Contents

1. El sistema de numeración decimal / The decimal numeral system. Place value.

2. Interpretación de códigos numéricos presentes en la vida cotidiana / Different uses of numbers in real life. Reading and writing numbers.

3. Propiedades de la suma, la resta, la multiplicación y la división. Propiedad distributiva del producto respecto de la suma / Addition, subtraction, multiplication and division. Properties.

4. Elaboración y uso de estrategias personales de cálculo mental. / Mental calculation.

5. Múltiplos de un número. Divisores de un número. / Multiples of a number. Divisors of a number. How to obtain all the divisors of a number.

6. Criterios de divisibilidad: 2, 3, 4, 5, 10, 25, 100 y 11. / Divisibility rules.

7. Números primos y números compuestos. Descomposición de un número en factores primos. / Prime numbers and composite numbers. Prime factor decomposition of a number.

8. Máximo común divisor de dos o más números. Mínimo común múltiplo de dos o más números. / Greatest common divisor (GCD) or Greatest common factor (GCF). Least common multiple (LCM).

• Cuneiform, additive systems, roman numerals...

• Possitional notation.

Uses:

• Bank accounts.

• Car plates.

• ID numbers.

• Lockers numbers.

• Postal codes.

Operations

Suma, resta, multiplicación, división = addition (sum), subtraction, multiplication, division

Activity 2: "Get 6"

Get 6 using three ones, three twos...

Fill the spaces with any mathematical symbol. It's forbidden to add any other number. No tricks, just mathematical operations.

0  0  0  = 6 3  3  3  = 6 6  6  6  = 6 9  9  9  = 6

1  1  1  = 6 4  4  4  = 6 7  7  7  = 6

2  2  2  = 6 5  5  5  = 6 8  8  8  = 6

3. Find the biggest number smaller than 100 that is:

• 1. a multiple of 2

  2. a multiple of 3

  3. a multiple of 4

  4. a multiple of 5

  5. a multiple of 6

  6. a multiple of 7

4. Find the smallest number that is bigger than 1000 that is:

• 1. a multiple of 6

  2. a multiple of 7

  3. a multiple of 8

Remember with this example: 3 is a is a factor or divisor of 15 because 15 : 3 = 5 (exact division). If 15 is a multiple of 3, then 3 is a divisor of 15. Given that, 

5. Find all the divisors of 15, 16, 27, 44, 13, 37 and 108.

Example: D(15) = {1, 3, 5, 15} Look, 1 and 15 are also divisors. When you have found one factor (3), there is always another factor that goes with it (5) –unless the factor is multiplied by itself to give the number.

6. What does happen to 13 and 37?

Have a look at this divisibility rules page and then, do the test at the bottom.

7. Use the divisibility rules to check if the number 515902 is divisible by 2, 3, 4, 5 and 11.

8. Which of the following numbers is a prime one: 21, 82, 31, 33.

9. Find the prime factors of 36, 100, 24, 98, 180, 120, 510 and 640.

10. Safari fotográfico: Múltiplos de 37. Lee el artículo enlazado. Busca múltiplos de 37 en la vida real y hazles una foto con tu móvil. Ojo, no vale "cortar" números para que sean múltiplos de 37, ni prepararlos (por ejemplo, escribiéndolos en una pizarra). Tienen que ser múltiplos "salvajes". Se valorarán más los números más altos y las mejores fotos a criterio del profesor.

12. Find these numbers:

• Written in order, the four factors of this number make a number pattern in which each number is twice the one before 

• An odd number that is a multiple of 7.

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor / Least Common Multiple, Greatest Common Divisor

1. Explain what happen in this comic strip and if there is a better solution.

2. If hot-dog sausages are sold in packs of 10 and hot-dog buns are sold in packs of 8, how many of each must you buy to have complete hot dogs with no extra sausages or buns? 

3. A bell chimes every 6 seconds. Another bell chimes every 5 seconds. If they both chime together, how many seconds will it be before they both chime together again? 

