U9. Equations & Systems of equations

Temporalización: 13 horas.

• 1. Ecuaciones. Reglas de la suma y del producto

  2. Ecuaciones de primer grado

  3. Ecuaciones de segundo grado

  4. Ecuaciones de tercer y cuarto grado

  5. Resolución de problemas con ecuaciones

  6. Sistemas de ecuaciones lineales

     1. Método de sustitución 

     2. Método de igualación

     3. Método de reducción

     4. Método gráfico

  7. Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones.

Los dibujos de arriba son ejemplos de ecuaciones, aunque expresadas de un modo más divertido. Abajo tienes un montón de problemas que pueden resolverse con ecuaciones.

First degree equations

Here you can download a worksheet on solving first degree equations.

where: 𝑎, 𝑏 and 𝑐 are the coefficients of the equation,

the symbol ± means there are two solutions: one adding and one subtracting,

the expression 

b² - 4ac

 is called the discriminant.

• If 𝑏² − 4𝑎𝑐 > 0: two distinct real solutions.

• If 𝑏² − 4𝑎𝑐 = 0: one real solution (a double root).

• If  𝑏² − 4𝑎𝑐 < 0: no real solutions (complex roots).

Systems of equations

Let's review a couple of methods to solve systems of linear equations:

Substitution Method

y = 3x +2

2x + y = 16

Steps:

1. Use the expression from the first equation (already solved for y).

2. Substitute into the second equation:
   2x + (3x + 2) = 16; 

3. Solve:
   5x+2=16 ⇒ x=14/5 

4. Find y using the first equation.
   y = 3(14/5) + 2

Elimination Method

Example:

3x + 2y = 16

5x − 2y = 4

Steps:

1. Add the equations to eliminate y:
   3x+2y+5x−2y=16+4 ⇒ 8x=20 ⇒x=2.5

2. Plug x into one of the original equations to find y.

Problemas que se pueden resolver con ecuaciones

Problemas de dinero

1. Cierta persona compró un impermeable, un sombrero y unas botas y pagó por todo 140 euros. El impermeable le costó 90 euros más que el sombrero; el sombrero y el impermeable juntos costaron 120 euros más que las botas ¿Cuál es el precio de cada prenda?

2. Para un viaje de estudios un alumno ha juntado 30 billetes. Unos son de cincuenta euros y otros de diez. ¿Puede tener en total 780 €?

3. Reparte 120 euros entre tres personas, de manera que la primera reciba 6 euros más que la segunda, y ésta reciba 12 euros más que la tercera.

4. Un abuelo de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si les daba 30 € a cada uno, le sobraban 60 € y si intentaba darles 50 €, le faltaban 100 €. ¿Cuántos nietos tiene? ¿Qué cantidad quería repartir?

5. Un tapón y su botella valen 1,10 €. La botella vale 1 € más que el tapón. ¿Cuánto vale la botella? ¿Y el tapón?

6. Tres docenas de piñas cuestan tantos euros como piñas dan por 16 euros. ¿Cuánto vale la docena de piñas?

7. A Nicomedes le han cobrado 267,5 € por una reparación en el taller (IVA 7% inc). ¿A cuánto ascendía la factura sin IVA?

8. Una madre, para motivar a su hijo en el estudio de las matemáticas, se compromete a darle 1 €. por cada problema bien hecho, si está mal hecho, el hijo le devolverá 50 céntimos. Después de realizar 60 problemas, el hijo ganó 30 €. ¿Cuántos problemas resolvió bien?

9. Hoy en el supermercado he comprado pan, huevos, leche y unas manzanas, para mi sorpresa el producto de los cuatro precios es la misma cantidad que su suma. Si los huevos costaban 1,50 €, la leche 3€, y las manzanas 4€, ¿cuánto costaba el pan? (Fuente).

Problemas de edades

• 1. ¿Cuántos años tienes? Toma tres veces los años que tendré dentro de tres años y réstale tres veces los años que tenía hace tres años. Esa es la edad que tengo.

  2. Cuando yo tenía 6 años, mi hermana tenía la mitad. ¿Cuántos años tendrá mi hermana cuando yo tenga 70?

  3. La edad de Faustino es el doble de la edad que tenía hace dos años. ¿Cuántos años tiene Faustino?

  4. ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh milagro!, cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriose su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la mitad de la de su padre a la tierra. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. (Problema con más de 1800 años de antigüedad).

  5. Un padre tiene 42 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será triple que la edad del hijo?

  6. Eduvigis tiene 16 años, su hermano, 14, y su padre, 40 años. ¿Cuántos años han de pasar para que la edad del padre sea la suma de las edades de los hijos?

