U4. flat Shapes. Similarity

1. Polígonos (elementos, diagonales, suma de ángulos).

2. Triángulos (puntos y rectas notables).

3. Teorema de Pitágoras (aplicaciones).

4. Circunferencia y círculo (elementos, ángulos en la circunferencia).

5. Longitudes y áreas de polígonos (triángulo, cuadrado, rectángulo, rombo romboide, trapecio, polígono regular de n-lados).

6. Longitudes y áreas de figuras circulares (longitud y área de la circunferencia, longitud de un arco, área de un sector circular y de una corona circular).

Prior knowledge

Check this web for prior knowledge required for this unit.

Also review some concepts about circles.

Triangles and Pythagorean theorem

Resuelve los siguientes problemas gráficos.

What is the ratio of similarity between the biggest and the smallest one? According to that ratio, find out the height of the small card.

Let's practise similarity with the following activity.

Teorema de Thales en Geogebra.

Indirect measurements with similarity

How do you solve a problem using indirect measurement with shadows?

Exercises about indirect measurements using similarity.

La escala de un mapa/The scale of a map

La escala de un mapa no es más que la razón de semejanza entre dos "figuras" semejantes: la realidad y el mapa. Cuando decimos que un mapa está en una escala 1:1 000 000 estamos expresando que la realidad es 1 000 000 de veces más grande que el mapa.

Así pues, para convertir medidas de ese mapa en medidas reales, tendríamos que multiplicarlas por 1 000 000.

La relación entre las medidas en un mapa (M), las medidas en la vida real (R) y el factor de escala (e), vienen dadas por la siguiente fórmula:

M · e = R

Es importante saber que la escala es una medida adimensional. Transforma cm en cm o m en m, pero, en sí misma, carece de unidades.

Ejercicios

1. Draw a map of your bedroom. Escale 1:20.

2. Dibuja el rectángulo más grande posible en tu cuaderno en el que quepan, inscritos, los siguientes dinosaurios.

3. Mira el mapa que hay en tu clase y calcula la distancia en línea recta de Granada a París.

4. Haz un vídeo donde midas la altura de un objeto muy alto. Podrás ganar hasta 3+. Puedes hacerlo en grupo, si lo deseas, de un máximo de 3 componentes.

5. ¿Son semejantes los rectángulos exterior e interior de un marco?

6. If your notebook was a tablet. How many inches would it be?  Remember, 1” = 2,54 cm

7. ¿Cuál es el parque más grande de Granada? Hay quien dice que es el Parque Federico García Lorca y otros, que es el Parque Tico Medina. Búscalos en un mapa y realiza las siguientes tareas:

a) Haz un dibujo a escala en tu cuaderno de los dos. Indica cuál es la escala del mismo.

b) Calcula el perímetro de ambos parques atendiendo a la escala y tu propio dibujo.

c) Calcula el área de los dos parques.

d) Da una respuesta a la pregunta inicial, de acuerdo con tus cálculos.

Relación entre semejanza de figuras y superficie

Observa el campo de Los Cármenes en Google Maps. Calcula su superficie en el mapa y en la realidad. Compara las superficies. ¿Qué pasa?.

Efectivamente, el factor de escala no es el mismo, sino que se ha elevado al cuadrado.

Pensemos ahora en un cubo de Rubik 2x2x2 y otro 3x3x3 hecho con los mismos cubitos. ¿Qué relación existe entre las superficies de sus caras? ¿y entre sus volúmenes? ¿y entre sus pesos? Ten en cuenta que el peso (o la masa, para hablar con propiedad) depende directamente del volumen de los objetos, según la siguiente relación: m = V · d, donde d es la densidad del objeto en cuestión.

1. Calcula el peso de la figura grande de Baymax teniendo en cuenta los datos del dibujo siguiente.

2. Se quiere dibujar en la pared del aula un "Bart Simpson" gigante, que llegue hasta el techo. Se usará como modelo, el siguiente dibujo:

Fractales

Definición.

• Peine de Cantor.

• Dibuja un árbol fractal.

• Dibuja el triángulo de Sierpinski.

• Dibuja el copo de nieve de Koch.

• Dibuja el árbol de Pitágoras.

• Mostrar un fractal en 3D: hidrangea y el que se hace con tijeras.

Links

• Fractals (advanced).

• Semejanza (A. Omatos).

• Profundidad de un pozo con semejanza.

• Brilliant. Problemas muy interesantes.

Soluciones

Teorema de Pitágoras

13 m, 68 cm, 17 cm, 20, 10.5 m, 259.8 cm², 13.86 cm, 86 cm.

Enlaces

• Perimeter and area.

• Twenty Questions (Of Maddening, Delicious Geometry).

Criterios de evaluación y saberes básicos

MAT.1.1.3.Obtener las soluciones matemáticas en problemas de contextos cercanos de la vida cotidiana, activando los conocimientos necesarios, aceptando el error como parte del proceso.

MAT.1.2.1. Comprobar, de forma razonada la corrección de las soluciones de un problema, usando herramientas digitales como calculadoras, hojas de cálculo o programas específicos.

MAT.1.6.1.Reconocer situaciones en el entorno más cercano susceptibles de ser formuladas y resueltas mediante herramientas y estrategias matemáticas, estableciendo conexiones entre el mundo real y las matemáticas y usando los procesos inherentes a la investigación científica y matemática: inferir, medir, comunicar, clasificar y predecir, aplicando procedimientos sencillos en la resolución de problemas.

MAT.1.6.2.Analizar conexiones coherentes entre ideas y conceptos matemáticos con otras materias y con la vida real y aplicarlas mediante el uso de procedimientos sencillos en la resolución de problemas en situaciones del entorno cercano.

MAT.1.7.2.Esbozar representaciones matemáticas utilizando herramientas de interpretación y modelización como expresiones simbólicas o gráficas que ayuden en la búsqueda de estrategias de resolución de una situación problematizada.