Temporalización: 7 horas.

• 1. Experimentos aleatorios

  2. Sucesos

  3. Operaciones con sucesos

  4. Experimentos compuestos. 

  5. Técnicas de recuento

  6. Probabilidad. Regla de Laplace

  7. Probabilidad de experimentos compuestos

  8. Probabilidad experimental. Simulación

  9. Factorial de un número natural. Permutaciones.

Situación de aprendizaje: La lotería de navidad

La lotería de Navidad.

Situación de aprendizaje: horse races

Horse race game:

Play in pairs. Every player pick six numbers, from 1 to 12. Draw the board game with 12 rows (one for each horse) and 10 columns. Roll the dice. The horse numbered with the result of the sum of the two numbers goes forward one step. The first to get to the finish line, after 10 steps, wins the race.

Discussion:

1. Which horse was the winner? Make a table with the first and second horse on all the games.

2. Is there any horse that did't even start the race?

3. How many times did every number appear? Let's make table with frequencies. 

4. How can we decide the best horses on a new game?

Horse race game II:

The result on the dice are subtracted, instead of added. Make up the game board and play a new game.

Conceptos previos

Técnicas de recuento

Es fácil contar cosas que pueden verse (en algunos casos, imagina tener que contar todas las estrellas o todos los granos de arena de una playa), pero es más difícil contar posibilidades. Para ello son muy útiles los diagramas en árbol, en los que se escriben en cada una de sus ramas las distintas posibilidades iniciales de determinado experimento y, a continuación, de cada rama salen tantas otras como posibilidades se ofrecen a partir de ahí.

Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse un chico combinando tres camisetas, tres pantalones y tres zapatos?

Experimentos aleatorios

Hay experimentos cuyo resultado podemos predecir con certeza antes de llevarlos a cabo y otros en los que no. Estos últimos se llaman experimentos aleatorios.

1. Determina si los siguientes experimentos son aleatorios o no:

   1. Resultado al lanzar un dado.

   2. Cantidad de sal que quedará al evaporar 0,5 litros de agua del mar.

   3. Resultado al extraer sin mirar una carta de una baraja.

   4. Concentración de alcohol en sangre en un determinado conductor a la hora de haber ingerido tres cervezas.

   5. Se enciende la calculadora y se pulsan las teclas + 3 + 2 x 5 =.

   6. Se enciende la calculadora y se pulsa la tecla RAN.

2. Clasifica los siguientes sucesos en cinco columnas, a saber, imposible, posible, improbable, probable y seguro: que un equipo de fútbol haga un triplete; obtener un 6 al lanzar un dado; que lluevan ranas; que se estrelle un avión; que un coche tenga un accidente; que te toque la lotería; que te toque la lotería sin comprar el billete; aprobar todas las asignaturas en junio; al soltar un lápiz en el aire, este caiga al suelo; el 15 de agosto lloverá; el 15 de agosto no vendrás al instituto; el día de año nuevo llegaremos a 40º de temperatura.

Cuando no sabemos con certeza si un suceso ocurrirá o no, podemos expresar nuestra confianza en estos términos: 

• imposible (nunca ocurrirá en las condiciones que se establecen a priori). Ejemplo: ver un burro volando. 

• improbable (es difícil que ocurra, aunque podría hacerlo). Ejemplo: que un equipo de primera división gane los tres trofeos más importantes.

• posible (puede ocurrir, da igual si es fácil o difícil). Ejemplo: que se estrelle un avión.

• probable (es más fácil que ocurra que lo contrario). Ejemplo: aprobar las matemáticas (para la mayoría de la gente).

• seguro (siempre que se repita el experimento en las mismas condiciones, ocurrirá). Ejemplo: que al soltar un lápiz en el aire, este caiga al suelo.

1. Al tirar un dado 10 veces se ha obtenido 5, 2, 1, 1, 6, 4, 3, 5, 5 y 4. ¿Qué saldrá al tirarlo de nuevo?

2. Baldomera ha tirado una moneda tres veces y ha obtenido tres caras. Si la tira otra vez, ¿saldrá cara de nuevo?

3. Juego de apuestas: apuesta por uno de los siguientes sucesos al sacar una carta de una baraja: oro; basto; As; par; figura; oro pequeño (menor o igual que 5); menor o igual que 7; caballo de espadas; lomo rojo; rey de corazones.

Se repite el experimento dos veces. Antes de la segunda vez, se pregunta a los alumnos si desean cambiar su apuesta (comenzando por los que han perdido). Se trata de ver su intuición probabilística, antes de tomar medidas.

