U2. Powers & roots

Saberes básicos

Temporalización: 7 horas.

• 1. Potencias de exponente entero. Propiedades.

  2. Notación científica. Aplicaciones.

  3. Raíces de números reales.

  4. Operaciones con radicales.

Powers ant its rules

Scientific notation

The weight in kg of the planets in our Solar System is: Mercury (330200000000000000000000 kg), Venus (4869000000000000000000000 kg), Earth (5974000000000000000000000 kg), Mars (641910000000000000000000 kg), Jupiter (1899000000000000000000000000 kg), Saturn (568800000000000000000000000 kg), Uranus (86860000000000000000000000 kg) and Neptune (102400000000000000000000000 kg). Sort them from the lightest to the heaviest.

The weight of the planets in kg in scientific notation is: Mercury 3.302×10²³; Venus 4.869×10²⁴; Earth 5.9736×10²⁴; Mars 6.4185×10²³; Jupiter 1.899×10²⁷; Saturn 5.688·10²⁶; Uranus 8.686×10²⁵; Neptune 1.024×10²⁶; so, if you sort these numbers, you get:

Mercurio < Marte < Venus < Tierra < Urano < Neptuno < Saturno < Júpiter

Do you think they will all weigh more than the Sun?

To know more: How do they weigh the planets?, on NASA web site.

Powers

A power is a way to write repeated multiplication.

• Base (a): the number being multiplied.

• Exponent (n): how many times the base is multiplied by itself.

Examples:

Fractional Bases

The base can be also a fraction, but the definition remains the same.

Integer exponents

Rules of powers

Activities about powers

Calculate the following powers:

Square roots

Remember than the square root of a number is a value that can be multiplied by itself to give the original number. For example, the square root of 16 is 4, because 4² = 16.

Given that, the square root of any negative number doesn't exist because the square of any integer is positive. 

For example 10² = 100 and (-10)² = 100, so √(-100) doesn't exist. There is a symbol in mathematics to express "It doesn't exist", it is 

More Activities

1. Which is the next number in this sequence? 1, 4, 9, 16, 25, ... Those numbers are called SQUARED NUMBERS or PERFECT SQUARES. Write all the square numbers smaller than 500.

2. Write down the positive square root of each of these numbers: 4, 25, 49, 1, 81, 100, 64, 9, 36, 16, 121, 144, 400, 900 and 169.

3. Which is the value of 6 squared? And 5 cubed?

4. Work out the following powers of 10: 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶. Guess the answer of 10¹⁰⁰. You can use words to describe it. This number is called "googol".

5. Apply the rules of powers to find the prime factor decomposition of a googol.

6. Without using a calculator, could you say which number is larger, if 2²⁴ or 20 000 000?

7. The IP address of a computer on the Internet consists of four numbers, between 0 and 255, separated by dots. It's like the ID number (DNI, in Spanish) of every machine that connects to the Internet. For example: 168.45.123.35. How many computers can connect to the Internet before this system has to be changed?

8. Rewrite using powers, when possible and then, calculate the final result: 2·2·2·2, 3·3·3·3·3, 3·3·5·3, 5+5+5, 23 · 24, 75 : 74

9. Calculate:

   • 2 - 3²

   • (-3)²+2

   • 2¹⁰ • 5¹⁰

   • 732658⁰

   • 1+(3 - 5)³

   • -3⁴

   • (-2)⁴

10. Which of the following numbers is a perfect square. if they are not, between which two integers their square root lies: 6, 25, 64, 72, 1024

11. What is the biggest number you can write using just three nines?

12. The magic beanstalk doubles its size every day, reaching 1024 meters in 10 days. How many days will it take to reach half of that height?

13. Calculate the square of 111 111 111. Do you notice something special?

14. If a person spreads a rumor on Instagram to their 20 followers at 4 PM, and every hour, every person who reads the tweet for the first time retweets it. How many people will have read the tweet by 12 AM, assuming an average of 20 followers per Instagram account?"

