Temporalización

Se estima que esta unidad podrá impartirse en 9 horas

To start, fold this two triangles:

Prior knowledge: The Pithagorean Theorem.

1. Trigonometric ratios of an acute angle (0º to 90º)

Mnemonics: SOH - CAH - TOA

How to find some famous trigonometric ratios:

• Trigonometric ratios for 30º and 60º.

• Trigonometric ratios for 45º.

Problemas NDD

Curso 2020-2021

Teresa Guzmán

Después de descubrir que Eren es un titán, Levi decide junto con Erwin y Hange, ponerlo a prueba para demostrar que realmente él está de parte de la humanidad y no de los titanes. La prueba consiste en la reconquista del muro Rose, que fue derribado hace cuatro años por el titan colosal y acorazado. Para ello Levi decide pedirle ayuda a Armin, para que este trace una ruta rápida y segura mientras Shasa, Connie y Jean se encargan de matar titanes. Para ello Armin coge un mapa y señala dos puntos de partida para Eren que se encuentran separados por una distancia de 12m (a escala real). Mikasa va a explorar la zona, y descubre que si Eren parte del primer punto que marco Armin en el mapa, ve el agujero que debe tapar, con una orientación de 45 grados, mientras que si se sitúa en el segundo punto ve este con una orientación de 50 grados. ¿Que ruta será la mas corta y segura que debe de tomar Eren para probar que esta de parte de la humanidad y salvar a esta?

Alba García

Paola, Marta y Carlos son tres amigos los cuales les encanta las matemáticas y deciden ir a la calle a poner en práctica sus conocimientos. Se colocan los tres formando un triángulo. Marta y Carlos miden la distancia que los separa que es de 8m. Pero, de repente, Paola les propone un reto que consiste en adivinar la distancia que separa a Carlos de ella. Sabiendo que está colocada formando un ángulo de 15°con Carlos y un ángulo de 20° con Marta. Y sabiendo también que la distancia que separa a Paola de Marta es la mitad de la que separa a Carlos de Marta.

b) Y si Paola quisiera ir de forma vertical hacia abajo. ¿Cuánta distancia tendría que andar?

Activities

1. Knowing that α ∈ [90º, 180º] and sin α = 0.62, calculate cos α and tg α.

2. Knowing that α ∈ [180º, 270º] and cos α = –0.83, calculate sin α and tg α.

3. Knowing that α ∈ [270º, 360º] and tg α = –0.92, calculate sin α and cos α.

3. Angles out of the [0º, 360º] interval

• If β angle is higher than 360º, then β = α + n·360º. Then the trigonometric ratios of β are the same that the trigonometric ratios of α.

• If α > 0, then sin (–α) = sin α, cos (–α) = cos α

4. Trigonometry with calculator

• Remember always to set the units properly either radians or degrees.

• Use the "shift" key to get to know the angle given the ratio.

Activities

1. Find out the rest of the trigonometric ratios, knowing... :

   1. sin α = 0.573, α > 90

   2. cos α = 0.309, sin α < 0

   3. tg α = 1.327, 180º < α < 270º

   4. cos α = –0.819, tg α < 0

5. Relations amongst trigonometric ratios of some angles

Open this geogebra applet to see this moving.

Activities

1. Work out the trigonometric ratios of 55º, 125º, 145º, 215º, 235º and 325º from the trigonometric ratios of 35º: sin 35º = 0.57; cos 35º = 0.82; tg 35º = 0.70.

2. Draw on the unit circle angles that follows the following conditions. Estimate the rest of the trigonometric ratios in each case.

   1. sin α = –1/2, tg α > 0

   2. cos α = 3/4, α > 90º

   3. tg α = –1, cos α < 0

   4. tg α = 2, cos α < 0

   5. sen α = –1

   6. cos α = 0, sin α > 0

To solve a right triangle you must consider either, the definition of the trigonometric ratios or the pythagorean theorem.

Practise with the following activities:

Activities (right triangles)

Te following triangles ABC are right. C is the right angle. Find out what is asked:

1. c = 32 cm, B = 57º, find a and b.

2. a = 250 m, b = 308 m, find c and A.

3. a = 35 cm, A = 32º, find b and c.

