Embedded Files
Els Pattern Blocks (blocs de patrons) són un material didàctic desenvolupat als anys seixanta per l’Education Development Center. És un material molt indicat per treballar qüestions de geometria plana (mosaics, angles, classificació de polígons, àrees i perímetres, simetria, composició i descomposició de figures…) però que ens permet connectar-la amb altres tòpics del currículum com la descoberta i construcció de patrons (Canvi i relacions) o el càlcul de fraccions (numeració i càlcul).
Comercialitzat amb diferents noms, normalment es conserven, entre les diferents marques, formes, mides i colors. El material consta de diverses peces de sis formes:
Triangle equilàter (verd)
Rombe ample (Blau)
Rombe estret (Beige o Blanc)
Trapezi (vermell)
Hexàgon regular (Groc)
Quadrat (taronja)
Els costats de tots els polígons són de la mateixa mida (excepte un dels costats del trapezi que té una mesura de dues unitats) i tots els angles són múltiples de 30°.
En aquest article, i en altres que continuaran, us mostrarem algunes activitats possibles per a diferents etapes educatives. Les hem obtingut de diferents fonts però cal fer un reconeixement especial a una de les principals: els diferents treballs de Daniel Ruiz Aguilera que ha treballat amb profunditat aquest material i ha fet molt per la seva difusió.
Reconeixement per tacte (EI, EP, ESO)
Reconeixement per tacte (EI, EP, ESO)
Posem una peça de cada tipus dins una bosseta de roba opaca (per exemple, les que fan servir per dur l’esmorzar).
Els demanem:
Agafeu de la bossa, sense mirar, una peça que tingui… 6 costats, 4 costats...
Agafeu de la bossa el triangle, el quadrat...
Agafeu una peça que tingui molta punxa.
Cal animar als nens i nenes a fer les seves propostes.
En funció de l’edat dels alumnes podeu fer servir un vocabulari més acurat. Per començar, amb els més petits, no hi fa res si parlem de punxes, però més endavant ens referirem a angles (aguts, rectes, obtusos), al nombre de vèrtexs, a tenir costats paral·lels, parlarem de quadrilàters, de rombes, de trapezis….
La tria per tacte pot ser molt interessant perquè fa que els nens i nenes es fixin en les característiques que els demanem, i no acabin reconeixent les peces “pel color”, que potser és el que els crida més l’atenció. Serà diferent que associïn el trapezi als dos costats paral·lels o a tenir dues bases diferents, que si només l’associen a “la peça de color vermell”.
Hi ha jocs relacionats amb aquesta tria per tacte com la cursa que ens proposen al material fotocopiable d'Olga González-Granat publicat per Learning Resources.
Es tracta d’un joc per a dos jugadors. Les peces són dins una bossa o una caixa de manera que els nens no les puguin veure. Per torns cada nen ha de posar la mà dins la bossa i extreure’n la peça que toca posar a continuació a la cursa. Per tant fa un reconeixement visual de les característiques de la peça que després ha de traslladar a la selecció per tacte. Si l’encerta la posa, i si no l’encerta ha d’esperar al proper torn.
Podem variar el joc amb un sol tauler, fent-ne un joc cooperatiu. També els podem animar a que ells mateixos dissenyin taulers amb altres camins (calcant les peces originals damunt el paper).
Quines figures podem construir a partir d’altres? (EP, ESO)
Quines figures podem construir a partir d’altres? (EP, ESO)
Una de les primeres activitats que apareixen soles, quan el material arriba a l’aula, és la d’“omplir hexàgons”. Els podem demanar de quantes maneres diferents podem omplir l’hexàgon groc. D’entrada és possible que algun grup d’alumnes digui que podem fer-ho de tres maneres: omplir-ho amb dos trapezis vermells, amb tres rombes blaus o amb sis triangles verds. Algú afegirà que també podem omplir-lo “amb un hexàgon”.
