U1. sets of numbers

Saberes básicos

Temporalización: 8 horas.

• 1. Fracciones. Números racionales. Operaciones / Fractions. Rational numbers.

  2. Expresión decimal y fraccionaria de un número racional. Números irracionales. / Decimal and fractional expression of a number. Irrational numbers.

  3. Números reales. / Real numbers.

  4. Aproximaciones y errores. / Approximations and errors.

  5. Representación gráfica de los números reales. Intervalos y semirrectas. / Graphic representation of real numbers. Intervals and rays.

Introduction: math bingo

Let's review some operations with numbers with this game: math bingo.

1. Operations with fractions

Remember the order of operations.

5/4, -4/9, -1/3, -3/4, -3/10, 1/108, -13, -25/28

2. Decimal and fractional expressions of a number

Place value: the number 57.4836 means 5 tens + 7 units + 4 tenths + 8 hundredths + 3 thousandths + 6 ten-thousandths, that is, 5 · 10 + 7 · 1 + 4 · 1/10 + 8 · 1/100 + 3 · 1/1000 + 6·1/10000 = 57 4836/1 0000 ⇒ so, any exact decimal number is a fraction.

You can also convert a fraction into a decimal by dividing its terms, for example, 5/4 = 1.25 because 5 ÷ 4 = 1.25.

Those possibilities allows us to compare decimal numbers and fractions: 0.6 < 7/10 because 0.6 < 0.7

1. Change each of these decimals into fractions, cancelling where possible: 0.7, 0.4, 0.5, 0.03, 0.06, 0.13, 0.25, 0.38, 0.55, 0.64. 

2. Change each of these fractions into decimals. Where necessary, give your answer correct to three decimal places: 1/2, 3/4, 3/5, 9/10, 1/3, 5/8, 2/3, 7/20, 7/11, 4/9. 

3. Put each of the following sets of numbers in order, with the smallest first. 

   1. 0.6, 0.3, 1/2 

   2. 2/5, 0.8, 0.3 

   3. 0.35, 1/4, 0.15 

   4. 7/10, 0.72, 0.71 

   5. 0.8, 3/4, 0.7 

   6. 0.08, 0.1, 1/20 

   7. 0.55, 1/2, 0.4 

   8. 5/4, 1.2, 1.23 

Periodic decimals can be also converted into fractions: https://www.youtube.com/watch?v=xX1sqV1nSAQ .

There are some special numbers that cannot be expressed as fractions. Some examples are: 

π (pi number) = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974...

√2 = 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176...

Special non-periodical decimals: 1.2345678910111213141516171819202122...

They are called irrational numbers (números irracionales).

3. The set of real numbers

All the numbers we already know are known as Real Numbers. This is a set of numbers composed by natural numbers, integers, fractions, percentages, roots, decimal number, irrational numbers...

Each number can be represented by a point in the number line. Link.

Absolute value

The absolute value of a number x is the distance between x and the origin, 0. It is represented by | x |. It is always a positive value.

4. Approximations.

Place value:

Place value: the number 57.483 means 5 tens + 7 units + 4 tenths + 8 hundredths + 3 thousandths, that is, 5 · 10 + 7 · 1 + 4 · 1/10 + 8 · 1/100 + 3 · 1/1000 = 57 483/1 000 ⇒ so, any exact decimal number is a fraction.

Measurements and estimations:

If you use a tool to do it, that is a direct measurement. For example, you use a ruler to measure the side of a square.

The alternative when you are not able or willing to make a direct measurement is to do indirect measurements or estimations.

You can practise estimations with the following "Hedge a bet" game.

Activity: Estimating time. Do the test five times. Which of them is the most accurate? Why is it?

The difference between the exact value and the measured value is the error.

E = |V - M|

The relative error is that number divided by the exact value. This relative error is usually given in a percent form.

As an example, if the exact value is 4.24 and the approximation is 4, then the absolute error is |4 - 4.24| = 0.24 and the relative error is 0.24/4.24 ~ 0.057 = 5.7 %.

Como los instrumentos de medida son imprecisos, siempre se comete algún error, aunque sea pequeño.

Exercise

Calculate the relative error of all the estimations we did in the game "Hedge a bet".

Practica con este juego la estimación de ángulos. Explica cómo funciona la puntuación.