8. Law of sines and Law of cosines

Activities

Solve the following triangles:

1. DEF: angle D = 60°, angle E = 50°, side d (opposite angle D) = 10 cm. Find side e and side f.

2. STU: side s = 8 cm, side t = 9 cm, angle T = 60°. Find side u.

3. VWX: side v = 12 cm, side w = 14 cm, angle W = 45°. Find side x.

4. ABC: angle A = 30°, angle B = 45°, side a (opposite angle A) = 7 cm. Find side b and side c.

5. YZA: side y = 7 cm, side z = 10 cm, side a = 13 cm. Find angle Y.

6. GHI: angle G = 35°, angle H = 75°, side h (opposite angle H) = 8 cm. Find side g and side i.

7. PQR: side p = 5 cm, side q = 6 cm, side r = 7 cm. Find angle P 

8. JKL: angle J = 40°, side j (opposite angle J) = 9 cm, side k (opposite angle K) = 12 cm. Find angle K., 

9. MNO: angle M = 20°, side m (opposite angle M) = 5 cm, side n (opposite angle N) = 7 cm. Find angle N.

10. BCD: side b = 6 cm, side c = 8 cm, angle B = 30°. Find side d.

Solutions

1. Triangle DEF: Side e ≈ 8.5 cm Side f ≈ 9.3 cm Triangle STU: Side u ≈ 10.4 cm Triangle VWX: Side x ≈ 10.1 cm Triangle ABC: Side b ≈ 9.9 cm Side c ≈ 9.8 cm Triangle YZA: Angle Y ≈ 33.56° Triangle GHI: Side g ≈ 4.85 cm Side i ≈ 12.12 cm Triangle PQR: Angle P ≈ 41.41° Triangle JKL: Angle K ≈ 51.06° Triangle MNO: Angle N ≈ 33.56° Triangle BCD: Side d ≈ 7.94 cm

Heron formula to find out the area of a triangle from its three sides.

Word problems on trigonometry

1. Armelinda and Benemérito are standing at two different points of the city of Granada, Mirador de San Nicolas y Torre de la Vela, 1 km apart on a straight line. Both can see the tower of the Cathedral. The angle between the line Armelinda - Benemérito and the line between the tower and Armelinda is 60º. The angle between the line A-B and the line between the tower and Benemérito is 83 degrees. How far is the tower from Armelinda?

2. Casimiro, Dombina and Eustaquio are camping in their tents at the following distances: C-D, 153 m; C-E, 201 m; D-E, 175 m. What is the angle between all of them?

3. A plane leaves Granada-Jaén Airport and travel due west at 570 km/h. Another plane leaves 20 minutes later and travels 22º west of north at the rate of 585 km/h. How far apart are they 40 minutes after the second plante leaves?

4. What is the area of a triangular field whose sides lenght are 23 m, 14 m and 34 m?

5. To estimate the length of a lake, Filadelfo starts at one end of the lake and walks 95m.  He then turns and walks on a new path, which is 120° to the direction he was first walking in, and walks 87m more until he arrives at the other end of the lake.  Approximately how long is the lake? 

6. A bird takes off at an angle of 78º to the horizon and travels 17 m. At the same starting point, a dog chases towards the bird and travels 13 m. Calculate the distance between the bird and the dog.

Here you can find many more problems like these.

Links

¿A cuánta altura podemos construir?

A finger trick for trigonometry.

Ángulos complementarios.

Ángulos que difieren en 180º.

Ángulos opuestos.

Ángulos suplementarios.

Aplicación de la trigonometría al tiro parabólico.

Heart curve.

Kahoot de repaso.

Trigonometry bingo.

Criterios de evaluación y Saberes básicos implicados en la unidad

1.1. Manejar algunas estrategias y herramientas, incluidas las digitales, en la modelización y resolución de problemas de la vida cotidiana y de la ciencia y la tecnología, evaluando su eficiencia en cada caso.

2.1. Comprobar la validez matemática de las posibles soluciones de un problema e interpretarlas, utilizando el razonamiento y la argumentación.

6.1. Resolver problemas en situaciones diversas utilizando procesos matemáticos, estableciendo y aplicando conexiones entre el mundo real, otras áreas de conocimiento y las matemáticas.

7.1. Representar ideas matemáticas, estructurando diferentes razonamientos matemáticos y seleccionando las tecnologías más adecuadas.

Saberes básicos

B. Sentido de la medida.

MATE.1.B.1. Medición.