Però sortiran preguntes (és molt important deixar espai a les preguntes i no donar massa pautes, d’entrada). Una de clau és la següent: “S’hi val fer servir peces diferents?” D’aquesta manera apareixen altres configuracions:
Un trapezi, un rombe i un triangle.
Un rombe i 4 triangles.
Dos rombes i dos triangles…
Una nova discussió possible és si s’accepten configuracions fetes amb les mateixes peces però col·locades de forma diferent.
"Aquestes dues són diferents?"
"A vosaltres què us sembla? Són diferents?"
"Sí, perquè una té rombe-triangle-rombe triangle i l’altra té dos rombes junts."
"Doncs provem d’escriure-ho: R-T-R-T i R-R-T-T"
A partir d’aquí podem fer noves preguntes.
"Quantes maneres ens han sortit?"
"De les que tenim… hi ha altres maneres diferents de posar-les?"
"Aquestes dues sí que són iguals, perquè si les gires… queden igual. I les de sota, també són iguals?
Aquesta volta de més no és senzilla: no sempre apareixen les dues figures, però està bé preveure que potser la discussió sortirà en algun grup.
Com fem per explicar als altres companys que aquestes dues peces són diferents? Potser codificant que, llegint en sentit horari, en un cas és trapezi-triangle-rombe, i en l'altre cas, trapezi-rombe-triangle.
La particularitat que tenen aquestes combinacions és que no són iguals, sinó que una és la simètrica de l'altra. I perquè només li passa a aquesta combinació? És la única combinació que no té un eix de simetria: No podem posar un mirall sobre la combinació del rombe, triangle i trapezi de manera que al mirall es vegi la part que queda a l'altre costat.
Connexió amb fraccions (EP i ESO)
Connexió amb fraccions (EP i ESO)
Si prenem l'hexàgon com a unitat podem observar que:
El trapezi és la meitat de l’hexàgon.
El rombe és ⅓ de l’hexàgon
El triangle és ⅙ de l’hexàgon.
A ESO es pot discutir per què les àrees del quadrat o del rombe estret no es poden posar en relació racional amb la de l'hexàgon. També podem estudiar la relació racional entre l'àrea del quadrat i la d'aquest rombe estret.
Podem fer servir el material per mostrar aspectes lligats a les fraccions equivalents o per fer operacions com la suma de fraccions de denominadors diferent lligant-les al material.
Quant mesuren els angles de les diferents peces. (EP i ESO)
Quant mesuren els angles de les diferents peces. (EP i ESO)
En aquesta proposta la idea és parlar d’angles sense fer servir “artilleria pesada”. No farem servir com a arguments cap idea que no puguem evidenciar de manera senzilla. Nosaltres, i molts dels nostres alumnes (fins i tot de primària) fem servir com a argument que la suma dels angles d’un triangle és de 180º. En aquest cas partirem de que l'angle recte mesura 90º i que l'angle complet és de 360º.
Podem començar preguntant als nens que saben. Un exemple de diàleg pot ser el següent:
(nens) "Doncs sabem... que el quadrat té angles rectes
(mestre) "Per què?"
"Perquè són rectes."
"Què vol dir "rectes"?"
"Que mesuen 90º"
"A veure… sabem per què diem que aquests angles rectes mesuren 90º?
"Perquè…. si n’ajuntem 4 fan 360º"
"I per què sumen 360? D’on surt aquest 360?"
I és que no són idees trivials. Les tenim tan interioritzades que les donem per fetes. I en canvi, tenen història.
El 360 per “mesurar” una volta complerta es fa servir des del temps dels babilonis. Una de les hipòtesis més estesa argumenta que van triar el 360 perquè s’acosta el nombre de dies que té un any, un cicle complet de la terra al voltant del sol. Hi ha altres historiadors que diuen que van triar el 60 com a base de numeració perquè el 60 és un nombre amb molts divisors, cosa que els facilitava els càlculs. Sigui com sigui des de fa més de 4000 anys dividim el cercle en 360º.
