• 1. Razón entre dos números. Proporción. Términos de una proporción. Propiedad fundamental de las proporciones / Ratio and proportions. Extremes and means.

  2. Magnitudes directamente proporcionales. Razón de proporcionalidad. / Directly proportional magnitudes. Constant of proportionality

  3. Construcción de tablas de magnitudes directamente proporcionales. / Building a table of proportionality.

  4. Método de reducción a la unidad. Regla de tres simple directa. / Unitary method. Rule of three.

  5. Porcentajes. Relación entre tanto por ciento, razón y número decimal. / Percentages. Percentages, ratio and decimal numbers connections.

  6. Cálculo de la parte. Cálculo del porcentaje de una cantidad. Cálculo de la cantidad total a la que corresponde un porcentaje. / … Percentage of a quantity. …

  7. Relación entre porcentaje y regla de tres simple directa.

  8. Aumentos porcentuales. Disminuciones porcentuales. / Increases and decreases 

  9. Valoración crítica de informaciones que podamos ver en los medios de comunicación relacionadas con los porcentajes.

Problemas introductorios

Contents

1. Proporción numérica. / Proportion. 

2. Magnitudes directamente proporcionales. Razón de proporcionalidad. / Directly proportional magnitudes. Constant of proportionality

3. Repartos directamente proporcionales. / Directly proportional distributions. 

4. Tanto por ciento o porcentaje. / Percentages. 

5. Variaciones porcentuales. Porcentajes encadenados. / Percent increase and decrease. 

6. Relaciones entre fracciones, decimales y porcentajes. / Fractions, decimals and percentages relationship. 

7. Uso de estas relaciones para elaborar estrategias de cálculo práctico con porcentajes. 

8. Magnitudes inversamente proporcionales. Repartos inversamente proporcionales. / Inverse proportionality.

Actividades de repaso

A continuación verás una lista de actividades. Hay muchos problemas entre ellas. Antes de resolverlos has de tener claro qué es lo que se pide y cuáles son los datos que se ofrecen. Es también de gran ayuda hacer una estimación del resultado cuando sea posible usando una o dos cifras significativas, como se vio en el tema anterior.

Los primeros problemas quizás te resulten demasiado sencillos. Es mejor empezar así.

Problemas de repaso

1. A group of 27 people has gone to a museum. How much do they have to pay if every ticket costs 2.5 €?

2. How much does a Wii cost if two do 288 €?

3. If a box of 37 bracelets costs 11,90 euros, how much is one bracelet?

4. One user can read this message at a spotify list: 4 952 songs, 14 days. Can you explain it?

Directly proportional magnitudes. Constant of proportionality

Introduction: Weight of marbles.

What is the weight of 10 marbles? (Estimation).

What is the weight of 20 marbles? And 30? And 40?

Dos magnitudes son directamente proporcionales (directly proportional magnitudes) si a medida que crece la una, también crece la otra, de manera que sus respectivos valores forman una proporción. Dicho de otro modo: al multiplicar una de las magnitudes por cierto número distinto de cero, la otra también queda multiplicada por el mismo número. La razón entre los valores correspondientes de dos magnitudes directamente proporcionales se llama constante de proporcionalidad.

Kgs and prices from last exercise are directly proportional magnitudes. You get prices multiplying kilograms by 0.6. So 0.6 is the constant of proportionality.

2. Eliana drove her car 100 km and used 5.5 liters of fuel. She wants to know how many kilometers she can drive on 22 liters of fuel. She assumes her car will continue consuming fuel at the same rate. How far can Eliana drive on liters of fuel? Source.

3. Antonio buy 4 workbooks by 6 euros. Paula is going to buy 3 workbooks. How much will they cost? Rubén has 15 euros. How many workbooks can he buy?

4. Have a look at this chocolate cake recipe. Make a list of the ingredientes required for a cake. Calculate the ingredients for making cakes for all the class.

5. If the Earth was the size of one marble (diametre of 1.3 cm). How big would be the Sun? How far would it be from here? (Help: The Planets in our Solar System). 

6. Kwesi is putting on sunscreen. He uses 3 ml to cover 45 cm² of his skin. How many milliliters of sunscreen does Kwesi need to cover 240 cm² of his skin?

7.Vito uses 9 liters of water to water 24 flower pots. He is wondering how many liters of water it would take to water 40 flower pots. 

8. El papiro de Ahmes tiene unas dimensiones de unos 6 m de longitud por 30 cm de anchura. Dibuja el papiro en tu libreta, con unas dimensiones proporcionales a las del objeto real.

Algoritmo para la resolución de la mayoría de los problemas de proporcionalidad

Seguiremos el siguiente ejemplo: Antonio buy 4 workbooks by 6 euros. Paula is going to buy 3 workbooks. How much will they cost? Rubén has 15 euros. How many workbooks can he buy?

1. Plantear las magnitudes que intervienen en una tabla de dos filas.

2. Preguntarse si las magnitudes son directamente proporcionales (al doble de la una, corresponde el doble de la otra).

3. Expresar las cantidades conocidas y la desconocida en forma de proporción.

4. Aplicar la propiedad de la igualdad de fracciones para resolver la incógnita (los productos cruzados deben ser iguales).

5. Aprende más sobre repartos electorales en esta web.

6. 156, 101, 15, 24, 5, 16, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1...

7. Actividad complementaria: elecciones a la mascota del instituto.

13. La brecha salarial en España es del 19.3%. Encuentra el salario medio de un hombre en España y calcula el salario de una mujer por hacer ese mismo trabajo, según el dato anterior.

