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Temporalización estimada: 12 horas. Examen junto a la Unidad 2.
Introduction
Introduction
1.The language of algebra: sets and symbols
1.The language of algebra: sets and symbols
2. Real numbers. The number line
2. Real numbers. The number line
3. Radicals (surds)
3. Radicals (surds)
Radicals (surds) (Cognito, Youtube).
How to simplify radicals (NancyPi).
Rationalizing
4. Logarithms
4. Logarithms
Tablillas precursoras de los logaritmos de J. Napier (National Museum of Scotland). Foto: F. Durán.
5. Decimal expression of real numbers. Approximations.
5. Decimal expression of real numbers. Approximations.
Place value:
Place value: the number 57.483 means 5 tens + 7 units + 4 tenths + 8 hundredths + 3 thousandths, that is, 5 · 10 + 7 · 1 + 4 · 1/10 + 8 · 1/100 + 3 · 1/1000 = 57 483/1 000 ⇒ so, any exact decimal number is a fraction.
Measurements and estimations:
If you use a tool to do it, that is a direct measurement. For example, you use a ruler to measure the side of a square.
The alternative when you are not able or willing to make a direct measurement is to do indirect measurements or estimations.
You can practise estimations with the following "Hedge a bet" game.
Activity: Estimating time. Do the test five times. Which of them is the most accurate? Why is it?
The difference between the exact value and the measured value is the error.
E = |V - M|
The relative error is that number divided by the exact value. This relative error is usually given in a percent form.
As an example, if the exact value is 4.24 and the approximation is 4, then the absolute error is |4 - 4.24| = 0.24 and the relative error is 0.24/4.24 ~ 0.057 = 5.7 %.
Como los instrumentos de medida son imprecisos, siempre se comete algún error, aunque sea pequeño.
Exercise
Calculate the relative error of all the estimations we did in the game "Hedge a bet".
Practica con este juego la estimación de ángulos. Explica cómo funciona la puntuación.
6. Factorials. Binomial coefficients. Binomial Theorem.
6. Factorials. Binomial coefficients. Binomial Theorem.
Factorials
Factorials
n! = n · (n - 1) · (n - 2) · ... · 2 · 1
0! = 1 (proof).
Binomial coefficients
Binomial coefficients
Be it m, n ∈ N, then mCn is
The binomial coefficient mCn is equal to the number of subsets of n elements in a set of m elements.
You can easily find the binomial coefficients in Pascal's triangle.
Binomial theorem
Binomial theorem
In elementary algebra, the binomial theorem (or binomial expansion) describes the algebraic expansion of powers of a binomial. According to the theorem, it is possible to expand the polynomial (x + y)^n into a sum involving terms of the form ax^by^c, where the exponents b and c are nonnegative integers with b + c = n, and the coefficient a of each term is a specific positive integer depending on n and b.
Example for n=4 to the right. The binomial coefficients 1 4 6 4 1 are in the fifth row of that arrangement.
Practise with this list of activities:
Word problems
Word problems
What is bigger, the mass of the Jupiter or the mass of the rest of the planets together? Data: Mercury 3.302·10²³; Venus 4.869·1024; Earth 5.9736·1024; Mars 6.4185·1023; Jupiter 1.899·1027; Saturn 5.688·1026; Uranus 8.686·1025; Neptune 1.024·1026.
A Phisics lab wants to acquire a high precission timer. According to the following ads, which brand offer the best timer?:
SUPERTIMER: Never had an error higher than 1/10⁵ sec when measuring 0.25 secs.
MEGATIMER: Error smaller than 1/10⁴ sec when measuring 2.45 secs.
The world population is 7.8·10⁹ inhabitants. The more populated countries are India (1.44·10⁹ inh.), China (1.42·10⁹) and USA (3.41·10⁸).
How many inhabitants do these three countries have in total?
What percentage or the total population do they make?
APPENDIX i
APPENDIX i
Explicaciones fantásticas sobre el origen de las cifras
Explicaciones fantásticas sobre el origen de las cifras
Según aparece en el libro "Historia Universal de las Cifras", de Georges Ifrah.
Links
Links
Wolfram Alpha (el "google" de las Matemáticas).
Surds (Math is fun)
How to simplify radicals (NancyPi).
Logarithms (Khanacademy).
How big is infinity (TED)
Refuerzo
Refuerzo
Saberes básicos implicados en la unidad
Saberes básicos implicados en la unidad
A. Sentido numérico.
MATE.1.A.1. Sentido de las operaciones.
MATE.1.A.1.2 Estrategias para operar (suma, producto, cociente, potencia, radicación y logaritmo) con números reales y complejos: cálculo mental o escrito en los casos sencillos y con herramientas tecnológicas en los casos más complicados.
MATE.1.A.2. Relaciones.
MATE.1.A.2.1 Conjunto de números: números racionales e irracionales. Los números reales. Logaritmos decimales y neperianos. Los números complejos como soluciones de ecuaciones polinómicas que carecen de raíces reales.
F. Sentido socioafectivo.
MATE.1.F.1. Creencias, actitudes y emociones.
MATE.1.F.1.1 Destrezas de autoconciencia encaminadas a reconocer emociones propias, afrontando eventuales situaciones de estrés y ansiedad en el aprendizaje de las matemáticas.
MATE.1.F.1.2 Tratamiento del error, individual y colectivo, en el aula de matemáticas como elemento movilizador de saberes previos adquiridos y generador de oportunidades de aprendizaje en el aula de matemáticas.
MATE.1.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones.
MATE.1.F.2.1 Reconocimiento y aceptación de diversos planteamientos en la resolución de problemas y tareas efectivas para el éxito en el aprendizaje de las matemáticas, transformando los enfoques de las y los demás en nuevas y mejoradas estrategias propias, mostrando empatía y respeto en el proceso.
MATE.1.F.2.2 Técnicas y estrategias de trabajo en equipo para la resolución de problemas y tareas matemáticas, en equipos heterogéneos.
MATE.1.F.3. Inclusión, respeto y diversidad.
MATE.1.F.3.1 Destrezas para desarrollar una comunicación efectiva, la escucha activa, la formulación de preguntas o solicitud y prestación de ayuda cuando sea necesario.
MATE.1.F.3.2 Valoración de la contribución de las matemáticas y el papel de matemáticos y matemáticas a
lo largo de la histo ria en el avance de la ciencia y la tecnología.
Competencias específicas y criterios de evaluación
Competencias específicas y criterios de evaluación
1. Modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y de la ciencia y la tecnología aplicando diferentes estrategias y formas de razonamiento para obtener posibles soluciones. STEM1, STEM2, STEM3, CD2, CD5, CPSAA4, CPSAA5, CE3.
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