Introductory situation

Se está organizando una gran fiesta de fin de curso en el instituto a la que se quiere invitar al grupo Walk off the Earth.

El grupo tendrá el detalle de cobrar sólo 5 000 euros por su actuación, pues el cantante Gianni Luminati es amigo de una prima segunda del cuñado de la hermana de un conocido del profe de Matemáticas. La AMPA va a subvencionar el evento con 1 000 euros. El resto lo pagarán, a partes iguales, todos los asistentes.

Resume lo que costaría a cada persona asistir al concierto según el número de asistentes que finalmente vayan.

Contents

1. Descripción local y global de fenómenos presentados de forma gráfica. / Describing real situations by graphs.
2. Aportaciones del estudio gráfico al análisis de una situación: crecimiento y decrecimiento. Continuidad y discontinuidad. Cortes con los ejes. Máximos y mínimos relativos. / Increasing, decreasing, continuity, intersections with axis, maxima and minima.
3. Obtención de la relación entre dos magnitudes directa o inversamente proporcionales a partir del análisis de su tabla de valores y de su gráfica. / Relationship between directly and inversly proportional magnitudes and some kind of tables and graphs.
4. Interpretación de la constante de proporcionalidad. Aplicación a situaciones reales. Constant of proportionality interpretation; real situations.
5. Representación gráfica de una situación que viene dada a partir de una tabla de valores, de un enunciado o de una expresión algebraica sencilla. / Relationship between tables, graphs and certain algebraic expressions.
6. Interpretación de las gráficas como relación entre dos magnitudes. Observación y experimentación en casos prácticos. / Viewing graphs as the relationship between two magnitudes. Real situations.
7. Utilización de calculadoras gráficas y programas de ordenador para la construcción e interpretación de gráficas. / Using graphic calculators and computers to plot and interpret graphs.

Review

Do the thatquiz.org test about coordinates (ask for the code to your teacher I2H3GJNS). You can also do this exercise to review the graphing of points and the quadrants.

René Descartes (1596 - 1650), el "inventor" de las coordenadas.

1. Represent the following points A(4, -3) and B(3, -4). In which quadrant are they?
2. Draw a square given one of its sides by the line segment CD, where C(-1, -1) and D(2, 0).
3. The following chart represents one student's moving from home to school, where he had to take a document and go back home:

8. En el prospecto de un jarabe se da la siguiente regla para su administración: “Tómense 3 miligramos por cada kilogramo de peso”. Construye una tabla con pesos de 10 a 60 kg (a intervalos de 10 kg) y la dosis correspondiente a esos pesos. Representa la gráfica correspondiente a la tabla.

9. Make a table and its corresponding chart for the following situations (choose the numbers you prefer for the first column):

• Double a number, minus one.
• Half a number.
• Multiply a number by -5 and add 3.

10. What do all those charts have in common?

11. Se sabe que en las cajas de un supermercado se tarda 2.5 segundos en pasar cada producto, mientras que se tarda 48 segundos, de media, en pagar. Construye la gráfica que proporcione en tiempo de espera en una caja con tres personas, en función del número de productos. Observando esa gráfica y suponiendo que llevas menos de 10 productos ¿en qué momento te situarías en una caja rápida? (Fuente (minuto 1)).

Para entrar en una casa de Fortnite (con un "loot" impresionante) es necesario pulsar un número. Ese número depende de otro número que se muestra en pantalla. Agazapado tras un arbusto, he visto que cuando la pantalla mostraba 8809, la persona que entró tuvo que teclear 6. Otras informaciones que pude desvelar espiando a más gente fueron: 7111 # 0, 2172 # 0, 6666 # 4, 1111 # 0, 3213 # 0, 7662 # 2, 9313 # 1, 0000 # 4. Es mi turno y en pantalla aparece 2581. ¿Qué número debo teclear para acceder a la casa?

Concepto de función

Una función es una "regla" que transforma valores de un conjunto dado (D) en otros valores con la condición de que cada valor del primer conjunto se transforma en un único valor del segundo. Esa regla se puede dar con palabras, con una tabla, con una fórmula (en lenguaje algebraico) o con una gráfica.

Como los valores del primer conjunto (D) y sus "transformados" pueden variar, se llaman "variables". Representamos la función así: f(x) = y, donde x es la variable independiente e y la variable dependiente. En el dibujo anterior el 2 se transforma en el 4. Si la función se llama f, decimos f(2) = 4.

• Ejemplo 1 (palabras): La función c, que transforma cada número natural del 1 al 20 en la cantidad de letras que tiene al escribirlo en inglés. Transforma el 1 (ONE) en el 3 (O-N-E); ¿En qué se transforma el 12? ¿Cuánto vale c(7)? Construye una tabla con todos los números.
• Ejemplo 2 (tabla): La función s que asigna a cada país, su superficie en km². Calcula s(España).
• Ejemplo 3 (fórmula): La función a, definida por la fórmula y = x² (transforma cada número x en su cuadrado, x²). Calcula a(-2) y a(3).
• Ejemplo 4 (gráfica).

