Continuidad y discontinuidades

Observa las dos siguientes gráficas:

Se trata de las gráficas de y de , respectivamente.

¿Qué diferencias encuentras entre ellas?

Quizás la primera que salta a la vista es que la primera tiene dos trazos y la segunda, sólo uno.

Pues la continuidad es un concepto clave en las funciones y tiene esta sencilla explicación: si su gráfica puede dibujarse con un solo trazo, la función es continua.

Las funciones que no son continuas tienen discontinuidades que pueden ser de varios tipos:

De salto finito. Para pasar de un trozo a otro de la función sólo hace falta subir o bajar un pequeño escalón.

De salto infinito. La distancia entre los dos trozos separados por la discontinuidad es infinita.

Evitable. Es una situación peculiar que se da cuando a la gráfica le hace falta sólo añadir o mover un punto para que sea continua. El nombre de evitable viene de que podría evitarse fácilmente redefiniendo la imagen de ese punto en la función.

Cuando tenemos las funciones expresadas analíticamente (por su fórmula), hay que tener en cuenta lo siguiente:

Las funciones polinómicas son continuas en todos los números reales.
Las funciones racionales son continuas en su dominio, esto es, en todos los números excepto aquellos donde el denominador se hace cero. En esos puntos puede haber una discontinuidad evitable o una de salto infinito.
Las irracionales también son continuas en su dominio, excepto en un punto, el que hace cero el radicando.

Ejercicio

Explica si las siguientes funciones son continuas o no y en caso de encontrar una discontinuidad en determinado punto, explica de qué tipo es.