Temporalización: 8 horas.
Fracciones. Números racionales. Operaciones / Fractions. Rational numbers.
Expresión decimal y fraccionaria de un número racional. Números irracionales. / Decimal and fractional expression of a number. Irrational numbers.
Números reales. / Real numbers.
Aproximaciones y errores. / Approximations and errors.
Representación gráfica de los números reales. Intervalos y semirrectas. / Graphic representation of real numbers. Intervals and rays.
Let's review some operations with numbers with this game: math bingo.
Multiply fractions and uses of it
(a/b) · (a'/b') = (a·a')/(b·b) "follow the line"
Adding and subtracting like fractions
Adding fractions with different denominators
Dividing fractions, reciprocal
Calculate each of the following:
1/4 + 1/2 =
3/4 − 1/2 =
1/2 + 1/10 =
3/5 + 2/10 =
1/3 + 1/8 =
5/8 + 1/6 =
7/10 + 1/4 =
2 − 1/3 =
3/21 + 5/9 =
4 − 28/5 =
2/5 + 7/12 − 1/6 =
8/9 − 1/2 + 3 =
3 − 1/8 + 7/2 − 5/4 =
2. Calculate and reduce the result to its lowest terms:
1/3 · 9/4 =
2/3 · 1/2 =
1/4 · 2/7 =
−1/2 · 3/5 =
−1/5 · −1/5 =
2/9 : 1/3 =
1/5 : −2/5 =
3/2 : 1/6 =
3/4 · −5/9 =
Powers of fractions: (a/b)³ = (a/b)·(a/b)·(a/b) = (a·a·a)/(b·b·b) = a³/b³. Link.
3. Copy, calculate and reduce:
5/4, -4/9, -1/3, -3/4, -3/10, 1/108, -13, -25/28
Place value: the number 57.4836 means 5 tens + 7 units + 4 tenths + 8 hundredths + 3 thousandths + 6 ten-thousandths, that is, 5 · 10 + 7 · 1 + 4 · 1/10 + 8 · 1/100 + 3 · 1/1000 + 6·1/10000 = 57 4836/1 0000 ⇒ so, any exact decimal number is a fraction.
You can also convert a fraction into a decimal by dividing its terms, for example, 5/4 = 1.25 because 5 ÷ 4 = 1.25.
Those possibilities allows us to compare decimal numbers and fractions: 0.6 < 7/10 because 0.6 < 0.7
Change each of these decimals into fractions, cancelling where possible: 0.7, 0.4, 0.5, 0.03, 0.06, 0.13, 0.25, 0.38, 0.55, 0.64.
Change each of these fractions into decimals. Where necessary, give your answer correct to three decimal places: 1/2, 3/4, 3/5, 9/10, 1/3, 5/8, 2/3, 7/20, 7/11, 4/9.
Put each of the following sets of numbers in order, with the smallest first.
0.6, 0.3, 1/2
2/5, 0.8, 0.3
0.35, 1/4, 0.15
7/10, 0.72, 0.71
0.8, 3/4, 0.7
0.08, 0.1, 1/20
0.55, 1/2, 0.4
5/4, 1.2, 1.23
Periodic decimals can be also converted into fractions: https://www.youtube.com/watch?v=xX1sqV1nSAQ .
There are some special numbers that cannot be expressed as fractions. Some examples are:
π (pi number) = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974...
√2 = 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176...
Special non-periodical decimals: 1.2345678910111213141516171819202122...
They are called irrational numbers (números irracionales).
All the numbers we already know are known as Real Numbers. This is a set of numbers composed by natural numbers, integers, fractions, percentages, roots, decimal number, irrational numbers...
Each number can be represented by a point in the number line. Link.
The absolute value of a number x is the distance between x and the origin, 0. It is represented by | x |. It is always a positive value.
Place value:
Place value: the number 57.483 means 5 tens + 7 units + 4 tenths + 8 hundredths + 3 thousandths, that is, 5 · 10 + 7 · 1 + 4 · 1/10 + 8 · 1/100 + 3 · 1/1000 = 57 483/1 000 ⇒ so, any exact decimal number is a fraction.
Measurements and estimations:
If you use a tool to do it, that is a direct measurement. For example, you use a ruler to measure the side of a square.
The alternative when you are not able or willing to make a direct measurement is to do indirect measurements or estimations.
You can practise estimations with the following "Hedge a bet" game.
Activity: Estimating time. Do the test five times. Which of them is the most accurate? Why is it?
The difference between the exact value and the measured value is the error.
E = |V - M|
The relative error is that number divided by the exact value. This relative error is usually given in a percent form.
As an example, if the exact value is 4.24 and the approximation is 4, then the absolute error is |4 - 4.24| = 0.24 and the relative error is 0.24/4.24 ~ 0.057 = 5.7 %.
Como los instrumentos de medida son imprecisos, siempre se comete algún error, aunque sea pequeño.
Exercise
Calculate the relative error of all the estimations we did in the game "Hedge a bet".