15. How much does one trillion protons weigh? Mass of a proton = 0.000 000 000 000 000 000 000 000 001 7 kg

Criterios de evaluación asociados a esta unidad

Criterios de evaluación: MAT.1.1.1, MAT.1.1.2, MAT.1.1.3, MAT 1.2.1., MAT 1.2.2., MAT.1.6.1, 

Saberes básicos: MAT.3.A.2.1, MAT.3.A.2.3, MAT.3.B.2.4, MAT.3.E.1.2, MAT.3.E.2.1, MAT.3.A.3.1, MAT.3.B.1.2, MAT.3.D.4.2, MAT.3.E.2.3, MAT.3.A.2.2, MAT.3.A.3.4, MAT.3.E.1.6, MAT.3.F.1.3, MAT.3.A.1.2, MAT.3.A.5.1, MAT.3.A.5.2, MAT.3.B.2.1, MAT.3.B.2.2, MAT.3.B.2.3, MAT.3.C.1.1, MAT.3.E.1.1, MAT.3.E.2.3, MAT.3.E.3.1

Criterios de evaluación (todos)

Competencia específica: MAT.1.1.Interpretar, modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y propios de las matemáticas, aplicando diferentes estrategias y formas de razonamiento, para explorar distintas maneras de proceder y obtener posibles soluciones.

MAT.1.1.1.Iniciarse en la interpretación de problemas matemáticos sencillos, reconociendo los datos dados, estableciendo, de manera básica, las relaciones entre ellos y comprendiendo las preguntas formuladas.

Saberes básicos: MAT.3.A.2.1. MAT.3.A.2.3. MAT.3.B.2.4. MAT.3.E.1.2. MAT.3.E.2.1.

MAT.1.1.2.Aplicar, en problemas de contextos cercanos de la vida cotidiana, herramientas y estrategias apropiadas, como pueden ser la descomposición en problemas más sencillos, el tanteo, el ensayo y error o la búsqueda de patrones, que contribuyan a la resolución de problemas de su entorno más cercano.

Saberes básicos: MAT.3.A.3.1. MAT.3.B.1.2. MAT.3.D.4.2. MAT.3.E.2.3.

MAT.1.1.3.Obtener las soluciones matemáticas en problemas de contextos cercanos de la vida cotidiana, activando los conocimientos necesarios, aceptando el error como parte del proceso.

Saberes básicos: MAT.3.A.2.2. MAT.3.A.3.4. MAT.3.E.1.6. MAT.3.F.1.3.

Competencia específica: MAT.1.2.Analizar las soluciones de un problema usando diferentes técnicas y herramientas, evaluando las respuestas obtenidas, para verificar su validez e idoneidad desde un punto de vista matemático y su repercusión global.

MAT.1.2.1.Comprobar, de forma razonada la corrección de las soluciones de un problema, usando herramientas digitales como calculadoras, hojas de cálculo o programas específicos.

Saberes básicos: MAT.3.A.3.5. MAT.3.D.4.4. MAT.3.D.5.3

MAT.1.2.2.Comprobar, mediante la lectura comprensiva, la validez de las soluciones obtenidas en un problema comprobando su coherencia en el contexto planteado y evaluando el alcance y repercusión de estas soluciones desde diferentes perspectivas: igualdad de género, sostenibilidad, consumo responsable, equidad o no discriminación.

Saberes básicos: MAT.3.A.6.2. MAT.3.B.3.2. MAT.3.F.3.2.

Competencia específica: MAT.1.3.Formular y comprobar conjeturas sencillas o plantear problemas de forma autónoma, reconociendo el valor del razonamiento y la argumentación, para generar nuevo conocimiento.

MAT.1.3.1.Formular y comprobar conjeturas sencillas en situaciones del entorno cercano, de forma guiada, trabajando de forma individual o colectiva la utilización del razonamiento inductivo para formular argumentos matemáticos, analizando patrones, propiedades y relaciones.

Saberes básicos: MAT.3.A.3.3. MAT.3.B.1.1. MAT.3.B.3.1. MAT.3.D.4.3.

MAT.1.3.2.Plantear, en términos matemáticos, variantes de un problema dado, en contextos cercanos de la vida cotidiana, modificando alguno de sus datos o alguna condición del problema, enriqueciendo así los conceptos matemáticos.

Saberes básicos: MAT.3.D.5.2. MAT.3.D.6.1.

MAT.1.3.3.Emplear herramientas tecnológicas adecuadas, calculadoras o software matemáticos como paquetes estadísticos o programas de análisis numérico en la investigación y comprobación de conjeturas o problemas.

