3. Proportionality. Percentages.

Problemas introductorios

NIM

Nim is a mathematical game of strategy in which two players take turns removing objects from distinct heaps. On each turn, a player must remove at least one object, and may remove any number of objects provided they all come from the same heap (from wikipedia).

We will start with five piles of 5, 4, 3, 2 and 1 objects. We use lines and crossing out.

The one who takes or crosses out the last object lose the round.

Let's play in pairs till some scores 60.

La apuesta interrumpida

Dos alumnos, Anacleta y Bonifacio, están jugando al NIM en clase de Matemáticas y hacen una apuesta que ganará el primero que consiga 60 victorias. Cada uno pone 11 chicles en esa apuesta. Lamentablemente el timbre para terminar la clase suena antes de que finalice el juego, cuando Anacleta llevaba 50 victorias y Bonifacio, 30. ¿Cómo crees que deberían repartirse los chicles si ya no van a volver a jugar?

Este es Luca Pacioli, quien en 1494 enunció por primera vez el problema de la apuesta interrumpida en términos parecidos a los que aquí se exponen.

La oferta de videojuegos

En una tienda de videojuegos pueden observarse los siguientes precios: Minecraft (24.90 €); FIFA 17 (41.90 €); Overwatch Origins (29.95 €). Se pueden adquirir por separado, pero también están las siguientes ofertas:

Llévate los tres y te hacemos un 50% de descuento.
2x1: llévate dos y paga sólo uno (te regalamos el de menor precio).
En tu segunda compra te cobramos sólo la mitad.
3x2: llévate tres y paga sólo dos (te regalamos el de menor precio).

Calcula cuánto costarían los tres videojuegos con cada una de las ofertas.

¿Cuál sería tu estrategia de compra para adquirir los tres videojuegos por el menor precio posible?

Proporción numérica. / Proportion.
Magnitudes directamente proporcionales. Razón de proporcionalidad. / Directly proportional magnitudes. Constant of proportionality
Repartos directamente proporcionales. / Directly proportional distributions.
Tanto por ciento o porcentaje. / Percentages.
Variaciones porcentuales. Porcentajes encadenados. / Percent increase and decrease.
Relaciones entre fracciones, decimales y porcentajes. / Fractions, decimals and percentages relationship.
Uso de estas relaciones para elaborar estrategias de cálculo práctico con porcentajes.
Magnitudes inversamente proporcionales. Repartos inversamente proporcionales. / Inverse proportionality.

Actividades de repaso

A continuación verás una lista de actividades. Hay muchos problemas entre ellas. Antes de resolverlos has de tener claro qué es lo que se pide y cuáles son los datos que se ofrecen. Es también de gran ayuda hacer una estimación del resultado cuando sea posible usando una o dos cifras significativas, como se vio en el tema anterior.

Los primeros problemas quizás te resulten demasiado sencillos. Es mejor empezar así.

Problemas de repaso

A group of 27 people has gone to a museum. How much do they have to pay if every ticket costs 2.5 €?
How much does a Wii cost if two do 288 €?
If a box of 37 bracelets costs 11,90 euros, how much is one bracelet?
One user can read this message at a music web store service: 4 952 songs, 14 days. Can you explain it?

Ratio and Proportion

Razón y proporción, unos apuntes.

La razón entre dos cantidades es una forma de compararlas. Habitualmente se expresa con dos puntos o en forma de fracción. Algunos ejemplos en la vida real son:

La escala de un mapa es 1 : 5 000 000 (comparamos las medidas del mapa, 1, con las medidas en la realidad, 5 000 000).
Mi televisor tiene un formato 16 : 9 (comparamos el ancho con el alto del rectángulo correspondiente a la pantalla).
Mi móvil me ofrece las siguientes posibilidades para recortar una foto:

Proporciones de recorte de una imagen en un móvil.

Actividades. Razón y proporción.

La razón entre chicos y chicas en una clase de 2º de ESO es de 3 a 2. Escribe esa razón en forma de fracción. ¿Puedes escribir la fracción que representa al número de chicas respecto del total de alumnos de la clase?
A chocolate bar is cut into two pieces in the ratio 2 : 5. What fraction of the original length is the longer piece?
Have a look at the menu of a projector or a tv receiver to see a famous ratio.
En otro grupo de estudiantes la razón entre chicos y chicas es de 6 a 4. ¿En qué grupo hay más chicas, si comparamos esta clase con la del ejercicio 1?
Una proporción (proportion) es una igualdad de razones, por ejemplo: 4/10 = 6/15. Como sabemos, en tal caso al multiplicar en cruz se obtiene el mismo resultado: 4·15 = 10·6. Las proporciones se escriben, a veces, así: 4, 10, 6 y 15 y se leen: "4 es a 10 como 6 es a 15". Comprueba si los siguientes números son proporciones:
1. 4, 3, 800 y 600.
2. 1, 1, 50 y 50.
3. 16, 9, 15 y 10.
Encuentra cinco términos más de la siguiente sucesión: 1, 1, 2, 3, 5, ... Halla la razón entre cada término y el anterior y exprésala en forma de número decimal. Esta sucesión de números es muy especial. Se llama la sucesión de Fibonacci (Leonardo de Pisa, a la derecha, s.XII). La razón entre cada término y el anterior no es siempre la misma, pero cada vez está más cerca de la famosa razón aúrea.
Draw a line segment. Divide it into two pieces in such way that the ratio of the whole line to the big piece is equal to the ratio of the big piece to the small piece.
Cristiano Ronaldo earns €18,200,000 per year. How long will it take for a worker who earn 1000 € per month to get to Ronaldo's wage? How many minutes does Ronaldo need to earn what that worker do in a year?

