Definition of functions

A a function of a real variable, written f: ℝ →ℝ is a relation between sets of real numbers that associates to every element of a first set exactly one element of the second set.

If x turn into y by f, this is represented by f(x) = y or, the pair of real numbers (x, y). y is called the image of x by f.

y and x are called variables. x is the independent variable and y, the dependent variable.

The first set is called Domain of f, written Dom(f). In other words, 

Dom(f) = {x ∈ ℝ / ∃ y ∈ ℝ / f(x) = y}

Sometimes this set is implicitly given, according to the expression of f.

The second set, that is, 

Im(f) = {y ∈ ℝ / ∃ x ∈ ℝ , f(x) = y} 

is called range of f.

Basically a real function is a mathematical rule to transform some numbers into others. This rule can be given by:

• Some words describing how it works.

• An analytic expression.

• A graph, in a cartesian coordinate system.

• A table.

So a function f can formally be defined as:

f = {(x, y) / x ∈ ℝ, y ∈ ℝ, f(x) = y} 

Features of functions

1. Domain. Dom(f) = {x ∈ ℝ / ∃ y ∈ ℝ / f(x) = y}. Image (not so important). Im(f) = {y ∈ ℝ / ∃ x ∈ ℝ , f(x) = y} 

2. Simmetry. EVEN: f(-x) = f(x), about the Y-axis; ODD: f(-x) = -f(x), about the origin.

3. Periodicity.

4. Continuity. A function is continuous if its graph can be drawn without lifting up the pen from the paper.

5. Derivability. For now, just think of it as the softness of its graph. Derivability ⇒ Continuity

6. Increasing & decreasing intervals.

7. Maximum & minimum (absolute and relative).

8. Concavity & convexity intervals. U+🙂 concave (tangent below the graph); ∩-☹️ convex (tangent line above the graph)

9. Inflection points. Where the curve changes its curvature; U to ∩ or ∩ to U.

10. Asymptotes. An asymptote is a line that a curve approaches but never touches or crosses.

Follow this rap ;-) 

Elementary functions

• Here you can play with their graphs.

• What are they useful to?

Estudia las siguientes funciones:

Piecewise defined functions

Observa esta función:

Calcula el IRPF que tendrá que pagar una persona que declara una renta bruta de 50 000 euros.

A piecewise defined function is one in which the rule that transforms certain numbers into others varies as the independent variable changes. That is, for some numbers we have one rule, and for other numbers, another.

An example of a piecewise defined function is the Dirichlet function, although there are simpler examples.

Below are other examples in their analytical expression:

Another famous example of piecewise defined function is the floor function.

Have a look at the following price tables:

Draw the function weigh - price for an ordinary letter.

Describe the function.

Are you able to write a formula for that function?

Look at this taxes information:

• Hasta 12.450 €, el tipo impositivo es de 19%.

• De 12.450 € a 20.200 €, el tipo impositivo es de 24%.

• De 20.200 € a 35.200 €, el tipo impositivo es de 30%.

• De 35.200 € a 60.000 €, el tipo impositivo es de 37%.

• De 60.000 € a 300.000 €, el tipo impositivo es de 45%

Transformation of functions

Clic here to see the content of this item.

• Translation

• Simmetry

• Squeezing/Stretching

Function composition

Given two functions, f and g, (g ∘ f )(x) = g(f(x)) 

4. Fuel cost problem:
   A car travels at a constant speed. The distance (in km) after ttt hours is d(t)=80td(t) = 80td(t)=80t, and the fuel cost (in €) for a distance ddd is c(d)=0.12dc(d) = 0.12dc(d)=0.12d.
   
   

   • Find the composition c(d(t))c(d(t))c(d(t)).
     
     

   • How much will the fuel cost after 2.5 hours?
     
     

5. Temperature conversion:
   A thermometer gives the temperature in Celsius as a function of time: C(t)=2t−3C(t) = 2t - 3C(t)=2t−3. To convert it into Fahrenheit, use F(C)=95C+32F(C) = \dfrac{9}{5}C + 32F(C)=59​C+32.
   
   

   • Write the composite function F(C(t))F(C(t))F(C(t)).
     
     

   • What is the temperature in Fahrenheit after 4 hours?
     
     

6. Phone plan:
   A phone company charges based on data usage. The number of gigabytes used per day is g(t)=1.5t+2g(t) = 1.5t + 2g(t)=1.5t+2, where ttt is the number of days. The price is given by p(g)=10+5gp(g) = 10 + 5gp(g)=10+5g.
   
   

   • Find the function p(g(t))p(g(t))p(g(t)).
     
     

   • How much will the user pay after 3 days?

Links

Function transformations (by Math is fun).

Composition of functions (by Math is fun).

Saberes básicos implicados en la unidad

A. Sentido numérico.

MATE.1.A.1. Sentido de las operaciones.

