Project

1. Work in groups of four (changes allowed if both parts agree).

2. Make a slideshow about conic sections.

3. It must contain, four slides, one per curve (circumference, ellipse, parabola and hyperbola).

4. Every member of the group must be able to describe any of the four conics, since the assignation will be asigned randomly.

5. You shoud describe each curve (in terms of Geometry -definition, features and elements- and Analytic Geometry -equation-).

6. It must appear one picture or video of a real situation where the conic shows up. The image or video must be made by you.

7. The presentation and the slides must be in English. 

8. All the explanations will be on April, 15th (second Monday after holydays). We will use the first Monday (April, 8th) to solve hesitations and work together. All the presentations should be sent to the teacher in advance, before that day.

What is this useful for?

(This section is in the process of being translated into English from Spanish)

It is possible that conics are the family of geometrical curves more important and present in Nature, Arts and Technics. The most common example is the circle, a special kind of ellipse. A watch face, a car tyres, the rim of a glass or a hat, the gears in a machine, a tour around the world, the pupil of an eye... There are circles everywhere!

But... what about the rest of the conics? Well, it happens that if you cut a cylinder by any plane not perpendicular to its generatrix, you get an ellipse. Thats why any salami slice has that shape, or the rim of a glass from a non vertical point of view.

Another example is the parabola. A stream of water coming from a hose as the trajectory of any projectile is an arc of a parabola. That phisics law was discovered by Galileo Galilei in 17th century and allow the engineers (or anybody with that mathematical knowledge) to calculate the highest point of that track or the range of the weapon by knowing, only, the initial speed and the angle with the ground. That is called 

...

Otro ejemplo de aparición de una cónica de forma natural ocurre con la parábola. El chorro de agua de una manguera que forme cierto ángulo con la horizontal tiene forma de parábola, al igual que la trayectoria seguida por cualquier proyectil. Esta ley, descubierta experimentalmente por Galileo en el s. XVII sirve para calcular con gran precisión el alcance y altura máxima de un proyectil lanzado con una velocidad inicial y un ángulo con la horizontal dados. Es lo que se llama tiro parabólico.

La hipérbola también aparece con frecuencia en nuestras vidas. Sin ir más lejos, cualquiera que tenga una lámpara con pantalla cónica en su casa, podrá observar esta curva dibujada por la sombra de la pantalla en la pared. Ello se debe a que la pared hace de plano paralelo al eje del cono de luz emitido por la bombilla. Naturalmente, variando la inclinación de la pantalla, también pueden observarse parábolas o elipses.

Precisamente debido a las características de las secciones cónicas, las numerosas circunferencias que existen en la vida real aparecen ante nuestros ojos como elipses. Ello ocurre porque al mirar una circunferencia, en realidad estamos viendo la intersección del cono de rayos de luz reflejados por la misma con el plano que la contiene. Esta visión “distorsionada” que tenemos de los objetos reales fue lo que dio lugar al origen de la geometría proyectiva. Esta rama de la geometría también estudia profusamente las cónicas, aunque desde otra perspectiva (nunca mejor dicho). Los artistas utilizan sus leyes desde hace tiempo para plasmar el aspecto que los objetos reales (entre ellos los que tienen forma de cónica) tienen en sus cuadros.

Los estudios sobre cónicas de Kepler, junto con sus incontables observaciones astronómicas, le llevaron a postular su revolucionaria teoría de que las órbitas de los planetas que giran alrededor del Sol eran elípticas, con el Sol en uno de sus focos (en realidad son elipses muy parecidas a circunferencias pues sus excentricidades son muy pequeñas; la de la órbita de la Tierra, por ejemplo, es 0’0167). Otros astros (los que vemos sólo una vez, como ocurre con algunos cometas) siguen trayectorias parabólicas o hiperbólicas. Ésta ley de las órbitas elípticas era la primera de sus tres famosas leyes sobre el movimiento de los cuerpos celestes. Con estas leyes, la importancia de las cónicas se vio reafirmada. “La elipse, lejos de ser simplemente una curiosidad de los matemáticos griegos, se había convertido en el camino preciso recorrido por la Tierra y cuantos estamos sobre ella” (W. Dunham).