1. Ordena los sucesos desde el más difícil de ocurrir al más fácil en una tabla.

Medida de la probabilidad

La medida de la probabilidad de un suceso es la confianza que tenemos en que ocurra, la cantidad de posibilidades que le otorgamos, respecto al total de las mismas que hay. 

Entre el suceso “imposible”, que tiene probabilidad 0 (0%) y el “seguro” con probabilidad 1 (100%), hay todo un rango de sucesos con distintas posibilidades. Por ejemplo, a un suceso que tiene las mismas posibilidades de ocurrir que de no ocurrir se le otorga un 50% de posibilidades.

1. En un estuche tengo 5 bolígrafos rojos y 10 bolígrafos azules. Extraigo uno al azar y pinto un círculo. ¿Qué es más fácil que lo pinte de rojo o de azul? Escribe las posibilidades que tiene cada suceso.

2. Juego de la carrera: cada persona apuesta por el número que saldrá al extraer un número al azar de 0 a 99 y sumar sus cifras. Se ponen los números del 0 al 20 y cada uno apuesta por tantos como le correspondan al repartirlos entre sus compañeros. Gana el que llega a 10. Cuando se termina la carrera se permite que se realicen nuevas apuestas cambiando el número a los que han perdido. Para terminar, se echa una tercera carrera en la que cada equipo (de dos jugadores) juega una partida, aunque las apuestas son comunes. ¿En cuántas partidas ha ganado cada número? Completa una tabla como la siguiente (número-partidas ganadas). Después de este experimento, se responden a las siguientes preguntas:

   1. ¿Qué número es el más rápido? ¿Y el más lento?

   2. Ordena los números desde el que más posibilidades tiene de salir al que menos. Basándote en ese orden, apuesta por dos de los números y juega una partida tú solo. ¿Te ha servido tu predicción para ganar?

   3. Asigna probabilidades a cada suceso.

Aproximación frecuencial de la probabilidad

No siempre podemos contar tan fácilmente las posibilidades que tenemos de ganar. En ocasiones se recurre a repetir muchas veces el experimento, para poder contar la frecuencia de aparición. A esto se le llama aproximación frecuencial de la probabilidad.

1. Lanza una chincheta varias veces. Observa que puede caer con el pincho hacia arriba o hacia abajo. ¿Qué suceso crees que es más probable? Realiza el mismo experimento varias veces más. ¿Qué opinas ahora? Para ser sistemáticos, recogeremos los resultados en la siguiente tabla:

(Nota: para tardar menos, puedes tirar varias chinchetas al mismo tiempo)

1. Construir un dado trucado (con papiroflexia) y tirarlo varias veces. Apostar por un número.

Incluso cuando no se puede repetir voluntariamente un suceso, se recurre a un recuento estadístico de las veces que va apareciendo, para asignarle una medida de sus posibilidades. En tales ocasiones, aunque no sea posible asignar un número, sí podemos comparar dos sucesos. Así suelen hacerlo las empresas aseguradoras, entre otros.

1. Ordena los siguientes sucesos desde el que menos probabilidad tiene de ocurrir al que más. Escribe <, > ó = en cada caso:

   1. P[Contraer cáncer de pulmón si fumas] P[Contraer cáncer de pulmón si no fumas]

   2. P[Sacar un oro en una baraja española] P[Sacar un basto en una baraja española]

   3. P[Salga 1 al lanzar un dado] P[Salga 5 al lanzar un dado]

   4. P[Te toque la lotería comprando el 00000] P[Te toque la lotería comprando el 23587]

   5. P[Tener un accidente de coche] P[Tener un accidente de avión]

   6. P[Te toquen los cupones] P[Te toque la primitiva]

   7. P[Salga cara en una moneda] P[Salga cruz]

   8. P[Salga un número par al lanzar un dado] P[Salga 5 al lanzar un dado]

   9. P[Salga una figura en una baraja esp.] P[Salga una espada en una baraja esp.]

2. Mira en internet la probabilidad de precipitaciones dentro de dos días. ¿Qué significa ese número?

3. Juego de los patos. En un estanque hay diez patos. También hay diez cazadores. Sin ponerse de acuerdo, dispara un tiro cada uno y resulta que algunos patos se salvan. Construye una tabla como la siguiente para ver lo que ocurriría usando la extracción aleatoria de números de tu calculadora. Calcula la media de patos que se salvan en toda la clase.

4. Carrera de caracoles. Dos números al azar y se restan.

Asignación de probabilidades mediante diagramas en árbol.

1. Calcula la probabilidad de cada suceso de la tabla.

2. Ana y Blas deciden jugar con un dado de la siguiente forma:
   “Ana lanza el dado y, si saca un 6, gana y se acaba el juego. En caso contrario lanza Blas, que gana si saca un 2 o un 3, y también se acaba el juego. De no ocurrir esto, la partida se acaba sin ganador. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos: “gana Ana”, “gana Blas”, “ninguno gana”.