MATE.1.A.1.1 Adición y producto escalar de vectores: propiedades y representaciones.

MATE.1.A.1.2 Estrategias para operar (suma, producto, cociente, potencia, radicación y logaritmo) con números reales y complejos: cálculo mental o escrito en los casos sencillos y con herramientas tecnológicas en los casos más complicados.

MATE.1.A.2. Relaciones.

MATE.1.A.2.1 Conjunto de números: números racionales e irracionales. Los números reales. Logaritmos decimales y neperianos. Los números complejos como soluciones de ecuaciones polinómicas que carecen de raíces reales.

MATE.1.A.2.2 Conjunto de vectores: estructura, comprensión y propiedades. Módulo de un vector, coordenada de un vector con respecto a una base, ángulo entre dos vectores y proyección ortogonal.

B. Sentido de la medida.

MATE.1.B.1. Medición.

MATE.1.B.1.1 Cálculo de longitudes y medidas angulares: uso de la trigonometría. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera medido en grado s o en radianes. Demostración de las identidades trigonométricas. Razones trigonométricas del ángulo suma, el ángulo diferencia, el ángulo doble y el ángulo mitad. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera empleando las principales fórmulas trigonométricas. Aplicación de las razones trigonométricas, el teorema de los senos y el teorema del coseno en la resolución de triángulos y de problemas geométricos de contexto real. Demostración del teorema del seno y del coseno.

MATE.1.B.1.2 La probabilidad como medida de la incertidumbre asociada a fenómenos aleatorios.

MATE.1.B.2. Cambio.

MATE.1.B.2.1 Límites: estimación y cálculo a partir de una tabla, un gráfico o una expresión algebraica. Límite de una función en un punto: cálculo gráfico y analítico. Resolución de indeterminaciones sencillas (0/0, k/0, ∞ - ∞, 1 ∞ ). Límites laterales. Límite de una función en el infinito: cálculo gráfico y analítico . Resolución de indeterminaciones sencillas. Determinación de las asíntotas de una función racional.

MATE.1.B.2.2 Continuidad de funciones: aplicación de límites en el estudio de la co ntinuidad. Estudio de la continuidad de una función, incluyendo funciones definidas a trozos. Tipos de discontinuidades.

MATE.1.B.2.3 Derivada de una función: definición a partir del estudio del cambio en diferentes contextos. Derivación de funciones  polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Reglas de derivación de las operaciones elementales con funciones y regla de la cadena. Aplicaciones de las derivadas: ecuación de la recta tangente a una curva en un punto de la misma; obtención de extremos relativos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función. Cálculo de derivadas sencillas por definición.

C. Sentido espacial

MATE.1.C.1. Formas geométricas de dos dimensiones.

MATE.1.C.1.1 Objetos geométricos de dos dimensiones: análisis de las propiedades y determinación de sus atributos. Manejo de triángulos, paralelogramos y otras figuras planas.

MATE.1.C.1.2 Resolución de problemas relativos a objetos geométricos en el plano representados con coordenadas cartesianas. Ecuaciones de la recta en el espacio bidimensional. Estudio de la posición relativa de puntos y rectas en el plano. Lugares geométricos: ecuación de la recta mediatriz. Estudio de la simetría en el plano: punto simétrico respecto de otro punto y de una recta; recta simétrica respecto de otra recta. Aplicación de los números complejos para la construcción de polígonos regulares.

MATE.1.C.2. Localización y sistemas de representación.

MATE.1.C.2.1 Relaciones de objetos geométricos en el plano: representación y exploración con ayuda de herramientas digitales.

MATE.1.C.2.2 Expresiones algebraicas de objetos geométricos en el plano: selección de la más adecuada en función de la situación a resolver.

MATE.1.C.3. Visualización, razonamiento y modelización geométrica.

MATE.1.C.3.1 Representación de objetos geométricos en el plano mediante herramientas digitales.

MATE.1.C.3.2 Modelos matemáticos (geométricos, algebraicos, grafos...) en la resolución de problemas en el plano. Conexiones con otras disciplinas y áreas de interés.

MATE.1.C.3.3 Conjeturas geométricas en el plano: validación por medio de la deducción y la demostración de teoremas.

MATE.1.C.3.4 Modelización de la posición y el movimiento de un objeto en el plano mediante vectores.

MATE.1.C.3.5 La geometría en el patrimonio cultural y artístico de Andalucía.

D. Sentido algebraico.

MATE.1.D.1. Patrones. Generalización de patrones en situaciones sencillas.

MATE.1.D.2. Modelo matemático.

MATE.1.D.2.1 Relaciones cuantitativas en situaciones sencillas: estrategias de identificación y determinación de la clase o clases de funciones que pueden modelizarlas.

