Els joc dels pentòminos és un trencaclosques inventat a l’any 1953 pel matemàtic estatunidenc Solomon W. Golomb, però es va popularitzar una dècada més tard gràcies a la publicació d’un llibre del propi creador i un article de Martin Gardner a la revista Scientifican American.

Si considerem un dòmino un rectangle de 2x1 format per dos quadrats units per un costat, un trímino serà una forma feta per la unió de tres quadrats tocant-se també per un costat, un tetràmino una forma de quatre quadrats i, en general un poliòmino una forma feta per la unió d’n quadrats.

Els pentòminos, concretament, són les formes fetes amb la unió de cinc quadrats. N'hi ha 12 de diferents (si no tenim en compte simetries ja que, fetes amb material, se’ls hi pot donar la volta). Cada forma s’acostuma a anomenar segons la lletra que recorda.

Amb els més petits

Abans d’entrar en activitats de caràcter investigador, cal dir que treballar en la creació i reproducció de figures tot resolent un trencaclosques amb els pentòminos o amb el tangram, és un treball geomètric de primer ordre des de ben petits. Buscar una determinada figura, posar-la en la orientació adequada, encaixar-la amb la següent, per anar confegint una determinada imatge obliga a un treball geomètric molt interessant... Deixarem sempre que primer juguin i explorin lliurament el material. Posteriorment, quan els plantegem una proposta més dirigida en forma de repte hauran de fer transformacions geomètriques, com ara girar les peces o donant-els-hi la volta (fer una simetria), per mirar de col·locar-les de manera que ajudin a aconseguir la figura buscada. Probablement no ho faran de manera conscient (sabent que apliquen transformacions) sinó guiats bàsicament per la percepció, però ens oferirà una situació que podrem aprofitar per introduir nou vocabulari.

En els primers cursos, sovint convindrà treballar amb una quantitat reduïda de peces i anar-ne afegint a mesura que sigui possible. Podem plantejar també la possibilitat de classificar les peces, deixant que ells mateixos proposin els criteris que vulguin, o mirar si les construccions que fan lliurement responen a algun repte que s'han plantejat ells mateixos, com ara ser més o menys figuratives, tenir simetries, no deixar forats…

Estudiem els dotze pentòminos

El primer estudi que podem fer de les peces és el de la seva àrea i el seu perímetre. Començarem demanant si tenen àrees iguals o no i escoltarem la seva argumentació. Un cop assumit que les àrees són idèntiques demanarem si tenen també el mateix perímetre o no. Probablement hi haurà divisió d'opinions i haurem de passar a la mesura. Podem recollir els resultats en una taula i discutir sobre els resultats: quants perímetres diferents obtenim? Observem a la taula que només tenim dos perímetres: totes les peces tenen 12 unitats menys la P que el té de 10. Què té de diferent aquesta peça perquè el seu perímetre sigui més petit? Hi ha formes ràpides d’esbrinar el perímetre? Per què tots els resultats són parells?

Un altre aspecte que podem estudiar de les peces és observar les seves simetries i girs. També podem recollir els resultats en una taula. En aquest exemple anotem un zero sinó té cap eix de simetria i la quantitat de graus que s’ha de girar, com a mínim, per veure la peça “igual”. Anotem 360º en el cas de que només queda invariant fent un gir complet. És interessant veure després la relació entre la quantitat d’eixos i els graus de gir, i si s’acompleix en tots els casos (podeu observar que si no hi ha cap eix de simetria el gir no és predible).

Tenint en compte els girs i les simetries també podem comptar de quantes formes es pot col·locar cada peça sobre un tauler quadriculat. Per exemple, la peça P es pot col·locar de 8 formes diferents.

És molt interessant buscar relacions aquesta taula de posicions amb la de simetries i girs. Hi ha alguna peça que sigui "diferent" a algunes correspondències que hi poden haver-hi?

Podem fer quadrats?

Una pregunta que ens podem fer és si podem fer quadrats completament plens, sense forats. Podem investigar mirant els nombres quadrats fins a 60 (ja que és l’àrea màxima que podem aconseguir amb tots els pentòminos, 5x12=60): 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49. D’aquesta sèrie l’únic quadrat possible és el de 25 (5x5). A partir d’aquí podem buscar solucions. N’hi ha 107 de diferents.

Entre els nombres quadrats anteriors hi ha casos interessants. Per exemple el 9. Si afegim una unitat obtindrem 10 que és múltiple de 5. Podrem fer quadrats de 3x3 amb una “punxa” d’un quadradet. Es tracta de jugar només amb dues peces i podem fer una cerca de solucions més o menys exhaustiva entre tota la classe.

També podem investigar quadrats amb un forat amb 3 peces (16=3x5+1, costat 4) o amb 5 peces (36=5x7+1, costat 6).

Si ens atrevim a jugar amb les 12 peces podem provar de fer quadrats de 8x8 amb 4 forats. Entre les moltes solucions que hi ha (i que hi hagi moltes no implica que siguin fàcils) són especialment interessant aquelles en les que els quatre quadrats queden distribuïts amb alguna simetria.

Rectangles amb les dotze peces

Una altra forma d’encarar el treball amb rectangles és plantejar quina mena de rectangles es podran fer amb totes les peces. Es tracta de buscar tots el rectangles d’àrea 60: un problema de divisibilitat:

Podem justificar amb relativa facilitat per què no es poden fer dos d’ells:

• • • 1x60 (hauríem d’utilitzat 12 peces d’una tira de 5 quadrats i només en tenim una)

    • 2x30 (no podríem utilitzar les peces d’amplada màxima 3)

Després podem demanar que facin, entre tota la classe, un rectangle de cada tipus.

Encabim les peces

Ens podem preguntar quina forma i quina àrea ha de tenir una superfície quadriculada que permeti col·locar a sobre qualsevol de les dotze peces sense que sobresurti. Una primera resposta pot ser un rectangle de 3x5 donat que la peça més llarga té 5 quadrets i l’altura màxima és de 3. Però podem investigar quins quadrets podem treure d’aquest rectangle per reduir aquesta àrea.

No és difícil trobar regions com la de l’exemple, amb una àrea d’11 quadrats.

Però el cert és que es pot reduir fins a 9. Hi ha només dues solucions que podeu trobar en aquest enllaç.

Fem cubs

Altres aportacions: