U10. Functions limits. Continuity and asymptotes.

Continuity. Discontinuities.
Limits. Using limits to determine continuity.
Asymptotes.

Continuity, types of discontinuities

Basic definition: A continuous function is function with no jumps, gaps, or undefined points (from Wolframalfa). You can draw the graph of a continuous function without lifting up the pen from the paper.

More formally, we will take the definition from wikipedia:

"In mathematics, a continuous function is a function such that a small variation of the argument induces a small variation of the value of the function. This implies there are no abrupt changes in value, known as discontinuities." (from Wikipedia).

If a function is not continuous, it has discontinuities:

infinite

One limit is infinite

jump

Limits to both sides are different

f(a) = 1

removable

Limits are equal, but it doesn't exist f(a) (or it's different to the limit)

Some special functions

Floor function (parte entera)

Ent es la función "parte entera". Transforma cada número real en el número entero inmediatamente inferior. Si el número es entero, lo deja como está. Por ejemplo:

Ent(3.7) = 3; Ent(-1) = -1; Ent(-2.3) = -3

Mantissa (mantisa)

Mant es la función "mantisa". Se define como Mant (x) = x - Ent(x). Total, que deja al número sólo con su parte decimal. Por ejemplo:

Mant(3.7) = 0.7; Mant(-1) = 0; Mant(-2.3)=0.7

Describe the continuity of this function

Limits

Limits at a real number, c.

What happen to f(x) as x approaches 0?

This expression is read: the limit of the function f as x approaches c is equal to L

For functions with a single analytic expression, calculate the limit is equivalent to evaluate the function.

When that evaluation is not possible, because we encounter this kind of expressions, k/0, 0/0... we say it is an indeterminate form or just indeterminate.

The indeterminate form k/0, k ≠ 0 is always equal to infinity ±∞. The sign must be found out with the help of our calculators.

Notice that ∞ is not a number, it only indicates a tendency, it refers to something that increases or decreases for ever.

The indeterminate form 0/0 can be solved by simplifying the expression (for fractions of polynomials)

Exercises

One side-limits

limit of f(x) as x approaches a from the left

limit of f(x) as x approaches a from the right

Find out one-side limits of the piecewise function above at points x=-4, 0, 2, 4 and 8.
Find out limits (one-side if necessary) of the following function at -4, -3, -2, 2, 3 and 4.

Activities on one-sided limits

Limits as x →∞

In last graph happens, as x gets higher and higher, that f(x) gets also higher and higher.

We say then limit of f(x) as x approaches infinity is infinity.

Some examples of limits at infinity:

If we have the formula, instead of the graphic:

Polynomials

The sign of ∞ depends on the sign of the coefficient of highest degree.

Rational functions (P(x), Q(x) polynomials).

It can happen anything, the limit can be ∞ or any real number. We consider only the highest degrees terms of each polynomial.

Find the asymptotes of the following functions:

Continuity. Formal definition

A function f is continuous at x = a if and only if

This definition implies three conditions:

Exam Questions

State the domain of three functions (given its analytic expression).
Elementary functions, their features and their graphs. Functions transformation (match graphs (9) - analytic expressions (11)).
Piecewise defined functions. Absolute value as a specific case (NO). Representing these functions. Discuss its continuity.
Functions composition. Inverse function (NO). f∘g (a), f∘g (x)
Find out the limit of a function as x approaches a, a- or a+ (given its graph).
Study the asymptotes of a rational function.

Saberes básicos y criterios de evaluación

B. Sentido de la medida.

MATE.1.B.2. Cambio.

MATE.1.B.2.1 Límites: estimación y cálculo a partir de una tabla, un gráfico o una expresión algebraica. Límite de una función en un punto: cálculo gráfico y analítico. Resolución de indeterminaciones sencillas (0/0, k/0, ∞ - ∞, 1 ∞ ). Límites laterales. Límite de una función en el infinito: cálculo gráfico y analítico . Resolución de indeterminaciones sencillas. Determinación de las asíntotas de una función racional.

MATE.1.B.2.2 Continuidad de funciones: aplicación de límites en el estudio de la co ntinuidad. Estudio de la continuidad de una función, incluyendo funciones definidas a trozos. Tipos de discontinuidades.

D. Sentido algebraico.

MATE.1.D.4. Relaciones y funciones.

MATE.1.D.4.1 Análisis, representación gráfica e interpretación de relaciones mediante herramientas tecnológicas. Concepto de función real de variables real: expresión analítica y gráfica. Cálculo gráfico y analítico del dominio de una función.

MATE.1.D.4.2 Propiedades de las distintas clases de funciones, incluyendo, polinómicas, exponenciales, irracionales, racionales sencillas, logarítmicas, trigonométricas y a trozos: comprensión y comparación. Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas y racionales a partir de sus propiedades globales y locales obtenidas empleando las herramientas del análisis matemático (límites y derivadas).

MATE.1.D.4.3 Álgebra simbólica en la representación y explicación de relaciones matemáticas de la ciencia y la tecnología.

Criterios de evaluación

1.2. Obtener todas las posibles soluciones matemáticas de problemas de la vida cotidiana y de la ciencia y la tecnología, utilizando la estrategia de resolución más apropiada y describiendo el procedimiento utilizado.

3.2. Emplear herramientas tecnológicas adecuadas en la formulación o investigación de conjeturas o problemas.

5.1. Manifestar una visión matemática integrada, investigando y conectando las diferentes ideas matemáticas.

5.2. Resolver problemas en contextos matemáticos, estableciendo y aplicando conexiones entre las diferentes ideas matemáticas y usando enfoques diferentes.

7.1. Representar ideas matemáticas, estructurando diferentes razonamientos matemáticos y seleccionando las tecnologías más adecuadas.

7.2. Seleccionar y utilizar diversas formas de representación, valorando su utilidad para compartir información.

8.1. Mostrar organización al comunicar las ideas matemáticas, empleando el soporte, la terminología y el rigor apropiados.

8.2. Reconocer y emplear el lenguaje matemático en diferentes contextos, comunicando la información con precisión y rigor.

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