Saberes básicos:MAT.3.C.1.3. MAT.3.E.3.2.

Competencia específica: MAT.1.4.Utilizar los principios del pensamiento computacional organizando datos, descomponiendo en partes, reconociendo patrones, interpretando, modificando y creando algoritmos para modelizar situaciones y resolver problemas de forma eficaz.

MAT.1.4.1.Reconocer patrones en la resolución de problemas sencillos, organizar datos y descomponer un problema en partes más simples, facilitando su interpretación computacional y relacionando los aspectos básicos de la informática con las necesidades del alumnado.

Saberes básicos: MAT.3.A.1.1. MAT.3.A.4.4. MAT.3.D.6.2. MAT.3.D.6.3.

MAT.1.4.2.Modelizar situaciones del entorno cercano y resolver problemas sencillos de forma eficaz, interpretando y modificando algoritmos, creando modelos de situaciones cotidianas.

Saberes básicos: MAT.3.C.4.1. MAT.3.D.1.1. MAT.3.D.2.1.

Competencia específica: MAT.1.5.Reconocer y utilizar conexiones entre los diferentes elementos matemáticos interconectando conceptos y procedimientos para desarrollar una visión de las matemáticas como un todo integrado.

MAT.1.5.1.Reconocer y usar las relaciones entre los conocimientos y experiencias matemáticas de los bloques de saberes formando un todo coherente, reconociendo y utilizando las conexiones entre ideas matemáticas en la resolución de problemas sencillos del entorno cercano.

Saberes básicos: MAT.3.A.3.2. MAT.3.C.1.2. MAT.3.C.2. MAT.3.E.1.5.

MAT.1.5.2.Realizar conexiones entre diferentes procesos matemáticos sencillos, aplicando conocimientos y experiencias previas y enlazándolas con las nuevas ideas.

Saberes básicos: MAT.3.A.2.5. MAT.3.A.4.1. MAT.3.C.3. MAT.3.E.2.2.

Competencia específica: MAT.1.6.Identificar las matemáticas implicadas en otras materias, en situaciones reales y en el entorno, susceptibles de ser abordadas en términos matemáticos, interrelacionando conceptos y procedimientos, para aplicarlos en situaciones diversas.

MAT.1.6.1.Reconocer situaciones en el entorno más cercano susceptibles de ser formuladas y resueltas mediante herramientas y estrategias matemáticas, estableciendo conexiones entre el mundo real y las matemáticas y usando los procesos inherentes a la investigación científica y matemática: inferir, medir, comunicar, clasificar y predecir, aplicando procedimientos sencillos en la resolución de problemas.

Saberes básicos: MAT.3.A.1.2. MAT.3.A.5.1. MAT.3.A.5.2. MAT.3.B.2.1. MAT.3.B.2.2. MAT.3.B.2.3. MAT.3.C.1.1. MAT.3.E.1.1. MAT.3.E.2.3. MAT.3.E.3.1.

MAT.1.6.2.Analizar conexiones coherentes entre ideas y conceptos matemáticos con otras materias y con la vida real y aplicarlas mediante el uso de procedimientos sencillos en la resolución de problemas en situaciones del entorno cercano.

Saberes básicos: MAT.3.A.6.1 MAT.3.C.4.2 MAT.3.D.2.2 MAT.3.D.4.1

MAT.1.6.3.Reconocer en diferentes contextos del entorno más cercano, la aportación de las matemáticas al progreso de la humanidad y su contribución a la superación de los retos que demanda la sociedad actual, identificando algunas aportaciones hechas desde nuestra comunidad.

Saberes básicos: MAT.3.E.3.3 MAT.3.F.3.2. MAT.3.F.3.3.

Competencia específica: MAT.1.7.Representar, de forma individual y colectiva, conceptos, procedimientos, información y resultados matemáticos, usando diferentes tecnologías, para visualizar ideas y estructurar procesos matemáticos.

MAT.1.7.1.Representar conceptos, procedimientos, información y resultados matemáticos usando herramientas digitales sencillas, y formas de representación adecuadas para visualizar ideas y estructurar procesos matemáticos, interpretando y resolviendo problemas del entorno cercano y valorando su utilidad para compartir información.

