Temporalización: 7 horas

• 1. What is a complex number?

  2. Cartesian complex plane. Arithmetic of complex numbers.

  3. Polar complex plane. Operations with complex numbers in polar form.

  4. Roots of complex numbers.

  5. Graphic descriptions using complex numbers.

Introduction

Find out the solution of the following equations in the set they are given:

• x + 3 = 2 in N.

• 2x + 5 = 6 in Z.

• x² = 5 in Q.

• x² + 1 = 0 in R.

What is √-4 · √-9?

What is a complex number?

• i =√−1 ⇒ i² = −1. i is the imaginary unit. Then, √−4 = √4√−1 = 2√−1 = 2i.

• A complex number is a number z = a + bi, where a and b are real numbers. a is the real part of the complex number and b is the imaginary part of the complex number.

• Any complex number can be represented in a plane by this identification: a + bi = (a, b). 

• From now and on, any polonomical equation has as many solutions as the degree of it.

The Complex Plane

Division

That operation is made with the help of the conjugate of a complex number:

The conjugate of c + di is c − di. To make any division, you just first multiply by the conjugate of the denominator. Look what happen when you multiply a number by its conjugate: 

(a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c − di)/(c + di)(c − di) ...

Polar Complex Plane

z = a + bi ⇒ r = 

Real life use of complex numbers

Complex Numbers are useful in representing a phenomenon that has two parts varying at the same time, for example an alternating current. Also, radio waves, sound waves and microwaves have to travel through different media to get to their final destination. 

There are many instances where, for example, engineers, doctors, scientists, vehicle designers and others who use electromagnetic signals and need to know how strong a signal is when it reaches its destination. The two parts in this context are: the rotation of the signal and its strength. The following are examples of this phenomenon: 

• A microphone signal passing through an amplifier.

• A mobile phone signal travelling from the mast to a phone a couple of kilometers away.

• A sound wave passing through the bones in the ear.

• An ultrasound signal reflected from a foetus in the womb.

• The song of a whale passing through kilometers of ocean water. 

Complex Numbers are also used in:

• The prediction of eclipses.

• Computer game design.

• Computer generated images in the film industry.

• The resonance of structures (bridges, etc.).

• Analysing the flow of air around the wings of a plane in aircraft design. (SOURCE)

Wrap up

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Introductory problem

What is (sqrt(-4))(sqrt(-9))? a) 6 b) -6 c) 6i d) -6i

Links

• Números complejos en Geogebra.

• The most beautiful equation in Math.

• Euler's identity.

• When did imaginary numbers come out?.

• Complex numbers in Math is fun.

• The Mandelbrot set and the complex numbers.

• Fractals and the art of roughness (TED talk by Brenoit Mandelbrot).

• How to Plot the Mandelbrot Set By Hand.

• Magia vectorial.

How will the exam of this unit be?

It'll be a multiple choice test in which you will have to prove having the following skills:

• Simplifying expressions with negative roots.

• Solve any quadratic equation in ℂ.

• Basic operations with complex numbers in standard form (addition, substraction, multiplication, division and "small" powers).

• Drawing complex numbers in standard form and polar form.

• Identifying real and imaginary part of a complex number written or represented in any form.

• Calculating the modulus of a complex number.

• Converting complex numbers polar↔standard.

Saberes básicos implicados en la unidad

A. Sentido numérico.

MATE.1.A.1. Sentido de las operaciones.

MATE.1.A.1.2 Estrategias para operar (suma, producto, cociente, potencia, radicación y logaritmo) con números reales y complejos: cálculo mental o escrito en los casos sencillos y con herramientas tecnológicas en los casos más complicados.

MATE.1.A.2. Relaciones.

MATE.1.A.2.1 Conjunto de números: números racionales e irracionales. Los números reales. Logaritmos decimales y neperianos. Los números complejos como soluciones de ecuaciones polinómicas que carecen de raíces reales.

C. Sentido espacial

MATE.1.C.1. Formas geométricas de dos dimensiones.

MATE.1.C.1.2 Resolución de problemas relativos a objetos geométricos en el plano representados con coordenadas cartesianas. Ecuaciones de la recta en el espacio bidimensional. Estudio de la posición relativa de puntos y rectas en el plano. Lugares geométricos: ecuación de la recta mediatriz. Estudio de la simetría en el plano: punto simétrico respecto de otro punto y de una recta; recta simétrica respecto de otra recta. Aplicación de los números complejos para la construcción de polígonos regulares.

F. Sentido socioafectivo.

MATE.1.F.1. Creencias, actitudes y emociones.

MATE.1.F.1.1 Destrezas de autoconciencia encaminadas a reconocer emociones propias, afrontando eventuales situaciones de estrés y ansiedad en el aprendizaje de las matemáticas.

MATE.1.F.1.2 Tratamiento del error, individual y colectivo, en el aula de matemáticas como elemento movilizador de saberes previos adquiridos y generador de oportunidades de aprendizaje en el aula de matemáticas.

MATE.1.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones.

MATE.1.F.2.1 Reconocimiento y aceptación de diversos planteamientos en la resolución de problemas y tareas efectivas para el éxito en el aprendizaje de las matemáticas, transformando los enfoques de las y los demás en nuevas y mejoradas estrategias propias, mostrando empatía y respeto en el proceso.

MATE.1.F.2.2 Técnicas y estrategias de trabajo en equipo para la resolución de problemas y tareas matemáticas, en equipos heterogéneos.

MATE.1.F.3. Inclusión, respeto y diversidad.

MATE.1.F.3.1 Destrezas para desarrollar una comunicación efectiva, la escucha activa, la formulación de preguntas o solicitud y prestación de ayuda cuando sea necesario.

MATE.1.F.3.2 Valoración de la contribución de las matemáticas y el papel de matemáticos y matemáticas a

lo largo de la histo ria en el avance de la ciencia y la tecnología.