5. Decimal Numbers

Contenidos

Números decimales. Descomposición.
Representación, ordenación y aproximación / Representing, sorting and approximating decimals
Fracciones y decimales / Fractions and decimals
Operaciones con números decimales / operations with decimals
Problemas con decimales / problems with decimals
Cálculo mental, cálculo escrito y calculadoras. / Mental calculation, written calculation and calculators.

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Decimal and fractional expressions of a number

Place value: the number 57.4836 means 5 tens + 7 units + 4 tenths + 8 hundredths + 3 thousandths + 6 ten-thousandths, that is, 5 · 10 + 7 · 1 + 4 · 1/10 + 8 · 1/100 + 3 · 1/1000 + 6·1/10000 = 57 4836/1 0000 ⇒ so, any exact decimal number is a fraction.

You can also convert a fraction into a decimal by dividing its terms, for example, 5/4 = 1.25 because 5 ÷ 4 = 1.25.

Those possibilities allows us to compare decimal numbers and fractions: 0.6 < 7/10 because 0.6 < 0.7

Change each of these decimals into fractions, cancelling where possible: 0.7, 0.4, 0.5, 0.03, 0.06, 0.13, 0.25, 0.38, 0.55, 0.64.
Change each of these fractions into decimals. Where necessary, give your answer correct to three decimal places: 1/2, 3/4, 3/5, 9/10, 1/3, 5/8, 2/3, 7/20, 7/11, 4/9.
Put each of the following sets of numbers in order, with the smallest first.
1. 0.6, 0.3, 1/2
2. 2/5, 0.8, 0.3
3. 0.35, 1/4, 0.15
4. 7/10, 0.72, 0.71
5. 0.8, 3/4, 0.7
6. 0.08, 0.1, 1/20
7. 0.55, 1/2, 0.4
8. 5/4, 1.2, 1.23

Periodic decimals can be also converted into fractions: https://www.youtube.com/watch?v=xX1sqV1nSAQ .

There are some special numbers that cannot be expressed as fractions. Some examples are:

π (pi number) = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974...

√2 = 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176...

Special non-periodical decimals: 1.2345678910111213141516171819202122...

They are called irrational numbers (números irracionales).

Approximating a decimal number: rounding and truncation

Have a look a this video to see how to truncate and round a number.

Round the following numbers to the nearest unit:1.5, 0.72, 73.5, 91, 37.2, 746.1, 36.47, 69.65, 17, 7.56, 2.67, 73.27, 80.35, 9.56, 9.59, 9.50, 77.44, 64.38, 2.31
Round the following numbers to the nearest tenth: 7.28, 13.94, 6.01, 27.60, 8.48, 23.87, 4.08, 6.74, 24.65, 43.37, 5.38, 2.48, 7.91, 7.79, 44.51, 2.35, 89.56, 6.77, 4.37, 3.91.
Truncate these numbers to two digits: 13.5, 1.99, 0.777, 1.328, 0.1731, 87.1872, 196.5, 23.48, 456.2513, 7.2577, 4675.2579, 3.258, 396.1, 42.49, 0.5661, 99.6600, 7.105, 861.1, 8775, 9654.591
Round:
1. 43.507 to the hundredths;
2. 5678.3215 to the thousandths;
3. 39.85 to the units;
4. 99.994 to the hundredths.

En la vida cotidiana usamos estos procedimientos según nos convenga. El redondeo es más preciso, pero exige un pequeño esfuerzo. El truncamiento es más rápido y suficiente como aproximación en muchas ocasiones. Las tiendas saben que somos perezosos y solemos truncar incluso, inconscientemente y aprovechan esa circunstancia para la publicidad.

5. Observa la siguiente foto de un catálogo de unos conocidos grandes almacenes. ¿Cuánto valen el patinete y la diana juntos, si redondeamos a las decenas? ¿Cuánto parece que valen si truncamos en el mismo sitio?

Approximations of calculations

Significant figures: those digits that carry meaning contributing to the precision of a number. Look how these numbers are rounded to one or two significant figures:

One SF:

33 → 30; 0.42 → 0.40; 5 470 → 5 000; 89.45 → 90.00;

998 → 1000; 1.89 → 2; 7.837 → 8.000; 0.000 056 → 0.000 060

Two SF:

123 → 120; 5.67008 → 5.70000; 34 699 → 35 000; 0.005 → 0.005

Round each of these numbers to 1 significant figure: 46 313, 57 123, 30 569, 94 558, 85 299, 54.26, 85.18, 27.09, 96.432, 167.77, 0.5388, 0.2823, 0.005 84, 0.047 85, 0.000 876, 9.9, 89.5, 90.78, 199, 999.99
Round the numbers of the last exercise to two significant figures.
Make a mental calculation of the following operations by rounding first to one significant figures. Use your calculator to check your answers and find the error:
1. 5435 × 7.31
2. 5280 × 3.211
3. 63.24 × 3.514 × 4.2
4. 3508 × 2.79
5. 72.1 × 3.225 × 5.23
6. 470 × 7.85 × 0.99
7. 354 ÷ 49.8
8. 36.8 ÷ 1.876
9. 5974 ÷ 5.29
10. 406.9 ÷ 0.783