4. Fred runs round a running track in 4 minutes. Debbie runs round in 3 minutes. If they both start together on the line at the end of the finishing straight, when will they both be on the same line together again? How many laps will Debbie have run? How many laps will Fred have run? 

5. Find the LCM (Least Common Multiple) of these pairs of numbers. (Write down the smallest number, in prime factor form, that includes all the prime factors of both). 24 and 56, 21 and 35, 12 and 28, 28 and 42, 12 and 32, 18 and 27, 15 and 25, 16 and 36, 96 and 84.

6. Find the GCD (Greatest Common Divisor) of these pairs of numbers (Write down, in prime factor form, the biggest number that is in the prime factors of both): 12 and 28, 12 and 32, 12 and 35, 13 and 90, 15 and 25, 16 and 36, 18 and 27, 21 and 35, 24 and 56, 24 and 102, 25 and 35, 28 and 42, 42 and 21, 48 and 64, 36 and 54, 96 and 84.

7. Antonio is collecting stickers. They are sold in packages of 5. Can he buy exactly 15 stickers? What about 17? How many should he buy, at least, if the collection has a total number of 180?

8. Danaerys has a bag with marbles. There are a number between 40 and 80. If she makes groups of 3, of 4, or groups of 5, there is no marbles left. How many marbles are there in the bag?

9. Andrew is 15 years old, Carmen is 28, Benito, 45 and George, 39. Knowing that Andrew's father age is a multiple of his son's one, Who's Andrew's father?

10. Bill sold his scooter to Tom for $100. Tom sold it back to Bill for $80. Then Bill sold it to Herman for $90.  What is Bill's total profit? (Source: Martin Gardner).

11. How many odd - three digits - multiples of three can you make with the digits of 1234?

12. Intenta calcular el mínimo común múltiplo de 24 y 35 "a lo bruto", esto es, escribiendo la ristra de múltiplos de uno y otro número hasta que coincida el primero. ¿Qué ocurre?

13. En la final del World Padel Tour se enfrenta la pareja Fernando Belasteguín y Pablo Lima contra Sanyo Gutiérrez y Paquito Navarro. En el tie-break van 256 a 257 pero tras una discusión, no saben a quien le toca el servicio. Cada jugador sirve dos veces y empezó Belasteguín que, como establecen las normas del tie-break, comenzó sacando un solo servicio. ¿A quién le tocar sacar ahora?

14. Un padre y un hijo son marineros. Salen juntos el primer día que el hijo se hace a la mar en diferentes barcos de pesca. El padre vuelve a casa cada 20 días y el hijo lo hace cada 15 días. ¿Cada cuánto tiempo coinciden en su casa? (Problema de Olimpiada).

15. El número romano Zipi = CCXX tiene un gran amigo que, obviamente, se llama Zape. Zape es el gran amigo de Zipi porque es la suma de todos los divisores de Zipi (sin contar al propio Zipi). ¿Podrías averiguar qué número es Zape y cómo se expresa en números romanos? Comprueba también que Zipi es el gran amigo de Zape porque es la suma de todos sus divisores (excepto Zape). (Problema de Olimpiada).

Para ampliar

• Doomsday. Cómo calcular el día de la semana en que cayó cualquier fecha.

• 5 grandes enigmas de las mates.

Links

• Least Common Multiple Calculator.Greatest Common Divisor Calculator.

• Largest known prime number (2013). Updated (aug 2017, 274,207,281 − 1, a number with 22,338,618 digits).

• Mati y sus Matiaventuras, sobre los números primos.

• Animated factorization diagrams.

• The prime pages. All about prime numbers.

• El más menor de los múltiplos y el más mayor de los divisores.

• Criterios de divisibilidad con Troncho y Poncho.

• Juegos de divisibilidad.

• Charla de Adam Spencer sobre primos enormes.

• Curiosidad: múltiplos de 11 en el teclado de un móvil.

• The prime sieve.

Exam questions ;-)

There will be 9 questions, 5 of them in English.