MATE.1.D.2.2 Ecuaciones, inecuaciones y sistemas: modelización de situaciones en diversos contextos. MATE.1.D.3. Igualdad y desigualdad. Ecuaciones polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas. Inecuaciones polinómicas, racionales y de valor absoluto sencillas. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Método de Gauss para identificar los tipos de sistemas y resolver sistemas compatibles determinados e indeterminados. Resolución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones e inecuaciones no lineales en diferentes contextos.

MATE.1.D.4. Relaciones y funciones.

MATE.1.D.4.1 Análisis, representación gráfica e interpretación de relaciones mediante herramientas tecnológicas. Concepto de función real de variables real: expresión analítica y gráfica. Cálculo gráfico y analítico del dominio de una función.

MATE.1.D.4.2 Propiedades de las distintas clases de funciones, incluyendo, polinómicas, exponenciales, irracionales, racionales sencillas, logarítmicas, trigonométricas y a trozos: comprensión y comparación. Estudio y representación gráfica de funciones polinómicas y racionales a partir de sus propiedades globales y locales obtenidas empleando las herramientas del análisis matemático (límites y derivadas).

MATE.1.D.4.3 Álgebra simbólica en la representación y explicación de relaciones matemáticas de la ciencia y la tecnología.

MATE.1.D.5. Pensamiento computacional.

MATE.1.D.5.1 Formulación, resolución y análisis de problemas de la vida cotidiana y de la ciencia y la tecnología empleando herramientas o programas más adecuados.

MATE.1.D.5.2 Comparación de algoritmos alternativos para el mismo problema mediante el razonamiento lógico.

E. Sentido estocástico.

MATE.1.E.1. Organización y análisis de datos

MATE.1.E.1.1 Organización de los datos procedentes de variables bidimensionales: distribución conjunta y distribuciones marginales y  condicionadas. Análisis de la dependencia estadística.

MATE.1.E.1.2 Estudio de la relación entre dos variables mediante la regresión lineal y cuadrática: valoración gráfica de la pertinencia del ajuste. Diferencia entre correlación y causalidad.

MATE.1.E.1.3 Coeficientes de correlación lineal y de determinación: cuantificación de la relación lineal, predicción y valoración de su fiabilidad en contextos científicos y tecnológicos.

MATE.1.E.1.4 Calculadora, hoja de cálculo o software específico en el análisis de datos estadísticos.

MATE.1.E.2. Incertidumbre.

MATE.1.E.2.1 Experimentos aleatorios. Revisión del concepto de espacio muestral y del álgebra de sucesos (suceso complementario, unión e intersección de dos sucesos, leyes de Morgan). Estimación de la probabilidad a partir del concepto de frecuencia relativa.

MATE.1.E.2.2 Cálculo de probabilidades en experimentos simples: la regla de Laplace en situaciones de equiprobabilidad y en combinación con diferentes técnicas de recuento. Cálculo de la probabilidad del suceso complementario y de la unión y la intersección de dos sucesos. Probabilidad condicionada. Resolución de problemas que requieran del manejo de los axiomas de la probabilidad de Kolmogorov o del dibujo de diagramas de Venn. Cálculo de probabilidades en experimentos compuestos: teoremas de la probabilidad total y de Bayes. Resolución de problemas que requieran del empleo de estos teoremas o del dibujo de diagramas de árbol.

MATE.1.E.3. Inferencia. Análisis de muestras unidimensionales y bidimensionales con herramientas tecnológicas con el fin de emitir juicios y tomar decisiones.

F. Sentido socioafectivo.

MATE.1.F.1. Creencias, actitudes y emociones.

MATE.1.F.1.1 Destrezas de autoconciencia encaminadas a reconocer emociones propias, afrontando eventuales situaciones de estrés y ansiedad en el aprendizaje de las matemáticas.

MATE.1.F.1.2 Tratamiento del error, individual y colectivo, en el aula de matemáticas como elemento movilizador de saberes previos adquiridos y generador de oportunidades de aprendizaje en el aula de matemáticas.

MATE.1.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones.

MATE.1.F.2.1 Reconocimiento y aceptación de diversos planteamientos en la resolución de problemas y tareas efectivas para el éxito en el aprendizaje de las matemáticas, transformando los enfoques de las y los demás en nuevas y mejoradas estrategias propias, mostrando empatía y respeto en el proceso.

MATE.1.F.2.2 Técnicas y estrategias de trabajo en equipo para la resolución de problemas y tareas matemáticas, en equipos heterogéneos.

MATE.1.F.3. Inclusión, respeto y diversidad.

MATE.1.F.3.1 Destrezas para desarrollar una comunicación efectiva, la escucha activa, la formulación de preguntas o solicitud y prestación de ayuda cuando sea necesario.

MATE.1.F.3.2 Valoración de la contribución de las matemáticas y el papel de matemáticos y matemáticas a

lo largo de la histo ria en el avance de la ciencia y la tecnología.