Quadrats

Si ens iniciem utilitzant el geoplà ortogonal, començarem amb les figures planes més senzilles. Per exemple, preguntant "Quants quadrats diferents podem fer?"

Ens trobarem que començaran a crear-los utilitzant els quadrats ortogonals. tal i com es veuen al geoplà taronja. Però mica en mica, hi haurà algú que descobrirà que si els girem també podem obtenir altres quadrats, tal i com veiem en els geoplans lila i blau.

El geoplà ens permet, de forma molt àgil, anar construint diferents figures movent les gomes elàstiques, però les construccions són efímeres i no ens permet tenir un registre del que anem descobrint. Una bona manera de registrar els nostres descobriments és dibuixar-los sobre una trama de punts en un paper.

Construir quadrats com els del geoplà blau no és senzill. És interessant que els alumnes que vagin descobrint trucs els puguin comentar als altres. Sortiran pistes relacionades amb el desplaçament (movem una cap a davant i tres cap al costat, i anem girant) o altres que es fixaran en la inclinació (pendent) dels costats. 

Amb alumnes més grans podem anar més enllà posant coordenades al geoplà (o al paper amb trama de punts) i fer-los descobrir la relació que hi ha entre les coordenades dels 4 vèrtex d'un quadrat si tenim les coordenades de dos costats adjacents. Hem tret aquesta proposta de la web de NRICH. També en aquest web trobem un interessant joc per a dos jugadors (Seeing Squares for Two) en el què guanya el primer que formi un quadrat sobre un tauler de 5x5 punts. Tenen una versió interactiva.

Càlcul d'àrees

També podem treballar el càlcul d'àrees. Per exemple comptant quadrets. Es pot fer tant amb figures més senzilles com amb altres més complexes, calculant-ne fraccions de rectangles o àrees de triangles.

Serà senzill veure que l'àrea d'un triangle és la meitat del rectangle que el conté quan parlem de triangles rectangles.

També ho descobriran si el triangle té la base assentada sobre una línia horitzontal o vertical del geoplà. En el cas del triangle vermell podem fer un rectangle de 3x2, i veure que la part que queda fora del triangle és la mateixa del que queda a dins. 

Què podem fer per calcular l'àrea quan el triangle no segueix cap línia del geoplà? 

 Si els deixem investigar sortiran maneres ben diferents de justificar-ho. Alguns casos són especialment difícils. En aquest cas, de vegades cal donar un cop de ma i suggerir-los que facin un rectangle que inclogui tot el triangle, i procedir a restar del total del rectangle els  tres triangles exteriors, que són triangles rectangles. 

DPer acabar l'apartat del càlcul d'àrees, et proposem un problema aparentment senzill:

Sabries trobar un triangle en el geoplà de base 5 i àrea menor que 2? Com es pot fer?

Deixem la resposta al peu de la pàgina perquè la puguis pensar amb un geoplà davant abans de mirar la solució.

Nombres irracionals

A partir dels triangles rectangles, podem treballar el càlcul de la hipotenusa, a partir del teorema de Pitàgores. D'aquesta manera obtenim nombres irracionals representats geomètricament. Podem veure arrel de 2! 

Només ens cal fer un triangle rectangle de catets 1 i 1. Llavors pel Teorema de Pitàgores, podem obtenir que la hipotenusa és l'arrel de la suma dels quadrats dels catets. Per tant, és l'arrel de 1²+1²=2. I la podem representar geomètricament!

I fins i tot, podem saber quan és la suma de dues vegades arrel de 2, justament és arrel de 8. I també 3 vegades arrel de 2, que l'obtenim a partir de l'arrel de 18 perquè 3²+3²=18. Això ens ensenya a racionalitzar tant l'arrel de 8 com l'arrel de 18.

Podem demanar que representin els radicals dels primers nombres naturals i buscar quins són construïbles amb el geoplà. Podem representar les arrels de tots els nombres naturals fins al més gran que hi càpiga al geoplà?

Considerem el més gran el 32, que es faria a partir de la diagonal. Aquí en teniu uns quants de representats.

Teorema de Pick

Per calcular l'àrea de figures més complicades, podem triangular la figura i anar calculant les sumes de cada triangle. Només ens cal, anar subdividint la figura de en més de petites de manera que poguem calcular les seves àrees i amb la suma, podem obtenir l'àrea total.

Un altre mètode és utilitzar una fórmula molt curiosa, el Teorema de Pick pel càlcul d'àrees de polígons en un geoplà.

Si considerem que Nc com el número de punts del contorn de la nostra figura i Ni el número de punts interiors. Llavors es compleix la següent relació:

Pots veure l'estudi del Teorema de Pick molt més a fons en aquest article del PuntMat, i si vols veure un enunciat i una demostració del teorema la pots trobar a la Wikipedia.

Una altra opció interessant és fer que descobreixin aquesta relació per sí mateixos. Podem donar instruccions a diferents grups de treball. A un grup li direm que construeixin polígons sense punts interiors, a un altres polígons amb un sol punt interior, a un altre amb dos punts interiors, etc. i que en una taula anotin els punts del contorn, els interiors i l'àrea i que busquin la relació oculta. Després podem posar en comú les diferents dades i fórmules trobades per fer la generalització.

Geoplà circular

Si agafem 8 punts i els marquem d'alguna manera, per exemple, hi posem unes gomes marcant 8 punts separats equitativament. Quins punts han de ser? Aprofitem per parlar de divisors i múltiples. De quantes maneres diferents podem subdividir de forma equitativa la circumferència amb els punts que tenim?

Quants triangles rectangles podem construir amb vuit punts? Quina característica comuna tenen?

Perquè els triangles siguin rectangles, cal que un dels costats passi pel centre? Ha de ser la hipotenusa? I si no passa cap costat pel centre, puc aconseguir un triangle rectangle?

I quants quadrilàters diferents podem fer? Es pot sistematitzar la construcció? Com els podem construir? Quants de diferents tenim? podem ordenar-los per àrees? I si en comptes de 8 punts, n'agafem 6?  Podem trobar propostes d'aquest estil ben analitzades al web del PuntMat : Geoplans i pensament exhaustiu.

Geoplà isomètric

Els geoplans escolars habituals tenen l'ortogonal, per un costat, i el circular, per l'altre. Si no disposem de geoplants isomètrics podem treballar amb fulls amb trama isomètrica o amb geoplans virtuals. Teniu un recull d'activitats a l'article de la campanya sobre geometria: Geoplà i trama isomètrica. I també tenim una activitat a a l'ARC: Poliamants.

Solució del triangle de base 5 i àrea menor que 2

Aquí us deixem la solució de com construir un triangle en el geoplà de base 5 i àrea 1/2. Per poder construir la base 5, fem servir la terna pitagòrica 3, 4 i 5. Construïm el triangle rectangle de catets 3 i 4, i obtenim una hipotenusa de 5. D'aquesta manera podem obtenir un triangle amb una altura molt petita.

Per veure quin és el valor d'aquesta àrea, ho podem fer calculant l'àrea de tot el rectangle 4x3=12 i restar-li les àrees dels triangles i del rectangle que hem pintat a sobre de la foto del geoplà.

Àrea del triangle verd: 3x4/2=6      Àrea del triangle vermell: 3x2/2=3 

Àrea del triangle groc: 1x1/2=1/2   Àrea del rectangle blau: 2x1=2

Per tant, àrea del triangle amb base 5, és 12-6-3-2-1/2=1/2

Finalment, us enllacem a un recull d'applets per treballar amb els materials manipulatius del Laboratori de Matemàtiques.