Practica con este juego la estimación de ángulos. Explica cómo funciona la puntuación.
Operaciones con fracciones (+, -, ·, :, potencias, operaciones combinadas). 2+2+2
Ordenar números reales escritos en diferentes formas (fracción, decimal, radical, notación científica...).
Convertir decimales en fracciones y/o viceversa.
Potencias y sus propiedades. Tambien con exponente negativo.
Simplificar radicales (sacar factores).
Problemilla.
Problema NDD.
Criterios de evaluación: MAT.1.1.1, MAT.1.1.2, MAT.1.1.3, MAT 1.2.1., MAT 1.2.2., MAT.1.6.1,
Saberes básicos: MAT.3.A.2.1, MAT.3.A.2.3, MAT.3.B.2.4, MAT.3.E.1.2, MAT.3.E.2.1, MAT.3.A.3.1, MAT.3.B.1.2, MAT.3.D.4.2, MAT.3.E.2.3, MAT.3.A.2.2, MAT.3.A.3.4, MAT.3.E.1.6, MAT.3.F.1.3, MAT.3.A.1.2, MAT.3.A.5.1, MAT.3.A.5.2, MAT.3.B.2.1, MAT.3.B.2.2, MAT.3.B.2.3, MAT.3.C.1.1, MAT.3.E.1.1, MAT.3.E.2.3, MAT.3.E.3.1
Ampliación
MAT.1.1.1.Iniciarse en la interpretación de problemas matemáticos sencillos, reconociendo los datos dados, estableciendo, de manera básica, las relaciones entre ellos y comprendiendo las preguntas formuladas.
Saberes básicos: MAT.3.A.2.1. MAT.3.A.2.3. MAT.3.B.2.4. MAT.3.E.1.2. MAT.3.E.2.1.
MAT.1.1.2.Aplicar, en problemas de contextos cercanos de la vida cotidiana, herramientas y estrategias apropiadas, como pueden ser la descomposición en problemas más sencillos, el tanteo, el ensayo y error o la búsqueda de patrones, que contribuyan a la resolución de problemas de su entorno más cercano.
Saberes básicos: MAT.3.A.3.1. MAT.3.B.1.2. MAT.3.D.4.2. MAT.3.E.2.3.
MAT.1.1.3.Obtener las soluciones matemáticas en problemas de contextos cercanos de la vida cotidiana, activando los conocimientos necesarios, aceptando el error como parte del proceso.
Saberes básicos: MAT.3.A.2.2. MAT.3.A.3.4. MAT.3.E.1.6. MAT.3.F.1.3.
MAT.1.2.1.Comprobar, de forma razonada la corrección de las soluciones de un problema, usando herramientas digitales como calculadoras, hojas de cálculo o programas específicos.
Saberes básicos: MAT.3.A.3.5. MAT.3.D.4.4. MAT.3.D.5.3
MAT.1.2.2.Comprobar, mediante la lectura comprensiva, la validez de las soluciones obtenidas en un problema comprobando su coherencia en el contexto planteado y evaluando el alcance y repercusión de estas soluciones desde diferentes perspectivas: igualdad de género, sostenibilidad, consumo responsable, equidad o no discriminación.
Saberes básicos: MAT.3.A.6.2. MAT.3.B.3.2. MAT.3.F.3.2.
MAT.1.6.1.Reconocer situaciones en el entorno más cercano susceptibles de ser formuladas y resueltas mediante herramientas y estrategias matemáticas, estableciendo conexiones entre el mundo real y las matemáticas y usando los procesos inherentes a la investigación científica y matemática: inferir, medir, comunicar, clasificar y predecir, aplicando procedimientos sencillos en la resolución de problemas.
Saberes básicos: MAT.3.A.1.2. MAT.3.A.5.1. MAT.3.A.5.2. MAT.3.B.2.1. MAT.3.B.2.2. MAT.3.B.2.3. MAT.3.C.1.1. MAT.3.E.1.1. MAT.3.E.2.3. MAT.3.E.3.1.
MAT.1.6.2.Analizar conexiones coherentes entre ideas y conceptos matemáticos con otras materias y con la vida real y aplicarlas mediante el uso de procedimientos sencillos en la resolución de problemas en situaciones del entorno cercano.
Saberes básicos: MAT.3.A.6.1 MAT.3.C.4.2 MAT.3.D.2.2 MAT.3.D.4.1
MAT.1.8.1.Comunicar ideas, conceptos y procesos sencillos, utilizando el lenguaje matemático apropiado, empleando diferentes medios, incluidos los digitales, oralmente y por escrito, al describir, explicar y justificar sus conocimientos matemáticos.
Saberes básicos: MAT.3.D.3.
MAT.1.8.2.Reconocer y emplear el lenguaje matemático presente en contextos cotidianos de su entorno personal, expresando y comunicando mensajes con contenido matemático y utilizando terminología matemática adecuada con precisión y rigor.
Saberes básicos: MAT.3.A.4.3. MAT.3.D.5.1.