Dominio de una función

Observa las siguientes funciones:

1. f(x) = √x
   1. ¿En qué número se transforma el 4?
   2. ¿Y el 3? ¿Y el 0?
   3. ¿Y el -1?
2. f(x) = log x
   1. ¿En qué número se transforma el 10?
   2. ¿Y el 1? ¿Y el 1000?
   3. ¿Y el 0? ¿Y el -10?

A x se le llama variable independiente. Variable porque varía e independiente porque puedes elegir tú el valor que quieras, prácticamente sin restricciones.

A y se le llama variable dependiente. Los distintos valores que va tomando dependen de los valores que previamente se han dado a la variable independiente. No tiene tanta libertad ;-)

Sin embargo hay ocasiones en las que no es posible transformar determinado número. Es como si la máquina se atascase si lo introducimos. Eso ha pasado con -1 o 0 en los ejemplos de arriba.

Dominio

Por eso se habla del dominio de una función como del conjunto de los números para los que tiene sentido aplicar la regla.

En el ejemplo 1, a falta de más información, el dominio es el conjunto de todos los números positivos o el 0. Recuerda que también lo escribíamos [0, ∞[

En el ejemplo 2, el dominio es ]0, ∞[

La mayoría de las funciones elementales tienen como dominio el conjunto de todos los números reales.

En muchas ocasiones, dada una función por su expresión analítica (su fórmula), es más sencillo pensar al revés, esto es, en lugar de encontrar el dominio, es más fácil pensar en qué números no pertenecen al dominio de la función.

Algunas notas para calcular dominios:

• El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de todos los números reales.
• Las funciones racionales (fracciones de polinomios) no "funcionan" cuando el denominador vale cero.
• Las funciones irracionales (raíces cuadradas de polinomios) sólo "funcionan" cuando "lo de dentro de la raíz", esto es, el radicando, es mayor o igual que cero.
• Los logaritmos "no funcionan" cuando "lo que hay dentro" es cero o negativo.

Para calcular el dominio de una función cuando sólo conocemos su gráfica hay que observar a lo largo de qué partes del eje X se extiende la misma. Observa los siguientes ejemplos:

En este caso el dominio es el conjunto [2, ∞[, porque es el conjunto de valores del eje X a lo largo del cual se extiende la gráfica.

El trazado parece indicar que cualquier punto de la gráfica tiene imagen, salvo el 3. El dominio se expresa entonces como R - {3}.

1. Realiza los ejercicios 21, 22 y 24 de la página 184.
1. Calcula el dominio de las siguientes funciones expresadas gráficamente (cada color representa una función diferente. Haz clic en la imagen para verla más grande):

Recorrido

Se llama recorrido de una función al conjunto de valores que es posible que aparezcan como resultado en función de la regla establecida. Si el dominio era "lo que echábamos a la máquina", el recorrido es "lo que sale de ella".

Mientras que para el dominio de las funciones hay reglas fijas que permiten calcularlo de una forma relativamente sencilla, el recorrido es un conjunto más difícil de determinar.

Si tenemos la función en forma de gráfica, el cálculo del recorrido es, sin embargo, un ejercicio similar al del dominio. En este caso hay que ver a lo largo de qué valores del eje de la Y se extiende la función.

1. Calcula el recorrido de las funciones anteriores.
2. Para las fórmulas.

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