  7. Al preguntar en mi familia cuántos hijos son, yo respondo que tengo tantas hermanas como hermanos y mi hermana mayor responde que tiene doble número de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos hijos e hijas somos?

  8. En octubre del año 2010 yo era tres años mayor que el quíntuple de la edad de mi hijo Hugo. Sin embargo, en octubre de 2019 era sólo cinco años mayor que el triple de su edad. ¿Cuándo nació mi hijo Hugo?

  9. Martha, un vampiro, tiene el triple de años que su hija Mavis. Cien años después, Martha será sólo el doble de mayor que Mavis. ¿Cuántos años tienen?

Problemas de mezclas

1. Si mezclamos café de 85 céntimos el kg con otro de 95 céntimos el kg obtenemos una mezcla de 350 kg a 92 céntimos el kg. ¿Cuántos kg de café de cada clase hemos mezclado?

2. Para elaborar un refresco se usan 100 litros de zumo de limón a 2,55 euros el litro, 70 litros de zumo de naranja a 2,64 euros el litro y 30 litros de agua. ¿Cuánto cuesta fabricar un litro de este refresco?

3. Se quiere mezclar aceite de 0.60 €/l con aceite de 0.35 €/l para obtener 200 l de aceite a 0.50 €/l. ¿Qué cantidad hay que poner de cada uno?

Aquí hay unas instrucciones para resolver este tipo de problemas.

Problemas de animales

• 1. Un chiquillo cazó varias arañas y escarabajos, en total ocho, y los guardó en una caja. Si se cuenta el número total de patas que corresponde a los 8 animales, resultan 54 patas. ¿Cuántas arañas y cuántos escarabajos hay en la caja?

  2. Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: «¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si yo te doy un saco, tu carga se igualaría a la mía». ¿Cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?

  3. En una granja hay gallinas y cerdos. En total pueden verse 30 ojos y 44 patas. ¿Cuántos animales hay de cada tipo?

  4. “¿Cuántos pájaros van por allí?” Preguntó un niño a su padre. Y este respondió: “Esos y otros tantos como esos y la mitad de esos y la cuarta parte de esos y el gavilán hacen 100?” ¿Cuántos pájaros había?

  5. Cada mochuelo a su olivo y sobra un mochuelo. En cada olivo dos mochuelos y sobra un olivo. ¿Cuántos mochuelos y olivos son?

  6. El monstruo del lago Ness mide 20 m más la mitad de su propia longitud. ¿Cuánto mide el monstruo?

  7. Cincuenta y seis galletas han de servir de comida a diez animales; cada animal es un perro o un gato. Cada perro ha de obtener seis galletas y cada gato, cinco. ¿Cuántos perros y cuántos gatos hay?

Problemas en verso

Por presumir de certero

un tirador atrevido

se encontró comprometido

en el lance que os refiero:

Y fue, que ante una caseta

de la feria del lugar

presumió de no fallar

ni un tiro con la escopeta,

y el feriante alzando el gallo

un euro ofreció pagarle

por cada acierto y cobrarle

a 0,60 el fallo.

Dieciséis veces tiró

el tirardor afamado

al fin dijo, despechado

por los tiros que falló:

"Mala escopeta fue el cebo

y la causa de mi afrenta

pero ajustada la cuenta

ni me debes ni te debo".

Y todo el que atentamente

este relato siguió

podrá decir fácilmente

cuántos tiros acertó.

Problemas en el instituto

• 1. Tenemos tres montones de uvas. En ellos hay en total 48 uvas. Si pasamos del primero al segundo tantas uvas como hay en este, luego del segundo al tercero tantas uvas como hay en ese tercero y, por último, del tercero paso al primero tantas uvas como existen ahora en ese primero, resulta que habrá el mismo número de uvas en cada montón. ¿Cuántas uvas había al principio en cada montón? 

  2. Una madre, para motivar a su hijo en el estudio de las matemáticas, se compromete a darle 1 € por cada problema bien hecho, pero si está mal hecho, el hijo le devolverá 50 céntimos. Después de realizar 60 problemas, el hijo ganó 30 €. ¿Cuántos problemas resolvió bien?

  3. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente?

  4. Baldomera y Anacleto quieren comprar cada uno el libro de Historia. A Anacleto le faltan 7 euros para poder comprarlo y a Baldomera 1 euro. Si juntan el dinero que tienen ni siquiera pueden comprar un libro para los dos. ¿Cuál es el precio del libro? 

