7. The language of algebra
Preguntillas iniciales
¿Cuánto es la mitad de dos más dos?
Cinco por cuatro veinte y una veintidós ¿Es esto cierto?
二加二等于多少？
Write in words the following expression, in three different languages: 129 + 438 = 597.
Resuelve el acertijo de la imagen de la derecha.
Algebraic expressions
An algebraic expression is a combination of numbers, letters and symbols with a mathematical meaning.
Examples:
3 - 2 ≠ 0
a + b = b + a
x + x = 2 · x
n³ = n · n · n
ax² + bx + c
Identify all the symbols in the above algebraic expressions
Other symbols we use in mathematics are:
Propiedades del lenguaje algebraico
🤔 No es ambiguo.
🌍 Es universal.
⏳ Es breve.
En esta unidad aprenderemos que las matemáticas son algo más que números y aprenderemos a hacer traducciones del algebraico al español o el inglés y viceversa.
Abu Abdallah Muḥammad Ibn Mūsā Al-Jwarizmī
CONTENIDOS/CONTENTS
Expresiones algebraicas. El lenguaje algebraico para generalizar propiedades y simbolizar relaciones / Algebraic expressions.
Obtención del valor numérico de una expresión algebraica. / Substitutions in an algebraic expression.
Monomios. Operaciones con monomios. Polinomios. Suma y resta de polinomios. / Monomials (terms). Operations with monomials. Polynomials. Addition and substraction of polynomials.
Obtención de fórmulas y términos generales basada en la observación de pautas y regularidades. / Obtaining formulas and general expressions based on patterns.
Actividades de repaso
Write in the language of algebra the following expression: Seven hundred and sixty two thousand four hundred and seventy nine minus seven hundred and sixty two thousand four hundred and seventy eight is equal to one.
Explica con tus palabras lo que hay que hacer para hacer una rebaja de un determinado porcentaje a una cantidad. Reto: no usar ningún número o símbolo matemático.
Encuentra cinco fórmulas matemáticas en tus libros de texto (no vale el de Mates).
Answer the following questions
When was invented '=' sign?
By whom?
Why did he choose that symbol?
What other symbol was also used at the beginning (meaning '=')?
Where does the '+' sign come from?
What other symbols are mentioned in the video?
What is the meaning of the '!' symbol?
They say that characters represent unknown quantities, relationships between variables and... ?
Some symbols are especially valuable as shortcuts, which of them and why? Give two examples.
Do you use any symbol as a shortcut? Try to invent one.
Traducciones
Activities
Escribe con palabras cómo se calcula el cuadrado de un número. Escríbelo ahora en el lenguaje del álgebra. ¿Qué observas?
Expresa en lenguaje algebraico la siguiente información:
En un aeropuerto cobran 0.75 euros por usar la WiFi, más 1.25 euros por cada hora de uso.
El triple de la edad de una persona, menos cinco años.
La mitad de la diferencia de dos números.
La forma de calcular el área de un círculo.
Translate into the language of algebra: take some number that you are thinking of, multiply it by two, subtract one from the result, multiply the result of that by itself, divide the result of that by three, and then add one to get the final output.
SUBSTITUTION / VALOR NUMÉRICO
El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado de realizar las operaciones cuando se conoce el valor de todas las variables de la expresión. Por ejemplo: el valor numérico de x² + 1 cuando x = 3 es 10 (=3² + 1).
7. Substitution (valor numérico). Let's answer the questions at the bottom.
8. Practise substitution by solving the exercises at this web page.
9. Substitute in the following algebraic expresions:
x⁵ - x², when x = -1
a² + b², when a=1 and b=-1
3n² - 5abc, when n=1, a=2, b=-1 and c=0
(3x²-5)/y, when x=5 and y=-14
2b when b = -1
1 - 2y when y = -2
-4bc² + 3b⁴ when b = 1 and c = -2
(x + y)² when x = 2 and y = 5
x³ - 5x² + 6x + 8 when x = -3 and when x = 3.
3x³y² - 5xy when x = -2 and y = -1
Equations
Solve the riddle on the right (you can find more here).
What number can go in the box to make the calculation true?
13 + □ = 9
4 · □ = 10
Paul says to Anna: think of a number, double it, add 3. Anna says: I got 13. Can you work out the number that Anna start with? Can you make an algebraic expression of Paul's instructions?
