Tangram
El tangram és un joc d'origen xinès molt antic, que consisteix a formar siluetes de figures amb la totalitat d'una sèrie de peces donades. Les figures formades han de fer servir totes les peces sense sobreposar-les.
En aquesta entrada parlarem de com treure partit a la classe de matemàtiques del tangram de set peces més conegut, tot i que hi ha altres variacions, tant de set peces com de menys.
Construir el Tangram
Com a primera proposta per a conèixer el material us recomanem, en la mesura que l’edat dels alumnes ho permeti, que el construïu a partir d’un full quadrat de paper.
És una de les millors maneres de reconèixer cadascuna de les peces i també d’adonar-se de l’elegància i la senzillesa que hi ha darrera el joc.
Tallem un full quadrat per la meitat seguint la diagonal. Partint un dels dos triangles obtinguts per la meitat obtenim els dos triangles grans. De l’altre, amb plecs força senzills, obtenim la resta de les peces.
A la pàgina web de l’Espai Jordi Esteve també podeu trobar el procés detallat i acompanyat de fotografies, per il·lustrar-ho pas a pas.
Presentar-ho com un conte o a partir d'obres d'art
Una de les propostes més interessants del treball a partir del Tangram ens la va donar a conéixer un mestre de matemàtiques gallec, en Coque Pazos, que acostumava a introduir el tangram a l’aula disfressat de xinès. Explicava la llegenda del servent d'un emperador Xinès que portava un mosaic de ceràmica, molt car i molt fràgil. El servent va ensopegar trencant el mosaic en trossos. Desesperat, el servent va intentar tornar a formar el mosaic en forma quadrada però no va saber. Tanmateix, es va adonar que podia formar moltes altres figures amb els trossos.
També hi ha contes que es poden explicar amb les peces del Tangram. A la sèrie d'Una mà de contes en podeu trobar cinc
Hi ha artistes plàstics que també utilitzen les formes del Tangram a les seves obres. Pot ser una forma bonica de presentar les peces o una invitació a dissenyar obres pròpies. Trobareu alguns exemples al web de Cultura Científica (El arte contemporáneo que mira al Tangram)
Conill (2018), de Francesco Moretti.
Ordenar per conèixer les peces
Una activitat que dona molt de joc i serveix per presentar les figures és demanar-los que les ordenin damunt la taula per mida: començar posant la més petita i al final, la més gran.
Tots estarem d’acord en que és senzill ordenar els triangles:
Però hi ha tres peces que són controvertides. Quina és més gran?
Si aprofitem la situació veurem que és una bona ocasió per practicar l'argumentació:
Sol passar que alguns alumnes es decanten per afirmar que el quadrat o el trapezi són més petites. És important que deixem que s’expliquin.
Altres començaran a justificar que dues de les peces són iguals: “Si posem el quadrat a sobre del triangle mitjà, aquestes puntetes que sobren són les que falten a sota”
Totes les argumentacions són interessants. Si tenim “bones arts” sabrem guardar per al final les intervencions que normalment convencen a tots els companys: “Tant el quadrat com el triangle mitjà com el paral.lelogram poden construir-se fent servir dos triangles petits. Per tant… les tres són iguals”. Però si aquesta idea surt d’entrada… ens haurem perdut una bona ocasió de treballar la competència comunicativa.
Més difícil: Comparem el perímetre
Si ens decidim a comparar el perímetre de les diferents peces també ens trobarem amb bones propostes per part dels nostres alumnes:
Alguns agafen dues peces i les fan voltar una al voltant de l'altra i ens mostren que a una li falta un tros per fer la volta sencera. Bona estratègia, oi?
A un grup d'ESO vam veure una noia que resseguia la peça fent-la rodar pel full de paper, posant-los un darrera l'altre en una sola línia, com si "rectifiqués" el perímetre. Al final només havia de comparar els segments resultants de la suma de tots els costats.
En general se n'adonen que hi ha costats de dos tipus: curts i llargs, i en algun cas el doble dels costats curts, tal com es veu al vídeo i a la imatge.
Si són nois i noies de 3r o 4t d'ESO podem aprofitar per escriure les mides dels costats prenent com a unitat el costat del quadrat. Obtenim costats que medeixen 1 i altres que medeixen arrel de 2. I si escrivim el perímetre de les diferents peces podem expressar-los amb les arrels:
Quadrat: 1+1+1+1= 4
Triangle petit= 1+ 1+ √2= 2+√2
Triangle mitjà= 2+√2+√2= 2 + 2√2
Triangle gran: 2+2+2√2= 4+2√2
Paral·lelogram: 1+√2+1+√2= 2+2√2
No sempre tenim l'oportunitat a classe de fer servir radicals dins un context tan senzill.
Fem quadrats
Una de les peces del tangram és el quadrat. Però...
Podem fer un quadrat amb dues peces del tangram?
Podem fer un quadrat amb tres peces?
