9. Similarity and Thales' Theorem
Contenidos
- Figuras con la misma forma y distinto tamaño.
- La semejanza. Proporcionalidad de segmentos.
- Identificación de relaciones de semejanza.
- Ampliación y reducción de figuras.
- Obtención, cuando sea posible, del factor de escala utilizado.
- Razón entre las superficies de figuras semejantes.
- Utilización de los teoremas de Tales y Pitágoras para obtener medidas y comprobar relaciones entre figuras.
Figuras semejantes
Which one is the Olympic Games logo?
Two shapes are similar (semejantes) if they have the same form but different size. You can say that if two shapes are similar, one of them can become the other by moving, flipping or zooming it.
Have a look at the following cards:
Can you guess the size of the small one? What about the others?
Have a look at the following video about testing similiarity (semejanza) between polygons.
Learn about similar triangles.
Now try yourself (not always intuition works).
When two shapes are similar their corresponding angles are the same and the lines are proportional.
Indirect measurements with similarity
How do you solve a problem using indirect measurement with shadows?
Exercises about indirect measurements using similarity.
La escala de un mapa/The scale of a map
La escala de un mapa no es más que la razón de semejanza entre dos "figuras" semejantes: la realidad y el mapa. Cuando decimos que un mapa está en una escala 1:1 000 000 estamos expresando que la realidad es 1 000 000 de veces más grande que el mapa.
Así pues, para convertir medidas de ese mapa en medidas reales, tendríamos que multiplicarlas por 1 000 000.
La relación entre las medidas en un mapa (M), las medidas en la vida real (R) y el factor de escala (e), vienen dadas por la siguiente fórmula:
M · e = R
Es importante saber que la escala es una medida adimensional. Transforma cm en cm o m en m, pero, en sí misma, carece de unidades.
Ejercicios
- Draw a map of your bedroom. Escale 1:20.
- Dibuja el rectángulo más grande posible en tu cuaderno en el que quepan, inscritos, los siguientes dinosaurios.
3. Mira el mapa que hay en tu clase y calcula la distancia en línea recta de Granada a París.
4. Haz un vídeo donde midas la altura de un objeto muy alto. Podrás ganar hasta 3+. Puedes hacerlo en grupo, si lo deseas, de un máximo de 3 componentes.
5. ¿Son semejantes los rectángulos exterior e interior de un marco?
6. If your notebook was a tablet. How many inches would it be? Remember, 1” = 2,54 cm
Relación entre semejanza de figuras y superficie
Observa el campo de Los Cármenes en Google Maps. Calcula su superficie en el mapa y en la realidad. Compara las superficies. ¿Qué pasa?.
Efectivamente, el factor de escala no es el mismo, sino que se ha elevado al cuadrado.
Pensemos ahora en un cubo de Rubik 2x2x2 y otro 3x3x3 hecho con los mismos cubitos. ¿Qué relación existe entre las superficies de sus caras? ¿y entre sus volúmenes? ¿y entre sus pesos? Ten en cuenta que el peso (o la masa, para hablar con propiedad) depende directamente del volumen de los objetos, según la siguiente relación: m = V · d, donde d es la densidad del objeto en cuestión.
- Calcula el peso de la figura grande de Baymax teniendo en cuenta los datos del dibujo siguiente.
2. Se quiere dibujar en la pared del aula un "Bart Simpson" gigante, que llegue hasta el techo. Se usará como modelo, el siguiente dibujo:
Fractales
Definición.
- Peine de Cantor.
- Dibuja un árbol fractal.
- Dibuja el triángulo de Sierpinski.
- Dibuja el copo de nieve de Koch.
- Dibuja el árbol de Pitágoras.
- Mostrar un fractal en 3D: hidrangea y el que se hace con tijeras.