Equation:
Algebraic expression
Contains '=' sign.
Example:
A + A = 32
"A + A" and "32", the parts to both sides of the '=' sign are called "terms" of the equation (1st term and 2nd term).
Solving an equation is to find out a number that, by substitution, makes the algebraic expresion true.
The solution of an equation is the value of the variable that make the equation true. For example, the solution of x + 5 = 12 is x = 7; the solution of 3x - 6 = 0 is x = 2.
Activities
4. Find out the solution of the following equations:
5. Make up some equations that have these solutions: 0, -1, 3, 5 and -10.
To solve an equation you have to simplify it untill you can get the value of the unknown. To do that you do the same to both sides, as if it was a scale. For example: 3x + 10 = 22; 3x + 10 -10 = 22 -10; 3x = 12; 3x/3 = 12/3; x = 4.
6. Solve the following equations (copy them first on your notebook):
7. Now it will get more complicated:
Word problems
(Not always you will need an equation).
Solve the following problems:
Nick run out of gums because gave to Edna half of his gums plus half a gum. Then gave to Thomas half of the gums he had left plus half another gum. How many gums had Nick at the beginning?
The length of one argentinosaurus was 17.5 meters plus half its own length. Calculate the length of that argentinosaurus.
Share 120 € with three people giving 6 € more to the first person than the second and 12€ more to the second than to the third one.
A bottle and its cap cost 1.10 €. The bottle costs 1 € more than the cap. What is the price of the bottle?
A Nicomedes le han cobrado 267.5 € por una reparación en el taller (IVA 7% inc). ¿A cuánto ascendía la factura sin IVA?
Una madre, para motivar a su hijo en el estudio de las matemáticas, se compromete a darle 1 €. por cada problema bien hecho, si está mal hecho, el hijo le devolverá 50 céntimos. Después de realizar 60 problemas, el hijo ganó 30 €. ¿Cuántos problemas resolvió bien?
When I was 6 years old, my sister was half my age. How old will she be when I am 70?
The age of Odoacro is twice his age two years ago. How old is Odoacro?
Ralph is 42 years old and his son is 10. Whithin how many years Ralph's age will be three times his son's age?
Eduvigis tiene 16 años, su hermano, 14, y su padre, 40 años. ¿Cuántos años han de pasar para que la edad del padre sea la suma de las edades de los hijos?
Martha, a vampire, is three times older than her doughter Mavis. A hundred years after, she will be twice as older as Mavis. How old are they?
“¿Cuántos pájaros van por allí?” Preguntó un niño a su padre. Y este respondió: “Esos y otros tantos como esos y la mitad de esos y la cuarta parte de esos y el gavilán hacen 100?” ¿Cuántos pájaros había?
Can you collect 780 € using 20 notes of 50 € and 20 €?
En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon?
The sum of three consecutive numbers is 84. What are the smallest of these numbers?
The sum of three consecutive even numbers is 51. What are the smallest of these numbers?
In October of the year 2010, I was three more than five times as old as my son Hugo. In October of 2014, I will be three less than five times as old as him. When was my son born?
Hoy en el supermercado he comprado pan, huevos, leche y unas manzanas, para mi sorpresa el producto de los cuatro precios es la misma cantidad que su suma. Si los huevos costaban 1,50 €, la leche 3€, y las manzanas 4€, ¿cuánto costaba el pan?
¿Cuántos años tienes? Toma tres veces los años que tendré dentro de tres años y réstale tres veces los años que tenía hace tres años. Esa es la edad que tengo.
Un chiquillo cazó varias arañas y escarabajos, en total ocho, y los guardó en una caja. Si se cuenta el número total de patas que corresponde a los 8 animales, resultan 54 patas. ¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja?
Cierta persona compró un impermeable, un sombrero y unas botas y pagó por todo 140 euros. El impermeable le costó 90 euros más que el sombrero; el sombrero y el impermeable juntos costaron 120 euros más que las botas ¿Cuál es el precio de cada prenda?
Problema en verso:
Problema en verso (de Rafael Rodríguez Vidal):
Por presumir de certero
un tirador atrevido
se encontró comprometido
en el lance que os refiero:
Y fue, que ante una caseta
de la feria del lugar
presumió de no fallar
ni un tiro con la escopeta,
y el feriante alzando el gallo
un euro ofreció pagarle
por cada acierto y cobrarle
a 0,60 el fallo.