1. History of numbers or numbers used in different contexts (introduction of the unit).

2. Easy operations with natural numbers (+, ·)

3. Multiples and divisors.

4. Rules of divisibility.

5. Identifying prime an composite numbers (smaller than 200).

6. Prime factor decomposition of two numbers.

7. Greatest common divisor.

8. Least common multiple.

9. Problema nuevo, divertido y diferente.

Anexo: Saberes básicos implicados en esta unidad

A. Sentido numérico

MAT.3.A.1. Conteo

MAT.3.A.1.1. Estrategias variadas de recuento sistemático en situaciones de la vida cotidiana.

MAT.3.A.1.2. Adaptación del conteo al tamaño de los números en problemas de la vida cotidiana.

MAT.3.A.2. Cantidad

MAT.3.A.2.1. Números grandes y pequeños: la notación exponencial y científica y el uso de la calculadora.

MAT.3.A.2.2. Realización de estimaciones con la precisión requerida.

MAT.3.A.2.3. Números enteros, fraccionarios, decimales y raíces en la expresión de cantidades en contextos de la vida cotidiana.

MAT.3.A.2.4. Diferentes formas de representación de números enteros, fraccionarios y decimales, incluida la recta numérica.

MAT.3.A.2.5. Interpretación del significado de las variaciones porcentuales.

MAT.3.A.3. Sentido de las operaciones

MAT.3.A.3.1. Estrategias de cálculo mental con números naturales, enteros, fracciones y decimales.

MAT.3.A.3.2. Operaciones con números enteros, fraccionarios o decimales en situaciones contextualizadas.

MAT.3.A.3.3. Relaciones inversas entre las operaciones (adición y sustracción; multiplicación y división; elevar al cuadrado y extraer la raíz cuadrada): comprensión y utilización en la simplificación y resolución de problemas.

MAT.3.A.3.4. Efecto de las operaciones aritméticas con números enteros, fracciones y expresiones decimales.

MAT.3.A.3.5. Propiedades de las operaciones (suma, resta, multiplicación, división y potenciación): cálculos de manera eficiente con números naturales, enteros, fraccionarios y decimales tanto mentalmente como de forma manual, con calculadora u hoja de cálculo.

MAT.3.A.4. Relaciones

MAT.3.A.4.1. Factores, múltiplos y divisores. Factorización en números primos para resolver problemas: estrategias y herramientas.

MAT.3.A.4.2. Comparación y ordenación de fracciones, decimales y porcentajes: situación exacta o aproximada en la recta numérica.

MAT.3.A.4.3. Selección de la representación adecuada para una misma cantidad en cada situación o problema.

MAT.3.A.4.4. Patrones y regularidades numéricas.

F. Sentido socioafectivo

MAT.3.F.1. Creencias, actitudes y emociones

MAT.3.F.1.1. Gestión emocional: emociones que intervienen en el aprendizaje de las matemáticas. Autoconciencia y autorregulación.

MAT.3.F.1.2. Estrategias de fomento de la curiosidad, la iniciativa, la perseverancia y la resiliencia en el aprendizaje de las matemáticas.

MAT.3.F.1.3. Estrategias de fomento de la flexibilidad cognitiva: apertura a cambios de estrategia y transformación del error en oportunidad de aprendizaje.

MAT.3.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones

MAT.3.F.2.1. Técnicas cooperativas para optimizar el trabajo en equipo y compartir y construir conocimiento matemático.

MAT.3.F.2.2. Conductas empáticas y estrategias de la gestión de conflictos.

MAT.3.F.3. Inclusión, respeto y diversidad

MAT.3.F.3.1. Actitudes inclusivas y aceptación de la diversidad presente en el aula y en la sociedad.

MAT.3.F.3.2. La contribución de las matemáticas al desarrollo de los distintos ámbitos del conocimiento humano desde una perspectiva de género.

MAT.3.F.3.3. Reconocimiento de la contribución de la cultura andaluza, en los diferentes periodos históricos y en particular del andalusí, al desarrollo de las matemáticas