusivas y aceptación de la diversidad presente en el aula y en la sociedad.

MAT.3.F.3.2. La contribución de las matemáticas al desarrollo de los distintos ámbitos del conocimiento humano desde una perspectiva de género.

MAT.3.F.3.3. Reconocimiento de la contribución de la cultura andaluza, en los diferentes periodos históricos y en particular del andalusí, al desarrollo de las matemáticas

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