Saberes básicos: MAT.3.A.2.4. MAT.3.A.4.2. MAT.3.E.1.2. MAT.3.E.1.3.

MAT.1.7.2.Esbozar representaciones matemáticas utilizando herramientas de interpretación y modelización como expresiones simbólicas o gráficas que ayuden en la búsqueda de estrategias de resolución de una situación problematizada.

Saberes básicos: MAT.3.A.5.3. MAT.3.E.1.4. MAT.3.E.1.7. 

Competencia específica: MAT.1.8.Comunicar de forma individual y colectiva conceptos, procedimientos y argumentos matemáticos, usando lenguaje oral, escrito o gráfico, utilizando la terminología matemática apropiada, para dar significado y coherencia a las ideas matemáticas.

MAT.1.8.1.Comunicar ideas, conceptos y procesos sencillos, utilizando el lenguaje matemático apropiado, empleando diferentes medios, incluidos los digitales, oralmente y por escrito, al describir, explicar y justificar sus conocimientos matemáticos.

Saberes básicos: MAT.3.D.3. 

MAT.1.8.2.Reconocer y emplear el lenguaje matemático presente en contextos cotidianos de su entorno

personal, expresando y comunicando mensajes con contenido matemático y utilizando terminología matemática adecuada con precisión y rigor.

Saberes básicos: MAT.3.A.4.3. MAT.3.D.5.1.

Competencia específica: MAT.1.9.Desarrollar destrezas personales, identificando y gestionando emociones, poniendo en práctica estrategias de aceptación del error como parte del proceso de aprendizaje y adaptándose ante situaciones de incertidumbre, para mejorar la perseverancia en la consecución de objetivos y el disfrute en el aprendizaje de las matemáticas.

MAT.1.9.1.Gestionar las emociones propias y desarrollar el autoconcepto matemático como herramienta, generando expectativas positivas en la adaptación, el tratamiento y la gestión de retos matemáticos y cambios en contextos cotidianos de su entorno personal e iniciándose en el pensamiento crítico y creativo.

Saberes básicos: MAT.3.F.1.1.

MAT.1.9.2.Mostrar una actitud positiva y perseverante, aceptando la crítica razonada, analizando sus limitaciones y buscando ayuda al hacer frente a las diferentes situaciones de aprendizaje de las matemáticas.

Saberes básicos: MAT.3.F.1.2. MAT.3.F.1.3.

Competencia específica: MAT.1.10.Desarrollar destrezas sociales, reconociendo y respetando las emociones y experiencias de los demás, participando activa y reflexivamente en proyectos en equipos heterogéneos con roles asignados, para construir una identidad positiva como estudiante de matemáticas, para fomentar el bienestar personal y grupal y para crear relaciones saludables.

MAT.1.10.1. Colaborar activamente y construir relaciones saludables en el trabajo de las matemáticas en equipos heterogéneos, respetando diferentes opiniones, iniciándose en el desarrollo de destrezas: de comunicación efectiva, de planificación, de indagación, de motivación y confianza en sus propias posibilidades y de pensamiento crítico y creativo, tomando decisiones y realizando juicios informados.

Saberes básicos: MAT.3.F.2.1. MAT.3.F.2.2.

MAT.1.10.2. Participar en el reparto de tareas que deban desarrollarse en equipo, aportando valor, asumiendo las normas de convivencia, y aplicándolas de manera constructiva, dialogante e inclusiva, reconociendo los estereotipos e ideas preconcebidas sobre las matemáticas asociadas a cuestiones individuales y responsabilizándose de la propia contribución al equipo.

Saberes básicos: MAT.3.F.2.1. MAT.3.F.3.1.

Preguntas del examen (U1 & U2)

1. Operations with fractions (+, -, x, :, powers). Simplify the results.

2. Sorting real numbers (decimals, fractions, big and small numbers -scientific notation-).

3. Turn decimals into fractions and viceversa.

4. Match (unir con flechas, mainly powers, mental calculation).

5. Absolute error and relative error.

6. Easy problem (scientific notation). Ejemplos: 33, 34, 35 y 36 de la página 43.

7. Problema NDD (ejemplos: 89, 94, 95 y 107 de la página 29 y siguientes).