1. Domain. The domain of a function is the set of all possible input values (usually called x) that we can use in the function. In other words, it's the set of values we are allowed to plug into the function. We say these values “make sense” in the function. For example: 

   • If the function has a fraction, we must avoid values that make the denominator zero. 

   • If the function has a square root, we must avoid negative numbers (in real numbers). f(x) = √x, the domain is all numbers that are greater than or equal to 0, because we can't take the square root of a negative number (in real numbers). So, the domain is: x ≥ 0 or [0,∞).

2. Simmetry. EVEN (PAR): f(-x) = f(x), about the Y-axis; ODD (IMPAR): f(-x) = -f(x), about the origin.

3. Periodicity (skip for now ;-)).

4. Continuity. A function is continuous if its graph can be drawn without lifting up the pen from the paper.

5. Derivability. For now, just think of it as the softness of its graph. Derivability ⇒ Continuity

6. Increasing & decreasing intervals.

7. Maximum & minimum (absolute and relative).

8. Concavity & convexity intervals. U+🙂 concave (tangent below the graph); ∩-☹️ convex (tangent line above the graph)

9. Inflection points. Where the curve changes its curvature; U to ∩ or ∩ to U.

10. Asymptotes. An asymptote is a line that a curve approaches but never touches or crosses.

Follow this rap ;-) 

Curvatura

Finalmente, el tipo de curvatura de la gráfica distingue entre tramos cóncavos y tramos convexos.

Para ello es necesario ver cómo evoluciona la tangente a la curva.

☺ Cóncava (concave)

😞 Convexa (convex)

Función de proporcionalidad directa 

1. El coordinador de un viaje de intercambio al Reino Unido desea ofrecer a sus alumnos una tabla de conversión de euros a libras. Elabora esa tabla con cinco valores y sus conversiones, teniendo en cuenta que 1 euro equivale, aproximadamente, a 0.75 libras. ¿Crees que la relación euros - libras es una función? Representa los valores en un sistema de ejes cartesianos y conecta los puntos. ¿Qué forma tiene la gráfica? ¿Puedes encontrar su fórmula?

2. You can buy apples by 2 euros a kilogram. Fill the following table:

3. Observa el muelle de esta web. Pon el manejador azul a 100 (mide la resistencia del muelle). Elabora una tabla con algunos valores diversos para la fuerza y la longitud correspondiente del muelle. A partir de esos valores, elabora una fórmula que dé la fuerza aplicada en función de la longitud del muelle.

Pounds and euros, weight and price, force and length...  are directly proportional magnitudes. You get pounds by multiplying the amount of euros by 0.75; you get prices if you multiply the number of kilograms by 2; you get the increase of the length of the spring when you multiply the force by 100. So 0.75, 2 or 100 are in this situations constants of proportionality. Those examples can be represented by the following formulas L = 0.75·E, P=2·W, L=100·F. 

Todas ellas tienen una expresión similar y = m·x. Es la llamada función de proporcionalidad directa.

4. Represent y = 0.5x, y = x, y = 2x and y = 3x. What are the similarities and the differences among all those graphs? You can use geogebra to draw better graphs.

5. Represent y = -0.5x, y = -x, y = -2x and y = -3x. What happen now?

6. Use this site to play with m, in a linear function. Type y=mx inside the box. Find out the meaning of m in that equation. 

7. Susan has bought 10 tickets to the cinema by 75 euros. Make a table that represents the number of tickets and their price. Write the corresponding formula.

8. Represent the following functions: y = x, y = -x, y = 2x, y = -2x.

9. The constant of proportionality between two magnitudes is -3. Write the formula of the function. Draw it in a cartesian system.

10. Who's who: play with lines. It's based on the famous "Who's who" board game. In the first rounds, the teacher thinks of one of the lines shown on the whiteboard and the students will have to guess what you are thinking based in your Yes-No answers to their questions. They can decide their questions in pairs for these first rounds. Let them everybody play at least once. And, of course, if someone ask a question in his/her turn, he or she has a try to guess the line. They are allowed to ask anything, but it would be easier if they ask about the slope of the line and somethething more (a point, the y-intercept...).​ When they get the hang of it they can play one against the other. The slopes are: a: -1, b: -1/2 or -0.5, c: 1/2 or 0.5, d: 0, e: -4, f: -2, g: 2, h: 1, i: 1, j: -1/2, k: -1, l: 1/5 or 0.2, m: 1/5, n: -1, o: 0, p: 1

11. Find out the weight of the objects red, green and yellow from this web site.

Linear functions

1. Mira el tiempo en Minneapolis. Usa la configuración del sitio para averiguar la relación entre grados Farenheit y Celsius. Para ello, construye una tabla con varios valores y dibuja la gráfica correspondiente. Puedes usar la calculadora de Desmos para ello. Ten en cuenta que, a veces, se redondea el resultado.

