Crecimiento y decrecimiento

La siguiente tabla muestra la evolución de la población en Granada (capital), desde el inicio del siglo XX hasta el último censo en 2011 (los censos de población se hacen cada diez años).

Fuente: Instituto Nacional de Estadística.

Representa gráficamente esta tabla usando una escala apropiada. (Abscisas: años; Ordenadas: población).
¿En qué año ha sido mayor la población? ¿Y menor?
Si consideramos sólo el periodo entre 1940 y 1991, ¿en qué años fue mayor la población? ¿y menor? ¿Coinciden estas respuestas con las del apartado anterior?
Escribe en tu cuaderno los periodos en los que la población aumentó y los periodos en los que disminuyó.
De todos los periodos de crecimiento ¿cuál fue el más rápido? Justifica tu respuesta. Haz lo mismo con los periodos de decrecimiento.
¿En el año 1940 la población de Granada estaba creciendo o decreciendo? ¿Y en el año 1960?

Imagina una persona corriendo por la siguiente línea negra:

Hay momentos en los que esa persona sube y otros en los que baja. Pues bien, si esa línea fuese la gráfica de una función, diríamos que la función es creciente en los fragmentos en los que la persona sube, esto es, los trozos anaranjados y en los que baja, los verdes, diríamos que es decreciente.

Nos referimos a los trozos de una función por la parte del eje X que ocupan, por lo que en el ejemplo anterior, que reproducimos a continuación con la escala, tendríamos

Que la gráfica decrece desde que comienza hasta -4; crece desde -4 hasta 2; vuelve a decrecer hasta el 6 y, a partir de ahí, crece indefinidamente.

Hay puntos de la gráfica en los que pasa de crecer a decrecer o viceversa. Son esas montañas y valles que se ven en el siguiente dibujo.

El punto donde está el arbolito (2, 2) está más arriba que todos los que lo rodean a cierta distancia. Ahí hay un máximo de la función. Los puntos donde hay agua (-4, -8) y (6, -2), están más abajo que todos los que los rodean a cierta distancia, se llaman mínimos.

Hay lugares de la gráfica más áltos que el arbolito (por ejemplo, donde está la rama). Por eso al lugar donde está el arbolito se le llama máximo relativo. Por razones similares, al punto (6, -2), donde está el agua de color azul claro, se llama mínimo relativo.

Sin embargo, no hay ningún punto de la gráfica de la función más abajo que el (4, -8). Ahí se dice que hay un mínimo absoluto. De igual modo se define un máximo absoluto como aquel punto de la gráfica que está por encima de todos los demás. En el dibujo del ejemplo no hay ninguno de esos porque suponemos que la gráfica continúa hacia arriba indefinidamente.

De momento encontraremos los máximos y mínimos de una función usando su gráfica, aunque existen métodos analíticos para hacerlo.

Ejercicios

Observa las siguientes gráficas y estudia su crecimiento o decrecimiento y sus máximos o mínimos. Indica también si son relativos o absolutos.

Gráfico de la población de Granada.

Optimización (no entra)

Un millonario excéntrico te propone el siguiente juego:

"Te daré 12 € por cada cm³ que quepa en una caja hecha con este cartón." (El cartón es cuadrado y tiene 60 cm de lado).

Pon un ejemplo de una caja que puedas construir y el dinero que ganarías con ella. Para ello tendrás que averiguar, previamente, su volumen.
Construye una tabla con distintos valores para el "corte" (x) en la primera columna, seguidos del volumen de la caja que se obtendría (y) en otra columna y el dinero que se ganaría con ella en la última.
¿Con cuál de ellos ganarías más dinero?
Averigua la fórmula de la función que proporciona el volumen (y), en función de la longitud del corte (x).
Representa gráficamente esa función usando la web fooplot.com.
Observa las distintas cajas que pueden construirse en esta página web. Responde en tu cuaderno a las preguntas que allí se formulan.