Fibonacci y un nautilus. «NautilusCutawayLogarithmicSpiral». Disponible bajo la licencia CC BY-SA 3.0 vía Wikimedia Commons. ¿Por qué está aquí esta foto?

Directly proportional magnitudes. Constant of proportionality

Introduction: Weight of marbles.

What is the weight of 10 marbles? (Estimation).

What is the weight of 20 marbles? And 30? And 40?

Dos magnitudes son directamente proporcionales (directly proportional) si a medida que crece la una, también crece la otra, de manera que sus respectivos valores forman una proporción. Dicho de otro modo: al multiplicar una de las magnitudes por cierto número distinto de cero, la otra también queda multiplicada por el mismo número. La razón entre los valores correspondientes de dos magnitudes directamente proporcionales se llama constante de proporcionalidad.

You can buy apples by 2 euros a kilogram. Fill the following table:

Kgs and prices from last exercise are directly proportional magnitudes. You get prices multiplying kilograms by 2. So 2 is the constant of proportionality.

2. How many trees cut this machine at the end of the video? And in one hour?

El amazonas se deforesta a un ritmo de 800 000 ha por año. ¿Cuánto tiempo tardará en deforestarse una superficie equivalente a Andalucía?

Find the constant of proportionality

3. Antonio buy 4 workbooks by 6 euros. Paula is going to buy 3 workbooks. How much will they cost? Rubén has 15 euros. How many workbooks can he buy?

4. What is the weight of 20 marbles? And 40?

5. Have a look at this chocolate cake recipe. Calculate the ingredients for making cakes for all the class.

6. Si la Tierra fuese cómo esta canica, ¿Qué tamaño tendría el Sol?

7. Imagina que el Sol es un balón de baloncesto. Averigua el tamaño que tendría la Tierra y la distancia a la que estaría de aquel, si colocamos la pelota de baloncesto en la entrada del Instituto (Ayuda: The Planets in our Solar System).

8. El papiro de Ahmes tiene unas dimensiones de unos 6 m de longitud por 30 cm de anchura. Dibuja el papiro en tu libreta, con unas dimensiones proporcionales a las del objeto real.

9. I need a picture related with ebooks that fits in the white rectangle of the following poster. Find the required picture, cut it in the desired ratio and send it to the teacher adding in the message its dimensions in pixels. (Click on the poster to make it larger).

Repartos proporcionales/Directly proportional distributions.

Observa cómo se realiza un reparto proporcional. Practica con el ejercicio "Inténtalo" de esta web.
A grandfather decides to distribute 6 000 € between his three grandchildren, but instead of giving a third to each one he prefers to do it proportionally to the age of every grandchild, whose ages are 7, 12 and 21 years old. How much will each of them receive? (Source: Sangakoo).
Anthony, Claire and Albert are three bartenders who always distribute the month’s tips according to the daily hours that each one works. Anthony works 8 hours a day and this month 124 € have corresponded to him. If Claire works 6 hours a day and Albert 4 hours a day: how much corresponds to them? How much have the total tips been this month? (Source: Sangakoo).

4. La siguiente tabla muestra la distribución de los 350 escaños del parlamento español tras las últimas elecciones generales de 2016 (fuente: MIR). Realiza un reparto directamente proporcional de esos 350 escaños en función del porcentaje de votos recibido. Redondea tus cálculos a las unidades. Dibuja una nueva tabla donde aparezcan los escaños reales, los que tú has calculado y la diferencia entre ambos.

5. Aprende más sobre repartos electorales en esta web.

6. 156, 101, 15, 24, 5, 16, 5, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1...

7. Actividad complementaria: elecciones a la mascota del instituto.

Percentages/Porcentajes

Here you are some activities to review percentages.

