U4. Solving triangles
Problema introductorio
Tras un ataque extraterrestre, que era lo único que le faltaba al 2020, un grupo de personas (en B) se queda aislado, como puede apreciarse en el dibujo. Los equipos de emergencia están en A. Estos necesitan conocer la distancia exacta a B, para comprobar si disponen de suficiente combustible para sus helicópteros. Para ello, unos matemáticos, al otro lado del río, han tomado las medidas que se muestran. ¿Podrías indicar la distancia desde el lugar donde se proporcionará el auxilio, hasta B?
Notas:
No hay que fiarse de la apariencia amistosa de los extraterrestres. En realidad son despiadados y sanguinarios, por eso no puede realizarse el traslado por tierra.
Este problema lo puso un profesor, cuyo nombre omitiremos, en un examen a finales del año 2020, año de pandemia, confinamientos, turnos para la asistencia a clase, muerte de Maradona y otras catástrofes.
Temporalización
Se estima que esta unidad podrá impartirse en 9 horas
1. Trigonometric ratios of an acute angle (0º to 90º)
Mnemonics: SOH - CAH - TOA
How to find trigonometric ratios of 30º, 45º, 60º
2. Trigonometric ratios of any angle (0º to 360º) (complementary, supplementary...)
Unit circle (Khanacademy).
3. Angles out of the [0º, 360º] interval
α = α + n·360º
360º - α = -α
4. Trigonometry with calculator
5. Relations amongst trigonometric ratios of some angles
6. Solving right triangles
Cuentecillo triangular
El malvado Brujo de la Vega tiene encerrado al pobre Rapunzelete en la última habitación de una alta torre, a 60 metros de altura. Por si esto fuera poco, la torre está rodeada de un foso de 11 metros de longitud y gran profundidad, donde nadan peligrosos cocodrilos y cantantes de reguetón. La amiga de Rapunzelete, una princesa a la sazón, no va a permitir este atropello y pide ayuda a una amiga bombera, quien le presta una escalera de nada menos que 61 metros de altura. ¿Tendrá en estas condiciones el cuentecillo un final feliz, esto es, podrá la princesa apoyar la escalera en la pared a una altura suficiente para rescatar a Rapunzelete manteniendo sus extremidades (por los cocodrilos) y sus oídos intactos?
Life hack: finding the hight of a pole from the ground.
Is it possible to find the hight of the pole with the information provided in the following drawing?
Work out the height of Eiffel Tower knowing the distance from one foot of the base to the other (124,9 m) and the elevation angle from the foot to the tip of the tower (79,1º). Make a drawing of the problem.
Dibujo de Francisco Durán Ceacero
7. Using height to solve any triangle
Find the height of the electric pole.
Find the height of the building.
In a game, a player has a free-kick from the marked yellow point in the drawing. Find out the angle between his sight and both posts of the goal.
8. Law of sines and Law of cosines
Law of sines / Teorema del seno
Law of cosines / Teorema del coseno
Saberes básicos implicados en la unidad
B. Sentido de la medida.
MATE.1.B.1. Medición.
MATE.1.B.1.1 Cálculo de longitudes y medidas angulares: uso de la trigonometría. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera medido en grados o en radianes. Demostración de las identidades trigonométricas. Razones trigonométricas del ángulo suma, el ángulo diferencia, el ángulo doble y el ángulo mitad. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera empleando las principales fórmulas trigonométricas. Aplicación de las razones trigonométricas, el teorema de los senos y el teorema del coseno en la resolución de triángulos y de problemas geométricos de contexto real. Demostración del teorema del seno y del coseno.
C. Sentido espacial
MATE.1.C.1. Formas geométricas de dos dimensiones.
MATE.1.C.1.1 Objetos geométricos de dos dimensiones: análisis de las propiedades y determinación de sus atributos. Manejo de triángulos, paralelogramos y otras figuras planas.
MATE.1.C.2. Localización y sistemas de representación.
MATE.1.C.2.1 Relaciones de objetos geométricos en el plano: representación y exploración con ayuda de herramientas digitales.
MATE.1.C.2.2 Expresiones algebraicas de objetos geométricos en el plano: selección de la más adecuada en función de la situación a resolver.
MATE.1.C.3. Visualización, razonamiento y modelización geométrica.
MATE.1.C.3.1 Representación de objetos geométricos en el plano mediante herramientas digitales.
MATE.1.C.3.2 Modelos matemáticos (geométricos, algebraicos, grafos...) en la resolución de problemas en el plano. Conexiones con otras disciplinas y áreas de interés.
MATE.1.C.3.3 Conjeturas geométricas en el plano: validación por medio de la deducción y la demostración de teoremas.
MATE.1.C.3.5 La geometría en el patrimonio cultural y artístico de Andalucía.
F. Sentido socioafectivo.
MATE.1.F.1. Creencias, actitudes y emociones.
MATE.1.F.1.1 Destrezas de autoconciencia encaminadas a reconocer emociones propias, afrontando eventuales situaciones de estrés y ansiedad en el aprendizaje de las matemáticas.
MATE.1.F.1.2 Tratamiento del error, individual y colectivo, en el aula de matemáticas como elemento movilizador de saberes previos adquiridos y generador de oportunidades de aprendizaje en el aula de matemáticas.
MATE.1.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones.
MATE.1.F.2.1 Reconocimiento y aceptación de diversos planteamientos en la resolución de problemas y tareas efectivas para el éxito en el aprendizaje de las matemáticas, transformando los enfoques de las y los demás en nuevas y mejoradas estrategias propias, mostrando empatía y respeto en el proceso.
MATE.1.F.2.2 Técnicas y estrategias de trabajo en equipo para la resolución de problemas y tareas matemáticas, en equipos heterogéneos.
MATE.1.F.3. Inclusión, respeto y diversidad.
MATE.1.F.3.1 Destrezas para desarrollar una comunicación efectiva, la escucha activa, la formulación de preguntas o solicitud y prestación de ayuda cuando sea necesario.
MATE.1.F.3.2 Valoración de la contribución de las matemáticas y el papel de matemáticos y matemáticas a
lo largo de la histo ria en el avance de la ciencia y la tecnología.