Patrons quadràtics a 6è Escola Vila Olímpica
Finalitat
Estimular el descobriment de patrons.
Fomentar la connexió entre expressions númeriques i geomètriques: nombres quadrats.
Emprar la conversa matemática per contrastar el descobriment de patrons i la seva representació.
Potenciar l’expressió de diferents representacions matemàtiques que mostrin la iniciativa i el pensament propi.
Afavorir el raonament i la prova.
A la pissarra la mestra escriu:
1 X 3 + 1 = 4
2 X 4 + 1 = 9
3 X 5 + 1 = 16
La mestra demana:
Com podría continuar?
La conversa
Els nens i les nenes ofereixen d’altres igualtats.
4 x 6 + 1 = 25
5 x 7 + 1 = 36
6 x 8 + 1 = 49
…
Són capaços de donar-li continuïtat.
Podrieu dir quins patrons hi veieu?
En veuen molts, i molt aviat algú s’adona que els resultats són nombres quadrats.
La diferència entre els quadrats sempre és imparell i va incrementant-se de 2 en 2.
Sempre es multiplica un nombre per una altre que el supera en dos, i el quadrat és el del mig.
Observen patrons al relacionar les diferents igualtats
…
Representació individual
Ara cadascú ha de representar el què hem fet.
Disposen de cubs encaixables, paper quadricula.
Cadascú pot emprar el que consideri convenient i expresar-ho segons el seu criteri.
Models de representacions
Es refereix a les igualtats proposades per la mestra.
Experimenta amb els cubs encaixables.
Dibuixa el que experimenta
Indica la transformació de posició.
Empra una expressió concreta
Treballa directament amb el paper quadrícula.
Indica igualtats proposades i d’altres.
Expressa clarament la transformació en la posició dels quadres de cada igualtat.
Generalitza la transformació de posició dels quadres.
Relaciona la igualtat 3 x 5 +1 amb (5-1) x (3+1) que determina el quadrat 4 x 4.
Suggereix una nova igualtat.
Transcripció del text de la imatge:
línia horitzontal
Quadrat
Resum petit:
Horitzontal = vertical
Expressa noves igualtats.
Indica la transformació de posició en un cas, com a exemple.
Expressa patrons:
Creixement dels nombres quadrats en la sèrie d’imparells.
El nombre quadrats resultat de cada igualtat correspon al nombre que hi ha entremig dels factors dels producte.
Transcripció del text de la imatge:
Descobrim patrons de multiplicacions de nombres quadrats. 3+1 és 4 i el 4 està a baix al mig. També 4+1=5 que està també al mig a baix.
Patró: Cada cop es va sumant de dos en dos, és a dir 5, 7, 9.
Tots els resultats són nombres quadrats.
Entre mig de 7 i 9 és 8, i 8x8 = 64 i 64 és el nombre quadrat.
Transformació --> Numero quadrat
Expressa diversos patrons:
Els resultats de les igualtats són nombres quadrats.
Els resultats corresponen al quadrat del nombre que hi ha entremig dels dos factors.
Si a un factor li sumem 1 i a l’altre li restem 1, obtenim el quadrat. Generalitza aquests patró amb exemples.
Transcripció del text de la imatge:
Tots els resultats són nombres quadrats.
els nombres de la multiplicació es porten dos nombres, per exemple 4x6. El nombre que va entre mig és el nombre que per si mateix dona un nombre quadrat.
Si li treiem un nombre al més gran de la multiplicació i li sumem ens dona el resultat.
Expressa regularitats entre els factors de les diferents igualtats.
Generalitza el patró de fer el quadrat del nombre del mig per calcular.
Transcripció del text de la imatge:
Si sumem el nombre de la segona columna més el nombre de la primera columna de la següent multiplicació, ens dona la diferència del resultat. Per exemple.
1x3+1
4. --> 2x4 +1
Sense saber el resultat d'algunes multiplicacions podem saber perquè és multiplicaria i per quin nombre multiplicat per ell mateix ens donarà el nombre quadrat (el resultat)
el nombre que va entre mig dels 2 és el que multiplicat per ell mateix ens dona el resultat. La multiplicació es porta dos nombres. Si agafem un nombre li sumem 2 i tenim l'altre que és pel que multipliquem.
Descobreix el patró de fer el quadrat del nombre d’entremig dels factors per trobar el resultat.
Amb el gràfic, recta numérica, indica patrons:
els nombres més propers multiplicats donen resultats majors, fins arribar al nombre quadrat que ofereix el producte major.
El decreixement del productes des del quadrat:
-1; -3; -5; -7…
Transcripció del text de la imatge:
D'aquestes multiplicaions i sumes he trobat un patró que és que a la multiplicació de després
O sigui que sempre li sumem 2. Igual que als numeros resultants.
1x3+1 = 4 però també ho podem fer més simple com per exemple 2^2, dos al quadrat, perquè 2x2 és 4 i els nombres quadrats es multipliquen entre sí mateixos. S'ha de buscar la forma de fer un nombre més petit perquè s'entengui millor.
Mostra el patrons mitjançant diagrames:
els resultats de cada igualtat corresponen a fer el quadrat del nombre intermig dels factors.
Es pot afegir un a un factor i treure’n un a l’altra i fer el quadrat.
Incorpora la idea d’equivalència per indicar que :
1x3+1 = 2x2
Generalitza el patró a d’altres igualtats amb nombres més grans.
Transcripció del text de la imatge:
2 parell = 4 parell
3 senar = 9 senar
Equivalents
Troba una expressió general que expliqui el patró.
Utilitza el llenguatge algebraic.
Es planteja el problema amb nombres negatius.
Transcripció del text de la imatge:
Funciona amb números negatius, però al revés.
Conclusions
Descobreixen el patró que regeix les expressions.
Alguns expressen el patró geometricament, posant l’accent en la transformació de la forma. D’altres l’expressen verbalment, numèricament i fins i tot algebraicament.
Connecten amb els nombres quadrats.
Descobreixen d’altres patrons entre els nombres de les diferents igualtats.
Alguns s’acosten al patró de suma per diferència, diferència de quadrats.
Generalitzen el patró per calcular.
Mostren iniciativa en les respostes.
Resolen el repte.
Raonen i proven.
Connecten.
Representen.
Comuniquen.