Percentages can be viewed as ratios. I. e.: 25% = 25/100 = 25 out of 100 = 25:100 = 0.25

Other examples of the relationship between fractions, decimals and percentages:

50 % = 0.50 = 50/100 = 1/2

35 % = 0.35 = 35/100 = 7/20

Every year a sport club likes to replace 10 % of its balls. One year the club had 200 balls. How many did it replace?
Five of the 30 students of 4º ESO B are older than 15. What percentage are 15 years old or younger?
Find out which percentage of the students of this school has an active twitter account (at least a tweet in the last week).
How much of your phone is actually screen?
Increase each of the following by the given percentage:
1. 60 € by 4%; 12 kg by 8%; 450 g by 5%; 545 m by 10%
2. 34 € by 12%; 75 € by 20%; 340 kg by 15%; 670 cm by 23%
¿Qué porcentaje de tu teléfono es pantalla? (Fuente).
Revisa el siguiente artículo sobre el margen de beneficio de los móviles. Calcula el precio de fabricación de tu teléfono, suponiendo un beneficio del 60%.

8. Find the error in the picture on the right (click on it to make it bigger).

9. Una persona tiene un riesgo del 5% de tener cáncer colorrectal. Si come carne roja cada día, el riesgo aumenta un 18%. ¿Cuál sería el porcentaje de riesgo entonces si decide alimentarse de ese modo? (Noticia relacionada).

10. Fill the black boxes with the appropriate number (source):

11. En una tienda están de rebajas, el 40% en cada artículo. Por otra parte, los precios no incluyen IVA (21%). ¿Prefieres que te hagan primero el descuento y luego te apliquen el IVA o al revés? Realiza los cálculos apropiados para corroborar o descartar tu hipótesis con tres artículos de una tienda online (por ejemplo, esta).

12. Explica cómo puede obtenerse el porcentaje que aparece en la siguiente imagen, a partir del resto de números:

13. La brecha salarial en España es del 19.3%. Encuentra el salario medio de un hombre en España y calcula el salario de una mujer por hacer ese mismo trabajo, según el dato anterior.

14. Do the test at the bottom of this webpage.

15. He pagado por todo mi material escolar 72.6 € (IVA del 21% incluido, dato real). ¿Cuánto vale el material sin el IVA? ¿Cuánto me ahorraría si el IVA fuese como el de los libros de texto, de un 4%?

16. Sort all types of numbers (percentages, fractions and decimals) with this game.

17. Una abogada desea cobrar a un cliente 150 euros (IVA incl.), pero para preparar la factura, debe conocer el precio sin IVA. Escribe la factura usando los siguientes conceptos: Importe bruto, IVA (21%), Total (IVA incl.).

18. Si rebajan un 20% un artículo y luego, en unas segundas rebajas, aplican un descuento del 30% sobre el precio inicialmente rebajado... ¿Qué porcentaje de rebaja total me han aplicado sobre el precio original?

Resumen del cálculo de porcentajes

Porcentaje de una cantidad: 25% de 30 = 0.25 · 30 = 7.5
Fracción a porcentaje: 3/4 = 3 : 4 = 0.75 = 75%
Descuentos: 40€ menos un 30% = 0.70 · 40 = 28 €
Aumentos: 60€ más un 20% = 60 · 1.20 = 72
Encadenamientos: 50 más un 10% menos un 30% = 50 · 1.10 · 0.70 = 38.5
Problemas inversos:
- ¿De qué cantidad es 175 su 70%? x · 0.7 = 175; x = 175 : 0.7 = 250.
- ¿Qué porcentaje me han rebajado si he pagado 40 € por un artículo de 50€? 40/50 = 0.8 = 80%, entonces me han rebajado un 20%

Inverse proportionality

En las magnitudes inversamente proporcionales ocurre que a medida que crece la una, disminuye la otra. Eso ocurre, por ejemplo, con la velocidad y el tiempo invertido en hacer determinado recorrido.

Resuelve los cuatro problemas de repartos inversamente proporcionales de esta web.
4 people can paint a fence in 3 hours. How long will it take 6 people to paint it? How many people are needed to complete the job in half an hour?
It takes 3 men 12 hours to repair a road. How long will it take 6 men to do the job if they work at the same rate?
Words per minute test.

Evaluación

Este es un enlace a las preguntas del examen (criterios de evaluación, dicho en fino ;-)).

Useful and funny links

The Golden Ratio (BBC).
La proporción áurea en arquitectura.
Donald Duck: Mathmagic Land.
Slightly related to the golden ratio: SpongeBob Squarepants' house (by Vi Hart).
SpongeBob background designer's response (with some proportions in there).
And a poscript to above Vi Hart video.
Girasoles. Cuenta las espirales de cualquier girasol y encontrarás un número de la sucesión de Fibonacci.
Three million Spanish workers made less than €1,000 a month in 2014.
How long would it take you to earn a top footballer’s salary?
How much of your phone is actually screen?.
La paradoja de Simpson y los porcentajes.
Why elections.
Toda la verdad sobre el día sin IVA.
¿Por qué suspendes?

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