I amb 4 peces? De quantes maneres diferents? De tres!
Amb 5 peces també podem fer un quadrat...
... però amb 6 no.
I amb set és el quadrat de tot el tangram.
Dit així sembla que sigui un moment, però ben segur que pot ser una activitat a la que valgui dedicar tota una sessió de classe.
És convenient acostumar els alumnes a deixar registre del que fan. I dibuixar al seu quadern les diferents maneres de fer quadrats és un bon exercici. Si els deixeu dibuixar lliurement segurament dibuixaran triangles equilàters i altres figures que no encaixaran. Per ajudar-los suggeriu-los que dibuixin un quadrat i que es fixin en com es descomposa en les diferents peces.
Amb alumnes de secundària us animem a anar descobrint de quina manera creix l’àrea i el perímetre dels quadrats de les diferents mides, fent conjectures i comprovant-les després.
Altres exercicis de composició i descomposició de figures poden ser fer figures grans de tangram a partir de les peces petites: fer un paral.lelogram a partir de 4 paral.lelograms… etc.
També podem construir polígons diferents a partir de 3 peces donades, i comparar el seu perímetre i la seva àrea. Un bon exemple per adonar-se que figures de la mateixa àrea poden tenir perímetres diferents.
L'Ester Bosch, per treballar a cicle inicial de primària, ens proposa començar a explorar a partir de tres peces: En el seu cas comencen fent servir el quadrat i els 2 triangles petits i entre tots fan les diferents figures que surten amb aquestes peces i els donen nom: rectangle, triangle, trapezi, cara de gat, balena, fletxa, corona, cranc... Després substitueixen el quadrat per dos triangles petits més i veuen que es poden fer les mateixes peces.
A segon curs fan una feina semblant, fent servir els dos triangles petits i el romboide. També projecten les figures que volen que reprodueixin, però sense "solució", només el contorn, i així els nens i nenes s'expliquen com ho fan.
Per més grans ens agrada molt l'activitat de fer figures convexes, que proposen al web del Puntmat: "Polígons convexos & Tangram"
En aquest enllaç del web del Cuaderno de Cultura Científica (Un teorema sobre el Tangram) podeu trobar la demostració de perquè només hi ha 13 polígons convexos. Una bona activitat per als més grans.
Relacions al tangram
Si ja coneixem les peces del tangram i la manera com podem fer composicions i descomposicions, us animem a connectar la geometria amb expressions d'igualtats i de càlcul.
Donem un nom curt a cada peça.
Una codificació que sovint surt de manera natural és la fa servir les inicials dels polígons:
Q= Quadrat.
T= Triangle. I tenim el Tp (triangle petit), el Tm (triangle mitjà) i el Tg (triangle gran).
P (o R) = Paral·lelogram (o romboide)
I comencem a escriure igualtats:
Tp + Tp = Q
Tg= Q + 2 Tp
Tp = ½ P
Qui en troba més ?
Una altra activitat és fer un quadre de doble entrada i descriure les relacions numèriques que s’estableixen entre peces:
Fraccions al tangram
Ja hem apuntat a la proposta anterior que les peces del tangram, de la manera que estan dissenyades, ens permeten comparar-les fent servir fraccions senzilles.
Però també podem prendre com a unitat el tangram sencer, anar decidint quina part del tangram ocupa cadascuna de les peces.
En alguns casos ens serà útil dibuixar damunt el tangram una quadrícula de suport per comparar la part del total que ocupen les diferents peces.
Aquesta serà també una bona estratègia per resoldre la composició d'algunes figures que es fan amb les peces del tangram. Sempre podem descompondre el dibuix en "triangles petits".
Per acabar, paradoxes
I un cop que ja sigueu uns experts resolutors de puzzles de tangram, què tal si resoleu aquestes parelles de figures?
A la web "el Laboratori d'Arquimedes" de G. Sarcone, ens en proposen una bona col·lecció. En tots els casos les figures semblen iguals però a una d'elles li falta o li sobra un element. Deixeu que investiguin per descobrir com una figura amaga al cos la part de l'àrea que sembla que falti.
Altres propostes de l'ARC i la campanya "Impressió 3D i matemàtiques"
Anteriorment ja havíem fet altres propostes sobre el tangram xinès i altres tipus de tangrams:
Tangram xinès a l'ARC: El tangram i les fraccions, Ordenem el Tangram (Yolanda Martín), El tangram (Abraham de la Fuente, Anton Aubanell), Tangram i superficies (Pili Royo i Xavier Vilella) i Tangram (Albert Garcia).
Altres tangrams:
ARC: L’ou màgic (Abraham de la Fuente, Anton Aubanell) i El Tangram d'ou (Lluís Mora, Araceli López)
Impressió 3D: El tangram de 8 elements
Finalment, us enllacem a un recull d'applets per treballar amb els materials manipulatius del Laboratori de Matemàtiques.