Dieciséis veces tiró
el tirador afamado
al fin dijo, despechado
por los tiros que falló:
"Mala escopeta fue el cebo
y la causa de mi afrenta
pero ajustada la cuenta
ni me debes ni te debo".
Y todo el que atentamente
este relato siguió
podrá decir fácilmente
cuántos tiros acertó.
Exam questions
Translations: English - Spanish - The language of Algebra (like in Kahoot! game).
Substitution/Valor numérico (like in the test at the bottom of this page).
Solve three equations (like in exercises above).
Easy problem (very similar to those provided in the worksheet). It'll be necessary to set an equation.
Funny, new and different problem (very similar to those provided in the worksheet). Can be solved by any known method.
Ideas
Concurso de memes: "El lenguaje algebraico".
Anexo: Saberes básicos implicados en esta unidad
D. Sentido algebraico
MAT.3.D.1. Patrones
MAT.3.D.1.1. Patrones, pautas y regularidades: observación y determinación de la regla de formación en casos sencillos.
MAT.3.D.2. Modelo matemático
MAT.3.D.2.1. Modelización de situaciones de la vida cotidiana usando representaciones matemáticas y el lenguaje algebraico.
MAT.3.D.2.2. Estrategias de deducción de conclusiones razonables a partir de un modelo matemático.
MAT.3.D.3. Variable
MAT.3.D.3.1. Variable: comprensión del concepto en sus diferentes naturalezas.
MAT.3.D.4. Igualdad y desigualdad
MAT.3.D.4.1. Relaciones lineales y cuadráticas en situaciones de la vida cotidiana o matemáticamente relevantes: expresión mediante álgebra simbólica.
MAT.3.D.4.2. Equivalencia de expresiones algebraicas en la resolución de problemas basados en relaciones lineales y cuadráticas.
MAT.3.D.4.3. Estrategias de búsqueda de las soluciones en ecuaciones y sistemas lineales y ecuaciones cuadráticas en situaciones de la vida cotidiana.
MAT.3.D.4.4. Ecuaciones: resolución mediante el uso de la tecnología.
MAT.3.D.5. Relaciones y funciones
MAT.3.D.5.1. Relaciones cuantitativas en situaciones de la vida cotidiana y clases de funciones que las modelizan.
MAT.3.D.5.2.Relaciones lineales y cuadráticas: identificación y comparación de diferentes modos de representación, tablas, gráficas o expresiones algebraicas, y sus propiedades partir de ellas.
MAT.3.D.5.3. Estrategias de deducción de la información relevante de una función mediante el uso de diferentes representaciones simbólicas.
MAT.3.D.6. Pensamiento computacional
MAT.3.D.6.1. Generalización y transferencia de procesos de resolución de problemas a otras situaciones.
MAT.3.D.6.2. Estrategias para la interpretación, modificación de algoritmos.
MAT.3.D.6.3. Estrategias de formulación de cuestiones susceptibles de ser analizados programas y otras herramientas.
F. Sentido socioafectivo
MAT.3.F.1. Creencias, actitudes y emociones
MAT.3.F.1.1. Gestión emocional: emociones que intervienen en el aprendizaje de las matemáticas. Autoconciencia y autorregulación.
MAT.3.F.1.2. Estrategias de fomento de la curiosidad, la iniciativa, la perseverancia y la resiliencia en el aprendizaje de las matemáticas.
MAT.3.F.1.3. Estrategias de fomento de la flexibilidad cognitiva: apertura a cambios de estrategia y transformación del error en oportunidad de aprendizaje.
MAT.3.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones
MAT.3.F.2.1. Técnicas cooperativas para optimizar el trabajo en equipo y compartir y construir conocimiento matemático.
MAT.3.F.2.2. Conductas empáticas y estrategias de la gestión de conflictos.
MAT.3.F.3. Inclusión, respeto y diversidad
MAT.3.F.3.1. Actitudes inclusivas y aceptación de la diversidad presente en el aula y en la sociedad.
MAT.3.F.3.2. La contribución de las matemáticas al desarrollo de los distintos ámbitos del conocimiento humano desde una perspectiva de género.
MAT.3.F.3.3. Reconocimiento de la contribución de la cultura andaluza, en los diferentes periodos históricos y en particular del andalusí, al desarrollo de las matemáticas