Imagen de http://imgur.com/gallery/GeK1gAP

Operations with decimals

[From "Carnet de Calculista" activities already solved in student's notebooks]

Mental Math (any written calculations are forbidden)

10 – 2.5 =
536.79 : 100 =
20 + 10 · 40 =
6 501 + 559 =
2500 – 3600 =
–97 – 39 =
14 · (–20) =
7895 : 100 =
85 – 47 =
5.9 · 0.3 =
12345 : 1000 =

98 + 4.7 =
1.35 – 1.17 =
2 + 3 – 1 + 5 – 2 =
900 : 30 =
101000 : 100 =
6800 – 680 =
101000 : 100 =
2000 · 200 =
0.25 · 10 =
546.78 : 100 =
1000 · 200 =

Calculate

3.567 + 28.39 =
0.78 – 0.699 =
45.20 · 0.69 =
710 : 3.6 =
99.99 + 6.583 =
0.72 · 6.59 =
39.82 : 7 =
75 : 2.5 =

87.98 + 8.959 =
68.32 · 759 =
22.5 : 9 =
88.8 : 3.7 =
23.456 + 7.8 + 0.45 =
840.35 – 93.783 =
3.7 · 0.46 =
49352 : 72 =

Word problems

From the text book: page 115

Calculadoras

Anexo: Saberes básicos implicados en esta unidad

A. Sentido numérico

MAT.3.A.1. Conteo

MAT.3.A.1.1. Estrategias variadas de recuento sistemático en situaciones de la vida cotidiana.

MAT.3.A.1.2. Adaptación del conteo al tamaño de los números en problemas de la vida cotidiana.

MAT.3.A.2. Cantidad

MAT.3.A.2.1. Números grandes y pequeños: la notación exponencial y científica y el uso de la calculadora.

MAT.3.A.2.2. Realización de estimaciones con la precisión requerida.

MAT.3.A.2.3. Números enteros, fraccionarios, decimales y raíces en la expresión de cantidades en contextos de la vida cotidiana.

MAT.3.A.2.4. Diferentes formas de representación de números enteros, fraccionarios y decimales, incluida la recta numérica.

MAT.3.A.2.5. Interpretación del significado de las variaciones porcentuales.

MAT.3.A.3. Sentido de las operaciones

MAT.3.A.3.1. Estrategias de cálculo mental con números naturales, enteros, fracciones y decimales.

MAT.3.A.3.2. Operaciones con números enteros, fraccionarios o decimales en situaciones contextualizadas.

MAT.3.A.3.3. Relaciones inversas entre las operaciones (adición y sustracción; multiplicación y división; elevar al cuadrado y extraer la raíz cuadrada): comprensión y utilización en la simplificación y resolución de problemas.

MAT.3.A.3.4. Efecto de las operaciones aritméticas con números enteros, fracciones y expresiones decimales.

MAT.3.A.3.5. Propiedades de las operaciones (suma, resta, multiplicación, división y potenciación): cálculos de manera eficiente con números naturales, enteros, fraccionarios y decimales tanto mentalmente como de forma manual, con calculadora u hoja de cálculo.

MAT.3.A.4. Relaciones

MAT.3.A.4.1. Factores, múltiplos y divisores. Factorización en números primos para resolver problemas: estrategias y herramientas.

MAT.3.A.4.2. Comparación y ordenación de fracciones, decimales y porcentajes: situación exacta o aproximada en la recta numérica.

MAT.3.A.4.3. Selección de la representación adecuada para una misma cantidad en cada situación o problema.

MAT.3.A.4.4. Patrones y regularidades numéricas.

F. Sentido socioafectivo

MAT.3.F.1. Creencias, actitudes y emociones

MAT.3.F.1.1. Gestión emocional: emociones que intervienen en el aprendizaje de las matemáticas. Autoconciencia y autorregulación.

MAT.3.F.1.2. Estrategias de fomento de la curiosidad, la iniciativa, la perseverancia y la resiliencia en el aprendizaje de las matemáticas.

MAT.3.F.1.3. Estrategias de fomento de la flexibilidad cognitiva: apertura a cambios de estrategia y transformación del error en oportunidad de aprendizaje.

MAT.3.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones

MAT.3.F.2.1. Técnicas cooperativas para optimizar el trabajo en equipo y compartir y construir conocimiento matemático.

MAT.3.F.2.2. Conductas empáticas y estrategias de la gestión de conflictos.

MAT.3.F.3. Inclusión, respeto y diversidad

MAT.3.F.3.1. Actitudes inclusivas y aceptación de la diversidad presente en el aula y en la sociedad.

MAT.3.F.3.2. La contribución de las matemáticas al desarrollo de los distintos ámbitos del conocimiento humano desde una perspectiva de género.

MAT.3.F.3.3. Reconocimiento de la contribución de la cultura andaluza, en los diferentes periodos históricos y en particular del andalusí, al desarrollo de las matemáticas

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