Fue Newton quien dio soporte matemático a las leyes de Kepler. Además de ello, Newton estudió otras propiedades de las cónicas, como la propiedad reflectante de la parábola, según la cual, un rayo de luz que emerja del foco y que se refleje en un punto de una parábola, partirá con una dirección paralela al eje de la misma. La propiedad también se produce de manera recíproca, es decir, todo rayo que incida sobre la parábola de manera paralela al eje, se refleja pasando por su foco. En esta propiedad se basa la construcción de los telescopios reflectantes, como el inventado por Newton. Los grandes proyectores de seguimiento, los faros de los automóviles o las antenas parabólicas se basan en la misma propiedad e la parábola.

En el caso de la elipse se demuestra fácilmente que los rayos que parten de uno de sus focos y se reflejan en la elipse, se recogen en el otro foco. Por eso en ocasiones en bóvedas con sección elíptica es posible escuchar con nitidez la voz de personas que están muy alejadas; y en la hipérbola, los rayos que se originan en uno de sus focos se reflejan en ella como si partiesen del otro foco.

La hipérbola también tienen numerosas aplicaciones técnicas. Una de las más conocidas es el sistema LORAN (long distance radio navigation) de uso en aviones y barcos para su localización. Se basa en la propiedad que define a la hipérbola como lugar geométrico: la diferencia de distancias a dos puntos fijos es constante. El sistema utiliza pulsos sincronizados de ondas de radio transmitidos por dos estaciones separadas a gran distancia entre sí. La diferencia en el tiempo de llegada al barco o el avión de tales pulsos es constante, de manera que el barco o avión se encuentra siempre sobre una hipérbola que tiene a las dos estaciones como focos. Como última aplicación técnica hablaremos de la llamada elipse de inercia de una placa. Se cumple que cualquiera que sea la forma y tamaño de una placa y la distribución de su masa, el valor de su momento de inercia (con más precisión, el de una cantidad inversamente proporcional a la raíz cuadrada del momento de inercia) con respecto a los distintos ejes del plano de la placa que pasan por el punto dado O, viene caracterizada por una cierta elipse. Esta elipse se llama elipse de inercia de la placa relativa al punto O. Si el punto O es el centro de gravedad de la placa, la elipse se llama entonces elipse central de inercia. La elipse de inercia tiene gran importancia en mecánica; en particular posee aplicaciones importantes en resistencia de materiales.

Por último digamos que cualquier ley física, económica o de cualquier tipo que pueda describirse mediante una relación de proporcionalidad inversa, puede representarse gráficamente mediante una hipérbola equilátera.

Conexiones y tratamiento interdisciplinar:

Existe la posibilidad de un tratamiento interdisciplinar con las siguientes áreas y temas:

• Ciencias de la naturaleza: El universo (órbitas de los planetas).

• Física y Química: Leyes de Kepler, Tiro parabólico.

• Educación Plástica y Visual: Construcción de las cónicas (método del jardinero y otros), la perspectiva, la luz.

• Tecnología: construcción de figuras con forma cónica (por ejemplo un cilindro de base elíptica), funcionamiento de ciertos aparatos como antenas parabólicas, telescopios, faros... La omnipresencia de la circunferencia en las construcciones y máquinas hechas por el hombre..

Links

• Conic sections.

• The equation of parabola. 

• There is only one true parabola (standupmaths by Matt Parker).

• Cómo convertir a un no amante de las Matemáticas (elipses).

• Sconic sections (scone is a kind of cake).

• Parábolas en la vida real.

• What your teacher (probably) never tell you about parabola, hyperbola and ellipse.

• I see circles.