♻️ Flipped classroom

Especialmente para el caso en el que los conjuntos iniciales y final son números, hay una estrecha relación entre estas formas de definir una función. Have a look at this video to learn how.

Try to identify the first time the speaker says "Algebra (1:12), equations (1:27) , Geometry (3:53), two dimensional plane (4:52), variables (5:27) cartesian coordinates (8:08)". .

• What are the cartesian coordinates of the purple point?
• Which kind of equations appear in the vídeo?

Exercises

1. Function f add three to every natural number and then squares the result; g squares first every natural number and then, adds three. Write both algebraic expressions. Are they the same? Find the images of 2, 5 and 0 by f and g.
2. If f(x) = 2x - 3, find out the following values:
   1. f(-2) = □
   2. f(□) = 0
   3. f(1) = □
   4. f(□) = 1
3. Given the function y = 3x - 2
   1. Make a table for five different values.
   2. Represent the graph of the function.
4. A driver goes at 100km/h speed. Write a function that relates distance and time spent.
5. Fruits are sold by units in a grocery. An apple costs 0.35 €.
   1. Make a table for the price of 1, 2, 3, 4 and 5 apples.
   2. Represent the graph of the function that turn apples into their prices.

Definition of function.

Imagen de un valor conocida la gráfica.

Observa el dibujo anterior y calcula f(0), g(1) y q(-2) (clic para hacerlo más grande).

Calcula también p(0), q(-2), s(-3), b(-1), p(5),, f(-1), q(3), s(0), b(0), q(-1), f(1), s(4), b(1) y f(2).

(*) Haz clic aquí para descargar el archivo de geogebra que contiene todas las gráficas anteriores.

1. Guess the function game. The graphs of several functions are mixed in a bag.

2. The students are divided into groups and one by one (in turns) have to come pick up a function and describe it to the group without saying the name or the equation. Time: 1 minute per person. If the group guess they have one point and can pick up another one, if they don’t guess, then the group has minus one point and wait for the next turn. [1]

Curvatura

Finalmente, el tipo de curvatura de la gráfica distingue entre tramos cóncavos y tramos convexos.

Para ello es necesario ver cómo evoluciona la tangente a la curva.

☺ Cóncava (concave)

😞 Convexa (convex)

Función de proporcionalidad directa

1. El coordinador de un viaje de intercambio al Reino Unido desea ofrecer a sus alumnos una tabla de conversión de euros a libras. Elabora esa tabla con cinco valores y sus conversiones, teniendo en cuenta que 1 euro equivale, aproximadamente, a 0.75 libras. ¿Crees que la relación euros - libras es una función? Representa los valores en un sistema de ejes cartesianos y conecta los puntos. ¿Qué forma tiene la gráfica? ¿Puedes encontrar su fórmula?
2. You can buy apples by 2 euros a kilogram. Fill the following table:

3. Observa el muelle de esta web. Pon el manejador azul a 100 (mide la resistencia del muelle). Elabora una tabla con algunos valores diversos para la fuerza y la longitud correspondiente del muelle. A partir de esos valores, elabora una fórmula que dé la fuerza aplicada en función de la longitud del muelle.

Pounds and euros, weight and price, force and length... are directly proportional magnitudes. You get pounds by multiplying the amount of euros by 0.75; you get prices if you multiply the number of kilograms by 2; you get the increase of the length of the spring when you multiply the force by 100. So 0.75, 2 or 100 are in this situations constants of proportionality. Those examples can be represented by the following formulas L = 0.75·E, P=2·W, L=100·F.

Todas ellas tienen una expresión similar y = m·x. Es la llamada función de proporcionalidad directa.

4. Represent y = 0.5x, y = x, y = 2x and y = 3x. What are the similarities and the differences among all those graphs? You can use geogebra to draw better graphs.

5. Represent y = -0.5x, y = -x, y = -2x and y = -3x. What happen now?

6. Use this site to play with m, in a linear function. Type y=mx inside the box. Find out the meaning of m in that equation.

7. Susan has bought 10 tickets to the cinema by 75 euros. Make a table that represents the number of tickets and their price. Write the corresponding formula.

8. Represent the following functions: y = x, y = -x, y = 2x, y = -2x.

9. The constant of proportionality between two magnitudes is -3. Write the formula of the function. Draw it in a cartesian system.

