U2. Powers & roots

Saberes básicos

Temporalización: 7 horas.

• 1. Potencias de exponente entero. Propiedades.

  2. Notación científica. Aplicaciones.

  3. Raíces de números reales.

  4. Operaciones con radicales.

Scientific notation

The weight in kg of the planets in our Solar System is: Mercury (330200000000000000000000 kg), Venus (4869000000000000000000000 kg), Earth (5974000000000000000000000 kg), Mars (641910000000000000000000 kg), Jupiter (1899000000000000000000000000 kg), Saturn (568800000000000000000000000 kg), Uranus (86860000000000000000000000 kg) and Neptune (102400000000000000000000000 kg). Sort them from the lightest to the heaviest.

The weight of the planets in kg in scientific notation is: Mercury 3.302×10²³; Venus 4.869×10²⁴; Earth 5.9736×10²⁴; Mars 6.4185×10²³; Jupiter 1.899×10²⁷; Saturn 5.688·10²⁶; Uranus 8.686×10²⁵; Neptune 1.024×10²⁶; so, if you sort these numbers, you get:

Mercurio < Marte < Venus < Tierra < Urano < Neptuno < Saturno < Júpiter

Do you think they will all weigh more than the Sun?

To know more: How do they weigh the planets?, on NASA web site.

Powers

A power is a way to write repeated multiplication.

• Base (a): the number being multiplied.

• Exponent (n): how many times the base is multiplied by itself.

Examples:

Fractional Bases

The base can be also a fraction, but the definition remains the same.

Integer exponents

Rules of powers

Activities about powers

Calculate the following powers:

Square roots

Remember than the square root of a number is a value that can be multiplied by itself to give the original number. For example, the square root of 16 is 4, because 4² = 16.

Given that, the square root of any negative number doesn't exist because the square of any integer is positive. 

For example 10² = 100 and (-10)² = 100, so √(-100) doesn't exist. There is a symbol in mathematics to express "It doesn't exist", it is 

More Activities

1. Which is the next number in this sequence? 1, 4, 9, 16, 25, ... Those numbers are called SQUARED NUMBERS or PERFECT SQUARES. Write all the square numbers smaller than 500.

2. Write down the positive square root of each of these numbers: 4, 25, 49, 1, 81, 100, 64, 9, 36, 16, 121, 144, 400, 900 and 169.

3. Which is the value of 6 squared? And 5 cubed?

4. Work out the following powers of 10: 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶. Guess the answer of 10¹⁰⁰. You can use words to describe it. This number is called "googol".

5. Apply the rules of powers to find the prime factor decomposition of a googol.

6. Without using a calculator, could you say which number is larger, if 2²⁴ or 20 000 000?

7. The IP address of a computer on the Internet consists of four numbers, between 0 and 255, separated by dots. It's like the ID number (DNI, in Spanish) of every machine that connects to the Internet. For example: 168.45.123.35. How many computers can connect to the Internet before this system has to be changed?

8. Rewrite using powers, when possible and then, calculate the final result: 2·2·2·2, 3·3·3·3·3, 3·3·5·3, 5+5+5, 23 · 24, 75 : 74

9. Calculate:

   • 2 - 3²

   • (-3)²+2

   • 2¹⁰ • 5¹⁰

   • 732658⁰

   • 1+(3 - 5)³

   • -3⁴

   • (-2)⁴

10. Which of the following numbers is a perfect square. if they are not, between which two integers their square root lies: 6, 25, 64, 72, 1024

11. What is the biggest number you can write using just three nines?

12. The magic beanstalk doubles its size every day, reaching 1024 meters in 10 days. How many days will it take to reach half of that height?

13. Calculate the square of 111 111 111. Do you notice something special?

14. If a person spreads a rumor on Instagram to their 20 followers at 4 PM, and every hour, every person who reads the tweet for the first time retweets it. How many people will have read the tweet by 12 AM, assuming an average of 20 followers per Instagram account?"

15. How much does one trillion protons weigh? Mass of a proton = 0.000 000 000 000 000 000 000 000 001 7 kg

Problemas NDD

1. En el año 2025 se produjeron en todo el planeta Tierra aproximadamente 5.2·10^11 kg de arroz. Los biólogos calculan que un grano de arroz medio pesa unos 0.000025 kg = 2.5 · 10^(-5) kg. ¿Cuántas cosechas serían necesarias para satisfacer la demanda del inventor del ajedrez?

2. Una alumna sube a las 16:00 h un clip de 7 segundos bailando mientras recita la fórmula de las identidades notables. A las 16:00 h el vídeo cuenta únicamente con 8 visualizaciones (sus mejores 8 amigos). A partir de ese instante, el algoritmo viral de la red multiplica las reproducciones acumuladas por 4 cada media hora que pasa. Escribe, utilizando una sola potencia de base 2, cuántas visualizaciones acumuladas tendrá el clip a las 20:00 h (tras 4 horas de emisión). Si cada visualización genera un archivo temporal de caché que ocupa exactamente 2^(-7) MB, calcula cuántos megabytes (MB) de datos ha movido el servidor en total a las 20:00 h. (Expresa el resultado simplificado como potencia y como número entero).