Saberes básicos implicados en la unidad

C. Sentido espacial

MATE.1.C.1. Formas geométricas de dos dimensiones.

MATE.1.C.1.1 Objetos geométricos de dos dimensiones: análisis de las propiedades y determinación de sus atributos. Manejo de triángulos, paralelogramos y otras figuras planas.

MATE.1.C.1.2 Resolución de problemas relativos a objetos geométricos en el plano representados con coordenadas cartesianas. Ecuaciones de la recta en el espacio bidimensional. Estudio de la posición relativa de puntos y rectas en el plano. Lugares geométricos: ecuación de la recta mediatriz. Estudio de la simetría en el plano: punto simétrico respecto de otro punto y de una recta; recta simétrica respecto de otra recta. Aplicación de los números complejos para la construcción de polígonos regulares.

MATE.1.C.2. Localización y sistemas de representación.

MATE.1.C.2.1 Relaciones de objetos geométricos en el plano: representación y exploración con ayuda de herramientas digitales.

MATE.1.C.2.2 Expresiones algebraicas de objetos geométricos en el plano: selección de la más adecuada en función de la situación a resolver.

MATE.1.C.3. Visualización, razonamiento y modelización geométrica.

MATE.1.C.3.1 Representación de objetos geométricos en el plano mediante herramientas digitales.

MATE.1.C.3.2 Modelos matemáticos (geométricos, algebraicos, grafos...) en la resolución de problemas en el plano. Conexiones con otras disciplinas y áreas de interés.

MATE.1.C.3.3 Conjeturas geométricas en el plano: validación por medio de la deducción y la demostración de teoremas.

MATE.1.C.3.4 Modelización de la posición y el movimiento de un objeto en el plano mediante vectores.

MATE.1.C.3.5 La geometría en el patrimonio cultural y artístico de Andalucía.

D. Sentido algebraico.

MATE.1.D.2. Modelo matemático.

MATE.1.D.2.2 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas: modelización de situaciones en diversos contextos. 

MATE.1.D.3. Igualdad y desigualdad. Ecuaciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Inecuaciones polinómicas, racionales y de valor absoluto sencillas. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Método de Gauss para identificar los tipos de sistemas y resolver sistemas compatibles determinados e indeterminados. Resolución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales en diferentes contextos.

MATE.1.D.5. Pensamiento computacional.

MATE.1.D.5.1 Formulación, resolución y análisis de problemas de la vida cotidiana y de la ciencia y la tecnología empleando herramientas o programas más adecuados.

F. Sentido socioafectivo.

MATE.1.F.1. Creencias, actitudes y emociones.

MATE.1.F.1.1 Destrezas de autoconciencia encaminadas a reconocer emociones propias, afrontando eventuales situaciones de estrés y ansiedad en el aprendizaje de las matemáticas.

MATE.1.F.1.2 Tratamiento del error, individual y colectivo, en el aula de matemáticas como elemento movilizador de saberes previos adquiridos y generador de oportunidades de aprendizaje en el aula de matemáticas.

MATE.1.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones.

MATE.1.F.2.1 Reconocimiento y aceptación de diversos planteamientos en la resolución de problemas y tareas efectivas para el éxito en el aprendizaje de las matemáticas, transformando los enfoques de las y los demás en nuevas y mejoradas estrategias propias, mostrando empatía y respeto en el proceso.

MATE.1.F.2.2 Técnicas y estrategias de trabajo en equipo para la resolución de problemas y tareas matemáticas, en equipos heterogéneos.

MATE.1.F.3. Inclusión, respeto y diversidad.

MATE.1.F.3.1 Destrezas para desarrollar una comunicación efectiva, la escucha activa, la formulación de preguntas o solicitud y prestación de ayuda cuando sea necesario.

MATE.1.F.3.2 Valoración de la contribución de las matemáticas y el papel de matemáticos y matemáticas a lo largo de la historia en el avance de la ciencia y la tecnología.