3. Powers & Square Root

Potencias de base entera y exponente natural / Powers. Base and exponent.
Operaciones con potencias de la misma base. / Multiplying powers (same base).
Operaciones con potencias del mismo exponente. / Powers with the same exponent.
Cuadrados perfectos y raíces cuadradas. / Perfect squares and square roots
Estimación y obtención de raíces aproximadas. / Estimation
Jerarquía de las operaciones. / Order of operations.

Problema

La leyenda del inventor del ajedrez: cuenta la leyenda que, hace mucho tiempo, un príncipe hindú salió de la profunda tristeza en la que se hallaba sumido gracias al entretenimiento que le produjo el ajedrez, inventado para la ocasión. Su padre, el rey, prometió al inventor, Sesa, pagarle con lo que este pidiera. Sesa pidió un grano de trigo por la primera casilla del ajedrez, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así, sucesivamente se iría duplicando la cantidad hasta llegar a la casilla 64. ¿Cuántos granos de trigo tuvieron que pagarle a Sesa? ¿Qué teclas de la calculadora necesitarías para calcularlo? ¿Si un grano de trigo pesa 0,05 g, cuántos carros que puedan transportar 1000 kg de trigo debería preparar el rey para saldar la deuda?

Activities

Powers

Which is the next number in this sequence? 1, 4, 9, 16, 25, ... Those numbers are called SQUARED NUMBERS or PERFECT SQUARES. Write all the square numbers smaller than 500.
Write down the positive square root of each of these numbers: 4, 25, 49, 1, 81, 100, 64, 9, 36, 16, 121, 144, 400, 900 and 169.
Which is the value of 6 squared? And 5 cubed?
Work out the following powers of 10: 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶. Guess the answer of 10¹⁰⁰. You can use words to describe it. This number is called "googol".
Make the prime factor decomposition of a googol.
Without using the calculator, find out which number is bigger, 2²⁴ o 20 000 000.
The IP number of a device connected to the Internet is formed of four numbers, between 0 and 255, separated by dots. That is like the ID of that device. For example: 168.45.123.34 Knowing that, how many devices can be connected to the Internet before having to change this protocol?
Write in the form of a power: 2·2·2·2, 3·3·3·3·3, 3·3·5·3, 5+5+5, 23 · 24, 75 : 74
Calculate:
- 2 - 3²
- (-3)²+2
- 2¹⁰ • 5¹⁰
- 732658⁰
- 1+(3 - 5)³
- -3⁴
- (-2)⁴
Which one is a perfect square? If it's not, put the number between two perfect squares and do the same with their square roots: 6, 25, 64, 72, 1024
Perform the following operations:
- (−4)3 · 2 + 3 · 23 + 5 · (−3) − 20 =
- 3² − (4 − 3 · 2) + 6 + 2 · ((−3) · (−4)) =
- 2 − [2 − (−4) − 6 · (−2)] − (52 · 3 − 1) =
- 4 − [2 − (3 − 4 · 3)] + [4 − (3 · 2)]5 − 4 =
- 6 − {3 − [−13 + 3 · (−2)2]5} − [4 − (−2)3] + 6 =
- [(−2) · (−2)] − [(−2)2 · 2]}2 − [(−3)3 · (−3)0 + 2] =
- −(+12) · 3² + (−25) : 5 − (−19) =
- −2 · (−4² − 2 · 4)² + (−2)³ =
What is the biggest number you can represent using three nines?
The magic beans plant duplicate its size every day till it gets to 1024 meters in 10 days. When will it be half that height?
Calculate the square of 111 111 111. Do you notice something special?
If one person spread a rumor in X at five o'clock to its 20 followers and, every hour, each person that reads the post for the first time repost it, how many persons will read that post at nine o'clock, supposing an average of 20 followers per X account?

Square roots

Remember than the square root of a number is a value that can be multiplied by itself to give the original number. For example, the square root of 16 is 4, because 4² = 16.

Given that, the square root of any negative number doesn't exist because the square of any integer is positive.

For example 10² = 100 and (-10)² = 100, so √(-100) doesn't exist. There is a symbol in mathematics to express "It doesn't exist", it is ∄

Square roots approximation

If a number is not a perfect square, then its square root is not an integer. In fact, it is an irrational number. Then we can give an approximation of its value.