   1. F = 1.8C + 32

2. At which Farenheit temperature does water freeze into ice? What is the boiling point of water in Farenheit scale?

3. Represent y = 2x -1, y = 2x, y = 2x + 1. What are the similarities and the differences among all those graphs?

4. La tarifa de una empresa de telefonía establece lo siguiente: 5 céntimos por minuto en llamadas a cualquier operador, más 20 céntimos por establecimiento de llamada. Escribe una fórmula, una tabla con algunos valores y dibuja la gráfica correspondiente para la función que te da el precio de la llamada en función de los minutos hablados.

5. A ciclyst goes during 280 km at a constant speed of 40 km/h. 

• 1. Make a table of the journey with five reference points.

  2. Write the algebraic expression of the function.

  3. Draw its graph and describe it.

6. To convert centimeters into inches you have to multiply by 2 and divide the result by 5. If x represents cm and y, in

• 1. Write y as a function of x.

  2. Make a table with some values.

  3. Draw the graph of the function.

  4. Estimate the value of 3 cm according to the graph.

y = mx + n

m = pendiente / slope (mide lo inclinada que está la recta).

n = ordenada en el origen / y-intercept (determina el punto por el que la recta pasa cuando toca al eje de la y, esto es, si la recta está más arriba o más abajo).

Función de proporcionalidad inversa

No hay tiempo de verla. No entra en el examen.

Review

1. Represent in a cartesian coordinate system the following:

   1. A point A whose abscissa is 2 and ordinate -1.

   2. A point B whose abscissa is 4 and ordinate is -3.

2. The function f convert every natural number by adding 4 units to it and raising the result to the square. The function g associates every natural number with its square and adds 4 units to the result.

• 1. Write their equations.

  2. Are f and g the same functions?

  3. Calculate the images of 2, 5 and 0 by either f and g.

3. Fill the blanks knowing that f(x) = 3x - 2:

• 1. f(-2) = ░

  2. f( ░ ) = 0

  3. f(0)= ░

  4. f( ░ ) = 1

4. Given the following function: y = 3x - 2

• 1. Make a table with five values and its images.

  2. Represent the graph of the function.

5. Identify dependent & independent variables.

6. A car has a speed of 100 km/h. Write a function that makes the relationship between the distance and the time.

7. Invéntate una función definida con palabras. Debe transformar números en otros números y su dominio debe ser, al menos, el conjunto de los números naturales. Intenta que no use demasiadas operaciones matemáticas. Un buen ejemplo es la que vimos al principio del tema que transformaba cada número en el número de letras que tenía al escribirlo correctamente en inglés. El ganador o ganadores del concurso será la función que sea más difícil de adivinar al mostrar cinco resultados en una tabla y esté expresada en términos más sencillos.

8. Explica las variables de estos gráficos. Construye tus propios gráficos del mismo tipo.

9. Un comerciante tiene que vender 1000 kg de naranjas al final de la temporada. Cada día que pasa, pierde 40 kg (se le pudren), aunque el valor del kilo se incrementa 15 céntimos. Describe la situación y decide por él cuándo tiene que vender. (Fuente).

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Bonus content

• Historia de las funciones.

• Battlesquare.

• Convierte en gráfica cualquier palabra o expresión.

• Corazones (no son funciones).

Links

• Function carnival.

• ¿Por qué los matemáticos ponemos nombre a las cosas?.

• Las funciones y la hoja de cálculo.

• Videos with 1 billion views.

• Gráficos manipulados en la televisión.

• Learn the relationship between direct proportion and functions with this page.

• Which one doesn't belong?

• Teaching linear functions for meaning.

Notes:

[1] Many of these games are adapted from the ones in the course “Interactive Teaching - Using Educational Games in order to Enhance Learners’ motivation”, by Felicia Dimulescu, from Eruditus (Erasmus + partner).