10. Solids
Build this tetrahedron:
Name its elements: faces, edges, vertices.
Count them all separatedly.
How many edges has every of its faces?
Measure its surface and its volume.
Contenidos
- Poliedros y cuerpos de revolución / Polyhedra and solids of revolution.
- Desarrollos planos y elementos característicos. Clasificación atendiendo a distintos criterios. / Nets and features. Clasiffication.
- Utilización de propiedades, regularidades y relaciones para resolver problemas del mundo físico. / Using polyhedra and its properties to solve real life problems.
- Volúmenes de cuerpos geométricos. / Volumes of the solids.
- Resolución de problemas que impliquen la estimación y el cálculo de longitudes, superficies y volúmenes. / Solve problems using estimation, lenghts, surfaces and volumes.
- Utilización de procedimientos tales como la composición, descomposición, intersección, truncamiento, dualidad, movimiento, deformación o desarrollo de poliedros para analizarlos u obtener otros. / Using several procedures: compositing, intersecting, moving...
Review
- Repasa los elementos geométricos que vimos el curso pasado. Debes tener claros los siguientes conceptos: point, line, segment line, ray, parallel lines, perpendicular lines, intersecting lines, angle, side, acute angle, obtuse angle, right angle.
Regular polyhedra
Why are there only five regular polyhedra?
PLATONIC SOLIDS: tetrahedron, hexahedron (cube), octahedron, dodecahedron and icosahedron.
El símbolo de Schläfli
El símbolo de Schläfli son dos números, entre llaves, que indican el tipo de caras de un poliedro y el índice de sus vértices. Por ejemplo, para un cubo es {4,3}; 4, porque sus caras son cuadrados y 3 porque en cáda vértice confluyen 3 caras.
- Use a table to describe all the platonic polyhedra: sides, faces, vertices and Schläfli symbol.
- Find out a relationship amongst faces, edges and vertices.
- Use your calculator to find out the area and volume of the regular polyhedra.
- Have a look at the net of an icosahedron. Try to draw the net of the other 4 regular polyhedra.
- How to make a sonobe cube:
El cubo sonobe
Prisms
Prisms (prismas).
Problemas con los sólidos platónicos
1. Estima el área del tetraedro construido al principio del tema. Calcúlala con ayuda de una regla y el teorema de Pitágoras. Calcula el error cometido.
2. El camino de la araña y la mosca.
3.
Cuboids (Ortoedros)
Un ortoedro es un poliedro en el que todas sus aristas forman ángulos rectos entre sí. Sus caras, por tanto, son rectángulos. Un caso particular es el cubo, en el que todas sus caras son cuadrados.
A la derecha puedes ver la representación de algunos ejemplos, aunque si estás atento, puedes ver un montón de ellos en la vida real.
4. Which of these could be a net for a rectangular prism (a box) or a cuboid? If it cannot be folded into a box, which "face" would need to change and in what way? (source).
5. Observa este souvenir de Bali. Se trata de un gracioso calendario que permite mostrar el día y el mes. Parece estar construido con poliedros. Dibuja el desarrollo plano de cada uno de ellos, incluyendo lo que hay escrito en cada una de sus caras.
Pyramids
Una pirámide es un poliedro compuesto de un polígono llamado base y un punto en un plano diferente a este, unido a todos los vértices de ese polígono y formando caras triangulares.
Archimedian solids
Semirregular polyhedra
El icosaedro truncado es uno de los poliedros más redondos (87% de redondez aprox.) y es fácil de construir porque sólo tiene dos tipos de polígonos. Sin embargo, el más redondo de todos es el rombicosidodecaedro (94% de redondez), aunque es más costoso de producir. La redondez se mide por el porcentaje de la esfera circunscrita que ocupa.
Observa todos estos poliedros en la estupenda página de Paulo Porta.
Ejercicios
- Draw a table with all the Archimedean polyhedra and their elements (faces, vertices and edges).
Stellated polyhedra
Waterfall, by Escher, where you can find the first stellation of a rhombic dodecahedron.
Some volumes and areas
The volume of a prism or a cylinder is found by multiplying the area of the base by its height.
Learn more by clicking on this link.
The volume of a pyramid is 1/3 of the volume of the prism "associated".
Activities
- Realiza los ejercicios siguientes de tu libro de texto (página 220 y siguientes): 39, 40, 42, 43, 46 y 48.
- Do the test at the bottom of this page.
- Repasa los poliedros y la fórmula de Euler.
- Fill the table.
Links
- Poliedros y Stella: aplicaciones para Android.
- Geometría del balón.
- Más de 100 poliedros animados.
- Construcción de poliedros con palillos de helados y pegamento o cola.
- Solids viewer.
- Making the polyhedra with origami.
- Poliedros (con una sección muy buena sobre los estrellados).