14. Do the test at the bottom of this webpage.

15. He pagado por todo mi material escolar 72.6 € (IVA del 21% incluido, dato real). ¿Cuánto vale el material sin el IVA? ¿Cuánto me ahorraría si el IVA fuese como el de los libros de texto, de un 4%?

16. Sort all types of numbers (percentages, fractions and decimals) with this game.

17. Una abogada desea cobrar a un cliente 150 euros (IVA incl.), pero para preparar la factura, debe conocer el precio sin IVA. Escribe la factura usando los siguientes conceptos: Importe bruto, IVA (21%), Total (IVA incl.).

18. Si rebajan un 20% un artículo y luego, en unas segundas rebajas, aplican un descuento del 30% sobre el precio inicialmente rebajado... ¿Qué porcentaje de rebaja total me han aplicado sobre el precio original?

19. Observa el siguiente anuncio. ¿Crees que hay algo engañoso en la campaña?

Resumen del cálculo de porcentajes

• Porcentaje de una cantidad: 25% de 30 = 0.25 · 30 = 7.5

• Fracción a porcentaje: 3/4 = 3 : 4 = 0.75 = 75%

• Descuentos: 40€ menos un 30% = 0.70 · 40 = 28 €

• Aumentos: 60€ más un 20% = 60 · 1.20 = 72

• Encadenamientos: 50 más un 10% menos un 30% = 50 · 1.10 · 0.70 = 38.5

• Problemas inversos: 

  • ¿De qué cantidad es 175 su 70%? x · 0.7 = 175; x = 175 : 0.7 = 250.

  • ¿Qué porcentaje me han rebajado si he pagado 40 € por un artículo de 50€? 40/50 = 0.8 = 80%, entonces me han rebajado un 20%

Evaluación

1. Calcular el porcentaje de un número. Por ejemplo, el 25% de 30.

2. Problema de proporcionalidad directa como el siguiente: "Antonio buy 4 workbooks by 6 euros. Paula is going to buy 3 workbooks. How much will they cost? Rubén has 15 euros. How many workbooks can he buy?"

3. Aumentos y disminuciones porcentuales (como el ejercicio 15, más arriba).

4. Convertir una fracción en porcentaje (como el 2 del apartado "Percentages").

5. Problema de repartos directamente proporcionales (vídeo).

Useful and funny links

• The Golden Ratio (BBC).

• La proporción áurea en arquitectura.

• Donald Duck: Mathmagic Land. 

• Slightly related to the golden ratio: SpongeBob Squarepants' house (by Vi Hart). 

• SpongeBob background designer's response (with some proportions in there). 

• And a poscript to above Vi Hart video. 

• Girasoles. Cuenta las espirales de cualquier girasol y encontrarás un número de la sucesión de Fibonacci.

• Three million Spanish workers made less than €1,000 a month in 2014.

• How long would it take you to earn a top footballer’s salary?

• How much of your phone is actually screen?.

• La paradoja de Simpson y los porcentajes.

• Why elections.

• Toda la verdad sobre el día sin IVA.

• ¿Por qué suspendes?

Bilingual activities

Percentages bingo and mental calculation.

Saberes básicos implicados en esta unidad

A. Sentido numérico

MAT.3.A.5. Razonamiento proporcional

MAT.3.A.5.1. Razones y proporciones: comprensión y representación de relaciones cuantitativas.

MAT.3.A.5.2. Porcentajes: comprensión y resolución de problemas.

MAT.3.A.5.3. Situaciones de proporcionalidad en diferentes contextos: análisis y desarrollo de métodos para la resolución de problemas (aumentos y disminuciones porcentuales, rebajas y subidas de precios, impuestos, escalas, cambios de divisas, velocidad y tiempo, etc.).

MAT.3.A.6. Educación Financiera

MAT.3.A.6.1. Interpretación de la información numérica en contextos financieros sencillos.

MAT.3.A.6.2. Métodos para la toma de decisiones de consumo responsable atendiendo a las relaciones entre calidad y precio, y a las relaciones entre valor y precio en contextos cotidianos.

F. Sentido socioafectivo

MAT.3.F.1. Creencias, actitudes y emociones

MAT.3.F.1.1. Gestión emocional: emociones que intervienen en el aprendizaje de las matemáticas. Autoconciencia y autorregulación.

MAT.3.F.1.2. Estrategias de fomento de la curiosidad, la iniciativa, la perseverancia y la resiliencia en el aprendizaje de las matemáticas.

MAT.3.F.1.3. Estrategias de fomento de la flexibilidad cognitiva: apertura a cambios de estrategia y transformación del error en oportunidad de aprendizaje.

MAT.3.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones

MAT.3.F.2.1. Técnicas cooperativas para optimizar el trabajo en equipo y compartir y construir conocimiento matemático.

MAT.3.F.2.2. Conductas empáticas y estrategias de la gestión de conflictos.

MAT.3.F.3. Inclusión, respeto y diversidad

MAT.3.F.3.1. Actitudes inclusivas y aceptación de la diversidad presente en el aula y en la sociedad.

MAT.3.F.3.2. La contribución de las matemáticas al desarrollo de los distintos ámbitos del conocimiento humano desde una perspectiva de género.

MAT.3.F.3.3. Reconocimiento de la contribución de la cultura andaluza, en los diferentes periodos históricos y en particular del andalusí, al desarrollo de las matemáticas