10. Who's who: play with lines. It's based on the famous "Who's who" board game. In the first rounds, the teacher thinks of one of the lines shown on the whiteboard and the students will have to guess what you are thinking based in your Yes-No answers to their questions. They can decide their questions in pairs for these first rounds. Let them everybody play at least once. And, of course, if someone ask a question in his/her turn, he or she has a try to guess the line. They are allowed to ask anything, but it would be easier if they ask about the slope of the line and somethething more (a point, the y-intercept...).​ When they get the hang of it they can play one against the other. The slopes are: a: -1, b: -1/2 or -0.5, c: 1/2 or 0.5, d: 0, e: -4, f: -2, g: 2, h: 1, i: 1, j: -1/2, k: -1, l: 1/5 or 0.2, m: 1/5, n: -1, o: 0, p: 1

11. Find out the weight of the objects red, green and yellow from this web site.

Linear functions

1. Mira el tiempo en Minneapolis. Usa la configuración del sitio para averiguar la relación entre grados Farenheit y Celsius. Para ello, construye una tabla con varios valores y dibuja la gráfica correspondiente. Puedes usar la calculadora de Desmos para ello. Ten en cuenta que, a veces, se redondea el resultado.
   1. F = 1.8C + 32
2. At which Farenheit temperature does water freeze into ice? What is the boiling point of water in Farenheit scale?
3. Represent y = 2x -1, y = 2x, y = 2x + 1. What are the similarities and the differences among all those graphs?
4. La tarifa de una empresa de telefonía establece lo siguiente: 5 céntimos por minuto en llamadas a cualquier operador, más 20 céntimos por establecimiento de llamada. Escribe una fórmula, una tabla con algunos valores y dibuja la gráfica correspondiente para la función que te da el precio de la llamada en función de los minutos hablados.
5. A ciclyst goes during 280 km at a constant speed of 40 km/h.
   1. Make a table of the journey with five reference points.
   2. Write the algebraic expression of the function.
   3. Draw its graph and describe it.
6. To convert centimeters into inches you have to multiply by 2 and divide the result by 5. If x represents cm and y, in
   1. Write y as a function of x.
   2. Make a table with some values.
   3. Draw the graph of the function.
   4. Estimate the value of 3 cm according to the graph.

y = mx + n

m = pendiente / slope (mide lo inclinada que está la recta).

n = ordenada en el origen / y-intercept (determina el punto por el que la recta pasa cuando toca al eje de la y, esto es, si la recta está más arriba o más abajo).

Función de proporcionalidad inversa

No hay tiempo de verla. No entra en el examen.

Review

1. Represent in a cartesian coordinate system the following:
   1. A point A whose abscissa is 2 and ordinate -1.
   2. A point B whose abscissa is 4 and ordinate is -3.
2. The function f convert every natural number by adding 4 units to it and raising the result to the square. The function g associates every natural number with its square and adds 4 units to the result.
   1. Write their equations.
   2. Are f and g the same functions?
   3. Calculate the images of 2, 5 and 0 by either f and g.
3. Fill the blanks knowing that f(x) = 3x - 2:
   1. f(-2) = ░
   2. f( ░ ) = 0
   3. f(0)= ░
   4. f( ░ ) = 1
4. Given the following function: y = 3x - 2
   1. Make a table with five values and its images.
   2. Represent the graph of the function.
5. Identify dependent & independent variables.
6. A car has a speed of 100 km/h. Write a function that makes the relationship between the distance and the time.
7. Invéntate una función definida con palabras. Debe transformar números en otros números y su dominio debe ser, al menos, el conjunto de los números naturales. Intenta que no use demasiadas operaciones matemáticas. Un buen ejemplo es la que vimos al principio del tema que transformaba cada número en el número de letras que tenía al escribirlo correctamente en inglés. El ganador o ganadores del concurso será la función que sea más difícil de adivinar al mostrar cinco resultados en una tabla y esté expresada en términos más sencillos.
8. Explica las variables de estos gráficos. Construye tus propios gráficos del mismo tipo.
9. Un comerciante tiene que vender 1000 kg de naranjas al final de la temporada. Cada día que pasa, pierde 40 kg (se le pudren), aunque el valor del kilo se incrementa 15 céntimos. Describe la situación y decide por él cuándo tiene que vender. (Fuente).

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Bonus content

• Historia de las funciones.
• Battlesquare.
• Convierte en gráfica cualquier palabra o expresión.
• Corazones (no son funciones).

Links

• Function carnival.
• ¿Por qué los matemáticos ponemos nombre a las cosas?.
• Las funciones y la hoja de cálculo.
• Videos with 1 billion views.
• Gráficos manipulados en la televisión.
• Learn the relationship between direct proportion and functions with this page.
• Which one doesn't belong?
• Teaching linear functions for meaning.

Notes:

[1] Many of these games are adapted from the ones in the course “Interactive Teaching - Using Educational Games in order to Enhance Learners’ motivation”, by Felicia Dimulescu, from Eruditus (Erasmus + partner).