Example for the square root of 30.

First we try some squares to check that 5² = 25 y 6² = 36. That is:

25 < 30 < 36

Then:

√25 < √30 < √36

and so:

5 < √30 < 6

So, we already know that the square root of 30 is five point something. As 30 is closer to 25 than to 36, that number will be smaller than 5.5. Maybe 5.4 or so. If we get that root in a calculator, we'll get 5.47722557505... (it has infinite decimals).

1. Da un valor aproximado de las raíces cuadradas de los siguientes números (sin usar la calculadora): 14, 29, 37, 142, 170, 220, 900 y 1001.

Para ampliar

Anexo: Saberes básicos implicados en esta unidad

A. Sentido numérico

MAT.3.A.1. Conteo

MAT.3.A.1.1. Estrategias variadas de recuento sistemático en situaciones de la vida cotidiana.

MAT.3.A.1.2. Adaptación del conteo al tamaño de los números en problemas de la vida cotidiana.

MAT.3.A.2. Cantidad

MAT.3.A.2.1. Números grandes y pequeños: la notación exponencial y científica y el uso de la calculadora.

MAT.3.A.2.2. Realización de estimaciones con la precisión requerida.

MAT.3.A.2.3. Números enteros, fraccionarios, decimales y raíces en la expresión de cantidades en contextos de la vida cotidiana.

MAT.3.A.2.4. Diferentes formas de representación de números enteros, fraccionarios y decimales, incluida la recta numérica.

MAT.3.A.2.5. Interpretación del significado de las variaciones porcentuales.

MAT.3.A.3. Sentido de las operaciones

MAT.3.A.3.1. Estrategias de cálculo mental con números naturales, enteros, fracciones y decimales.

MAT.3.A.3.2. Operaciones con números enteros, fraccionarios o decimales en situaciones contextualizadas.

MAT.3.A.3.3. Relaciones inversas entre las operaciones (adición y sustracción; multiplicación y división; elevar al cuadrado y extraer la raíz cuadrada): comprensión y utilización en la simplificación y resolución de problemas.

MAT.3.A.3.4. Efecto de las operaciones aritméticas con números enteros, fracciones y expresiones decimales.

MAT.3.A.3.5. Propiedades de las operaciones (suma, resta, multiplicación, división y potenciación): cálculos de manera eficiente con números naturales, enteros, fraccionarios y decimales tanto mentalmente como de forma manual, con calculadora u hoja de cálculo.

MAT.3.A.4. Relaciones

MAT.3.A.4.1. Factores, múltiplos y divisores. Factorización en números primos para resolver problemas: estrategias y herramientas.

MAT.3.A.4.2. Comparación y ordenación de fracciones, decimales y porcentajes: situación exacta o aproximada en la recta numérica.

MAT.3.A.4.3. Selección de la representación adecuada para una misma cantidad en cada situación o problema.

MAT.3.A.4.4. Patrones y regularidades numéricas.

F. Sentido socioafectivo

MAT.3.F.1. Creencias, actitudes y emociones

MAT.3.F.1.1. Gestión emocional: emociones que intervienen en el aprendizaje de las matemáticas. Autoconciencia y autorregulación.

MAT.3.F.1.2. Estrategias de fomento de la curiosidad, la iniciativa, la perseverancia y la resiliencia en el aprendizaje de las matemáticas.

MAT.3.F.1.3. Estrategias de fomento de la flexibilidad cognitiva: apertura a cambios de estrategia y transformación del error en oportunidad de aprendizaje.

MAT.3.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones

MAT.3.F.2.1. Técnicas cooperativas para optimizar el trabajo en equipo y compartir y construir conocimiento matemático.

MAT.3.F.2.2. Conductas empáticas y estrategias de la gestión de conflictos.

MAT.3.F.3. Inclusión, respeto y diversidad

MAT.3.F.3.1. Actitudes inclusivas y aceptación de la diversidad presente en el aula y en la sociedad.

MAT.3.F.3.2. La contribución de las matemáticas al desarrollo de los distintos ámbitos del conocimiento humano desde una perspectiva de género.

MAT.3.F.3.3. Reconocimiento de la contribución de la cultura andaluza, en los diferentes periodos históricos y en particular del andalusí, al desarrollo de las matemáticas

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