MATE.1.B.1.1 Cálculo de longitudes y medidas angulares: uso de la trigonometría. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera medido en grados o en radianes. Demostración de las identidades trigonométricas. Razones trigonométricas del ángulo suma, el ángulo diferencia, el ángulo doble y el ángulo mitad. Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera empleando las principales fórmulas trigonométricas. Aplicación de las razones trigonométricas, el teorema de los senos y el teorema del coseno en la resolución de triángulos y de problemas geométricos de contexto real. Demostración del teorema del seno y del coseno.

C. Sentido espacial

MATE.1.C.1. Formas geométricas de dos dimensiones.

MATE.1.C.1.1 Objetos geométricos de dos dimensiones: análisis de las propiedades y determinación de sus atributos. Manejo de triángulos, paralelogramos y otras figuras planas.

MATE.1.C.3. Visualización, razonamiento y modelización geométrica.

MATE.1.C.3.2 Modelos matemáticos (geométricos, algebraicos, grafos...) en la resolución de problemas en el plano. Conexiones con otras disciplinas y áreas de interés.

F. Sentido socioafectivo.

MATE.1.F.1. Creencias, actitudes y emociones.

MATE.1.F.1.1 Destrezas de autoconciencia encaminadas a reconocer emociones propias, afrontando eventuales situaciones de estrés y ansiedad en el aprendizaje de las matemáticas.

MATE.1.F.1.2 Tratamiento del error, individual y colectivo, en el aula de matemáticas como elemento movilizador de saberes previos adquiridos y generador de oportunidades de aprendizaje en el aula de matemáticas.

MATE.1.F.2. Trabajo en equipo y toma de decisiones.

MATE.1.F.2.1 Reconocimiento y aceptación de diversos planteamientos en la resolución de problemas y tareas efectivas para el éxito en el aprendizaje de las matemáticas, transformando los enfoques de las y los demás en nuevas y mejoradas estrategias propias, mostrando empatía y respeto en el proceso.

MATE.1.F.2.2 Técnicas y estrategias de trabajo en equipo para la resolución de problemas y tareas matemáticas, en equipos heterogéneos.

MATE.1.F.3. Inclusión, respeto y diversidad.

MATE.1.F.3.1 Destrezas para desarrollar una comunicación efectiva, la escucha activa, la formulación de preguntas o solicitud y prestación de ayuda cuando sea necesario.

MATE.1.F.3.2 Valoración de la contribución de las matemáticas y el papel de matemáticos y matemáticas a

lo largo de la histo ria en el avance de la ciencia y la tecnología.

Preguntas del examen

1. Find out the other trigonometric ratios, given one of them (without calculator).

2. Comparing trigonometric ratios from different quadrants.

3. Easy problem, solvable with the definition of trigonometric ratios or double-measuring method.

4. Solving a triangle using law of sines and/or law of cosine.

5. NFDP, using law of sines or law of cosines.

Problemas NDD propuestos por el alumnado

Curso 2020-2021

Teresa Guzmán

Después de descubrir que Eren es un titán, Levi decide junto con Erwin y Hange, ponerlo a prueba para demostrar que realmente él está de parte de la humanidad y no de los titanes. La prueba consiste en la reconquista del muro Rose, que fue derribado hace cuatro años por el titan colosal y acorazado. Para ello Levi decide pedirle ayuda a Armin, para que este trace una ruta rápida y segura mientras Shasa, Connie y Jean se encargan de matar titanes. Para ello Armin coge un mapa y señala dos puntos de partida para Eren que se encuentran separados por una distancia de 12 m (a escala real). Mikasa va a explorar la zona, y descubre que si Eren parte del primer punto que marcó Armin en el mapa, ve el agujero que debe tapar, con una orientación de 45 grados, mientras que si se sitúa en el segundo punto ve este con una orientación de 50 grados. ¿Que ruta será la mas corta y segura que debe de tomar Eren para probar que esta de parte de la humanidad y salvar a esta?

Alba García

Paola, Marta y Carlos son tres amigos los cuales les encanta las matemáticas y deciden ir a la calle a poner en práctica sus conocimientos. Se colocan los tres formando un triángulo. Marta y Carlos miden la distancia que los separa que es de 8 m. Pero, de repente, Paola les propone un reto que consiste en adivinar la distancia que separa a Carlos de ella. Sabiendo que está colocada formando un ángulo de 15° con Carlos y un ángulo de 20° con Marta. Y sabiendo también que la distancia que separa a Paola de Marta es la mitad de la que separa a Carlos de Marta. Y si Paola quisiera ir de forma vertical hacia abajo. ¿Cuánta distancia tendría que andar?