Problemas de coches y motos

• 1. A las tres de la tarde sale de la ciudad un coche con una velocidad de 80 Km/h. Dos horas más tarde sale una moto en su persecución a una velocidad de 120 Km/h. ¿A qué hora lo alcanzará? ¿A qué distancia de la ciudad?

  2. En un taller fueron reparados 40 vehículos, entre coches y motos. El número total de ruedas de los vehículos reparados fue de 100. ¿Cuántos coches y cuántas motos se repararon?

Problemas de números

1. La suma de tres números consecutivos es 84. ¿Cuál es el más pequeño de los tres números?

2. La suma de tres números impares consecutivos es 51. ¿Qué números son esos?

3. Hoy en el supermercado he comprado pan, huevos, leche y unas manzanas, para mi sorpresa el producto de los cuatro precios es la misma cantidad que su suma. Si los huevos costaban 1,50 €, la leche 3€, y las manzanas 4€, ¿cuánto costaba el pan? (Fuente).

4. Determina dos números tales que la diferencia de sus cuadrados es 120 y su suma es 6.

Problemas variados

• 1. El "espetec". Observa el anuncio. Una madre deja una tripa de salchichón, recién comprada, encima de la mesa de la cocina. El padre, cuando la ve, se come la mitad. Uno de los hijos se come la mitad de lo que quedó y su hermana, la mitad de lo que dejó aquel. Finalmente la abuela, que también vive con ellos, se come dos quintos del resto. La tripa era bastante larga, pero después de todo el trajín, sólo quedan un trozo de 3 cm. ¿Cuál era su tamaño original?

  2. A Eustaquio le queda sólo un chicle, pues le dio a Nicasia la mitad de los que tenía, más medio y, de los restantes, le dio la mitad más medio a Renato. ¿Cuántos tenía al principio?

  3. Un niño se come a mediodía dos quintas partes de una olla de lentejas. Por la noche, para cenar, se come un tercio de lo que quedaba. ¿Qué capacidad tiene la olla, sabiendo que aún quedaba medio litro dentro de ella?

  4. ¿Cuánto tiempo tardan en llenar una piscina de 800 metros cúbicos dos grifos abiertos simultáneamente cuyas velocidades de salida de agua son de 60 litros por minuto y 40 litros por minuto?

  5. Un presidente de un gran equipo de fútbol dedica un tercio de su presupuesto anual al fichaje de nuevos futbolistas; un quinto, al refuerzo de las infraestructuras del club y los 260 millones restantes para otros gastos (sueldos, primas, merchandaising...). ¿Cuál es el presupuesto anual del club?

  6. De una bañera se saca la mitad del contenido y después un tercio del resto, quedando en ella 200 litros. Calcula la capacidad de la bañera.

  7. Una pequeña piscina de bebé pesa 35 kg cuando está llena de agua y sólo 19 kg cuando está llena hasta la mitad. ¿Cuánto pesa vacía?

  8. Una llamada de 30 minutos ha costado 1.30 euros. Una de 15 min., en las mismas condiciones, 0.70 euros. ¿Cuánto vale el establecimiento de llamada?

Matemagia

• 1. Escribe un número de tres cifras no capicúa. Escribe de nuevo el número, pero con las cifras invertidas. Resta el mayor menos el menor de los dos números que tienes. Suma las cifras del resultado. Obtienes... abracadabra... Averigua cómo lo he hecho.

  2. Escribe en un papel el numero 12345679 (ojo, falta el 8). Pide a un amigo que te diga una cifra del 1 al 9. Multiplícala mentalmente por 9, escribe el resultado bajo el numero 12345679 y pide a tu amigo que multiplique las dos cifras. Se asombrara del resultado.

  3. Piensa en el número de veces a la semana que te gustaria salir a cenar fuera. Multiplícalo por 2 y súmale 5. Multiplícalo por 50. Dependiendo de tu fecha de cumpleaños: si ya pasó tu fecha de cumpleaños sumale 1755; si aun no ha pasado suma 1754. Réstale el año de tu nacimiento incluyendo las 4 cifras. Obtuviste un número de 3 cifras: La primera es el número de veces que pensaste al principio. La segunda ¡es tu edad! 

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Preguntas del examen

Criterios de evaluación: 1.3, 2.1, 6.1, 6.2, 7.2.

1. Operaciones con polinomios.

2. Resolver ecuaciones de primer grado.

3. Resolver ecuaciones de segundo grado.

4. Resolver sistemas de ecuaciones.

5. Resolver un problema.