NO ACTUALIZADO Preguntas del examen (U1 y U2)

1. Operaciones con fracciones (+, -, ·, :, potencias, operaciones combinadas). 2+2+2

2. Ordenar números reales escritos en diferentes formas (fracción, decimal, radical, notación científica...).

3. Convertir decimales en fracciones y/o viceversa.

4. Potencias y sus propiedades. Tambien con exponente negativo.

5. Simplificar radicales (sacar factores).

6. Problemilla.

7. Problema NDD.

Criterios de evaluación y saberes básicos

Resumen

Criterios de evaluación: MAT.1.1.1, MAT.1.1.2, MAT.1.1.3, MAT 1.2.1., MAT 1.2.2., MAT.1.6.1, 

Saberes básicos: MAT.3.A.2.1, MAT.3.A.2.3, MAT.3.B.2.4, MAT.3.E.1.2, MAT.3.E.2.1, MAT.3.A.3.1, MAT.3.B.1.2, MAT.3.D.4.2, MAT.3.E.2.3, MAT.3.A.2.2, MAT.3.A.3.4, MAT.3.E.1.6, MAT.3.F.1.3, MAT.3.A.1.2, MAT.3.A.5.1, MAT.3.A.5.2, MAT.3.B.2.1, MAT.3.B.2.2, MAT.3.B.2.3, MAT.3.C.1.1, MAT.3.E.1.1, MAT.3.E.2.3, MAT.3.E.3.1

Ampliación

MAT.1.1.1.Iniciarse en la interpretación de problemas matemáticos sencillos, reconociendo los datos dados, estableciendo, de manera básica, las relaciones entre ellos y comprendiendo las preguntas formuladas.

Saberes básicos: MAT.3.A.2.1. MAT.3.A.2.3. MAT.3.B.2.4. MAT.3.E.1.2. MAT.3.E.2.1.

MAT.1.1.2.Aplicar, en problemas de contextos cercanos de la vida cotidiana, herramientas y estrategias apropiadas, como pueden ser la descomposición en problemas más sencillos, el tanteo, el ensayo y error o la búsqueda de patrones, que contribuyan a la resolución de problemas de su entorno más cercano.

Saberes básicos: MAT.3.A.3.1. MAT.3.B.1.2. MAT.3.D.4.2. MAT.3.E.2.3.

MAT.1.1.3.Obtener las soluciones matemáticas en problemas de contextos cercanos de la vida cotidiana, activando los conocimientos necesarios, aceptando el error como parte del proceso.

Saberes básicos: MAT.3.A.2.2. MAT.3.A.3.4. MAT.3.E.1.6. MAT.3.F.1.3.

MAT.1.2.1.Comprobar, de forma razonada la corrección de las soluciones de un problema, usando herramientas digitales como calculadoras, hojas de cálculo o programas específicos.

Saberes básicos: MAT.3.A.3.5. MAT.3.D.4.4. MAT.3.D.5.3

MAT.1.2.2.Comprobar, mediante la lectura comprensiva, la validez de las soluciones obtenidas en un problema comprobando su coherencia en el contexto planteado y evaluando el alcance y repercusión de estas soluciones desde diferentes perspectivas: igualdad de género, sostenibilidad, consumo responsable, equidad o no discriminación.

Saberes básicos: MAT.3.A.6.2. MAT.3.B.3.2. MAT.3.F.3.2.

MAT.1.6.1.Reconocer situaciones en el entorno más cercano susceptibles de ser formuladas y resueltas mediante herramientas y estrategias matemáticas, estableciendo conexiones entre el mundo real y las matemáticas y usando los procesos inherentes a la investigación científica y matemática: inferir, medir, comunicar, clasificar y predecir, aplicando procedimientos sencillos en la resolución de problemas.

Saberes básicos: MAT.3.A.1.2. MAT.3.A.5.1. MAT.3.A.5.2. MAT.3.B.2.1. MAT.3.B.2.2. MAT.3.B.2.3. MAT.3.C.1.1. MAT.3.E.1.1. MAT.3.E.2.3. MAT.3.E.3.1.

MAT.1.6.2.Analizar conexiones coherentes entre ideas y conceptos matemáticos con otras materias y con la vida real y aplicarlas mediante el uso de procedimientos sencillos en la resolución de problemas en situaciones del entorno cercano.

Saberes básicos: MAT.3.A.6.1 MAT.3.C.4.2 MAT.3.D.2.2 MAT.3.D.4.1

MAT.1.8.1.Comunicar ideas, conceptos y procesos sencillos, utilizando el lenguaje matemático apropiado, empleando diferentes medios, incluidos los digitales, oralmente y por escrito, al describir, explicar y justificar sus conocimientos matemáticos.

Saberes básicos: MAT.3.D.3. 

MAT.1.8.2.Reconocer y emplear el lenguaje matemático presente en contextos cotidianos de su entorno personal, expresando y comunicando mensajes con contenido matemático y utilizando terminología matemática adecuada con precisión y rigor.

Saberes básicos: MAT.3.A.4.3. MAT.3.D.5.1.