Fent servir només aquesta idea… podem mesurar quant mesuren tots els angles dels polígons del joc de mosaics.
Una primera idea és que podem fer confluir en un punt 4 quadrats, per tant hem de dividir els 360 entre 4… i per això l’angle recte és de 90º.
També podem fer coincidir en un punt 3 hexàgons. Per tant… 360/3= 120º els angles dels hexàgons. O 6 triangles equilàters, que fan que 360/6 = 60º, etc.
Us en posem alguns exemples que acostumen a sortir a l'aula (o que podem fer aparèixer):
Poden utilitzar figures amb angles coneguts per fer “restes”: Un angle pla fa 180º, si el triangle en fa 60º, l’angle obtús del rombe blau és de 120.
De vegades no els cal completar el cercle per calcular angles: un quadrat té angles de 90º, i els recobrim amb tres angles del rombe blanc, que, per tant, són de 30º.
El que acostuma a portar més problemes és l’angle obtús del rombe blanc. Una de les formes com l'obtenen és “sumant” un angle recte i l’angle de 60 del triangle o el rombe blau. O bé, amb dos rombes blancs i un angle de 60º.
També és molt enginyosa la resposta d’un alumne que els va posar en fila, i va dir que, un cop havien vist que l’agut és de 30º, l’obtús completava els 180º de l’angle pla. Per tant… era de 150º.
Com creixen les figures? (EP i ESO)
Com creixen les figures? (EP i ESO)
Partim d’un triangle.
Per fer un triangle, amb la mateixa forma, “una mica més gran”, quantes peces necessitarem?
I si encara el fem “una mica més gran”?
Segons l’edat dels alumnes podem demanar-los que facin triangles equilàters de costat “2 unitats”. I si volem afegir un plus de “ludificació” els podem demanar que recobreixin les naus espacials amb peces de pattern blocks per acabar suggerint que les omplin amb el màxim nombre de peces possible, de manera que acabaran fent servir els triangles.
I ara podem construir una taula de valors en la que escriguin, de cada triangle, quina és mida del costat (considerant com a unitat de mesura el costat del triangle petit), quin el perímetre i de quants triangles petits està feta.
A partir de la taula els demanarem que facin una hipòtesi sobre el nombre de peces que necessitarien per fer un triangle de costat 6 o 7.
"Si mirem la quantitat de peces que calen... quins són els nombres que obtenim? Els podeu reconèixer? "
En una altra sessió podem repetir l’experiència fent servir altres figures. Fins i tot els podem demanar que facin grups, i que es reparteixin les peces a “fer créixer”.
Ens podem demanar si es repeteix el patró.
Potser estem molt acostumats a veure “què passa” quan fem créixer un quadrat, però no deixa de cridar l’atenció el fet de que el creixement de les superfícies sempre sigui el de la raó de creixement del costat elevada al quadrat.
El cas del creixement de l’hexàgon mereix un comentari a banda: amb la resta de peces podem fer créixer la figura fent servir peces del seu mateix tipus. En canvi per fer un hexàgon regular de costat “2 unitats” haurem de fer servir triangles, rombes blaus o trapezis.
Què passa, doncs, quan omplim la taula?
Deixem que en parlin i que busquin diferents maneres de construir-lo, i que ells mateixos trobin la resposta: tres rombes fan un hexagon; per tant… acompleix la mateixa progressió. L’hexàgon de costat 2 està compost de 4 hexàgons. I el de costat 3, que el podem fer de moltes peces, està fet de 9 hexàgons.
Pattern blocks (applets)
Pattern blocks (applets)
Us enllacem un applet de The Math Learning Center que ens permet treballar els pattern blocs en línia. Nosaltres l'hem utilitzat per crear la majoria d'imatges que acompanyen l'article:
També us enllacem a un recull d'applets per treballar amb els materials manipulatius del Laboratori de Matemàtiques.
Report abuse