3. Una caja contiene 12 bombillas, de las cuales 4 están fundidas. Se eligen, al azar y sin reemplazamiento, tres bombillas de esa caja.

   1. Calcula la probabilidad de que ninguna de las tres bombillas esté fundida. 

   2. Calcula la probabilidad de que las tres bombillas estén fundidas.

4. La baraja española consta de diez cartas de oros, diez de copas, diez de espadas y diez de bastos. Se extraen dos cartas. Calcule razonadamente la probabilidad de que, al menos, una de las dos cartas sea de espadas en los siguientes supuestos:

• 1. Si se extraen las cartas con reemplazamiento.

  2. Si se extraen las cartas sin reemplazamiento.

Asignación de probabilidades mediante tablas de contingencia.

1. De los 150 alumno del primer ciclo de la ESO, 90 son de segundo y el resto de primero. Entre el alumnado de segundo, hay 72 niñas y el resto son niños; mientras que entre los de primero hay igual número de niñas que de niños. Se elige al azar un alumno del primer ciclo. Calcula la probabilidad de que:

   1. Sea niña.

   2. Sea de segundo, sabiendo que es un niño.

2. En una población, donde el 45% son hombres y el resto mujeres, se sabe que el 10% de los hombres y el 8% de las mujeres son inmigrantes.

• 1. ¿Qué porcentaje de inmigrantes hay en esta población?

  2. Si se elige, al azar, un inmigrante de esta población, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

3. En un Instituto se pueden practicar dos deportes: fútbol y baloncesto. Se sabe que el 48% de los alumnos practica fútbol pero no baloncesto, que el 15% practica baloncesto pero no fútbol y que el 28% no practica ninguno de los dos. Si se toma, al azar, un alumno de ese Instituto, calcule la probabilidad de que:

• 1. Practique fútbol.

  2. Practique alguno de los dos deportes.

  3. No practique fútbol, sabiendo que practica baloncesto.

4. Vamos a realizar varias apuestas a la Primitiva. Nuestro “dinero” serán positivos y negativos. Para empezar, se regalarán 5 positivos a cada uno. Si se gastan esos 5 positivos se puede seguir jugando con los que tenéis del mes de junio, pero tendrán efecto real las pérdidas. Podéis jugar un positivo en cada sorteo y uno más al final en el que elijáis. A partir de ahí vosotros decidís si queréis jugar algún positivo más o menos. Vuestro saldo os lo dirá el profesor. Premios: 6 aciertos (20+), 5 aciertos (10+), 4 aciertos (5+), 3 aciertos (2+), 2 aciertos (1+, reintegro), 1 acierto (-1, esto es, se pierde lo que se jugó).

Repaso

1. Se lanzan tres monedas al aire. Calcula con un diagrama en árbol cuántas posibilidades distintas hay.

2. En una quiniela de fútbol hay 14 encuentros, cada uno de los cuales debe marcarse con un 1, una X o un 2 en función de nuestra apuesta sobre el resultado final del partido. ¿Calcula cuántas quinielas diferentes hay?

En un concurso de televisión se esconde un gran premio tras una de las tres puertas que el concursante debe atravesar. El concursante puede elegir la que desee, pero si se equivoca, al pasar la puerta sufrirá una lluvia de barro, huevos podridos, gusanos y arañas.

Imagina que tú eres el concursante y eliges una de las tres puertas. Tras tu elección, el presentador te muestra una de las puertas "malas" y te pregunta si deseas cambiar tu elección.

¿Qué harías?

¿Y si hubiera un millón de puertas y el presentador te mostrase, tras tu elección, todas las puertas menos la que has elegido y otra?

Conceptos y procedimientos importantes de cara al examen

• Entender el concepto de experimento aleatorio.

• Técnicas de recuento: diagramas en árbol y tablas. Regla del producto.

• Asignar probabilidades:

  • Usando la regla de Laplace (P(A) = (casos favorables)/(casos posibles)

  • Usando la regla del producto.

El examen tendrá cinco preguntas, tres de ellas tipo test, en las que se penalizarán las respuestas incorrectas, de acuerdo con su probabilidad de acertarlas al azar. El resto serán problemas similares a los que hemos visto en clase.

Enlaces

• El problema de Monty Hall explicado por el youtuber científico Javier Santaolalla.

• Thinking probabilistically (brilliant).

• Problema de probabilidad (brilliant).

• Can you solve the riddle and escape Hades? - Dan Finkel.