3. Durante las obras de restauración de un patio inspirado en los palacios nazaríes, los arquitectos diseñan un parterre central con forma de cuadrado perfecto cuya superficie mide exactamente 150 m². Expresa la longitud aproximada del lado de dicho parterre aproximando tu resultado a los centímetros. ¿Cuál sería la extensión del parterre más parecido al anterior que tiene un lado entero? 

Criterios de evaluación asociados a esta unidad

Criterios de evaluación: MAT.1.1.1, MAT.1.1.2, MAT.1.1.3, MAT 1.2.1., MAT 1.2.2., MAT.1.6.1, 

Saberes básicos: MAT.3.A.2.1, MAT.3.A.2.3, MAT.3.B.2.4, MAT.3.E.1.2, MAT.3.E.2.1, MAT.3.A.3.1, MAT.3.B.1.2, MAT.3.D.4.2, MAT.3.E.2.3, MAT.3.A.2.2, MAT.3.A.3.4, MAT.3.E.1.6, MAT.3.F.1.3, MAT.3.A.1.2, MAT.3.A.5.1, MAT.3.A.5.2, MAT.3.B.2.1, MAT.3.B.2.2, MAT.3.B.2.3, MAT.3.C.1.1, MAT.3.E.1.1, MAT.3.E.2.3, MAT.3.E.3.1

Criterios de evaluación

Competencia específica: MAT.1.1.Interpretar, modelizar y resolver problemas de la vida cotidiana y propios de las matemáticas, aplicando diferentes estrategias y formas de razonamiento, para explorar distintas maneras de proceder y obtener posibles soluciones.

MAT.1.1.1.Iniciarse en la interpretación de problemas matemáticos sencillos, reconociendo los datos dados, estableciendo, de manera básica, las relaciones entre ellos y comprendiendo las preguntas formuladas.

Saberes básicos: MAT.3.A.2.1. MAT.3.A.2.3. MAT.3.B.2.4. MAT.3.E.1.2. MAT.3.E.2.1.

MAT.1.1.2.Aplicar, en problemas de contextos cercanos de la vida cotidiana, herramientas y estrategias apropiadas, como pueden ser la descomposición en problemas más sencillos, el tanteo, el ensayo y error o la búsqueda de patrones, que contribuyan a la resolución de problemas de su entorno más cercano.

Saberes básicos: MAT.3.A.3.1. MAT.3.B.1.2. MAT.3.D.4.2. MAT.3.E.2.3.

MAT.1.1.3.Obtener las soluciones matemáticas en problemas de contextos cercanos de la vida cotidiana, activando los conocimientos necesarios, aceptando el error como parte del proceso.

Saberes básicos: MAT.3.A.2.2. MAT.3.A.3.4. MAT.3.E.1.6. MAT.3.F.1.3.

Competencia específica: MAT.1.2.Analizar las soluciones de un problema usando diferentes técnicas y herramientas, evaluando las respuestas obtenidas, para verificar su validez e idoneidad desde un punto de vista matemático y su repercusión global.

MAT.1.2.1.Comprobar, de forma razonada la corrección de las soluciones de un problema, usando herramientas digitales como calculadoras, hojas de cálculo o programas específicos.

Saberes básicos: MAT.3.A.3.5. MAT.3.D.4.4. MAT.3.D.5.3

MAT.1.2.2.Comprobar, mediante la lectura comprensiva, la validez de las soluciones obtenidas en un problema comprobando su coherencia en el contexto planteado y evaluando el alcance y repercusión de estas soluciones desde diferentes perspectivas: igualdad de género, sostenibilidad, consumo responsable, equidad o no discriminación.

Saberes básicos: MAT.3.A.6.2. MAT.3.B.3.2. MAT.3.F.3.2.

Competencia específica: MAT.1.6.Identificar las matemáticas implicadas en otras materias, en situaciones reales y en el entorno, susceptibles de ser abordadas en términos matemáticos, interrelacionando conceptos y procedimientos, para aplicarlos en situaciones diversas.

MAT.1.6.1.Reconocer situaciones en el entorno más cercano susceptibles de ser formuladas y resueltas mediante herramientas y estrategias matemáticas, estableciendo conexiones entre el mundo real y las matemáticas y usando los procesos inherentes a la investigación científica y matemática: inferir, medir, comunicar, clasificar y predecir, aplicando procedimientos sencillos en la resolución de problemas.

Saberes básicos: MAT.3.A.1.2. MAT.3.A.5.1. MAT.3.A.5.2. MAT.3.B.2.1. MAT.3.B.2.2. MAT.3.B.2.3. MAT.3.C.1.1. MAT.3.E.1.1. MAT.3.E.2.3. MAT.3.E.3.1.

Preguntas del examen (U1 & U2)

1. Operations with fractions (+, -, x, :, powers). Simplify the results.

2. Sorting real numbers (decimals, fractions, big and small numbers -scientific notation-).

3. Turn decimals into fractions and viceversa.

4. Match (unir con flechas, mainly powers, mental calculation).

5. Absolute error and relative error.

6. Easy problem (scientific notation). Ejemplos: 33, 34, 35 y 36 de la página 43.

7. Problema NDD (ejemplos: 89, 94, 95 y 107 de la página 29 y siguientes).