GeoPals
Fa uns anys vam conèixer un material que ens permetia experimentar amb varetes i fer propostes de les que haviem fet temps enrera amb peces de MECANO: L'hem trobat comercialitzat amb diferents noms: AngLegs, ExploraGons, GeoStix... Nosaltres en direm GeoPals. No en coneixem l'orígen, ni l'autor però fos qui fos, va tenir una molt bona pensada: quan més experimentem més idees sorgeixen. Ens voleu fer arribar les vostres propostes?
Com són els GeoPals?
Són bastonets de diferents colors i mides, amb pius i forats als extrems de manera que podem encadenar un pal amb un altre per construir polígons.
Tot i que les mides que venen totes les marques comercials són les mateixes, trobem algunes diferències que volem destacar:
Els geoPals d'algunes marques tenen connexions intermèdies. Val la pena tenir-ho en compte perquè ens permet fer moltes més activitats
Algunes marques incorporen una mida auxiliar: La meitat de la barra taronja
El codi de colors varia d'unes marques a altres.
A les activitats de la campanya treballem amb els de la marca GeoStix i mantenim el codi de colors que veieu a la imatge de la dreta.
Construïm triangles
Pren GeoPals de tres colors consecutius. Per exemple, taronja, lila i verd. O verd, groc i blau.
Quant triangles diferents podem construir?
Segurament començarem construïnt triangles de manera desordenada. Podem posar en comú les construccions dels diferents alumnes i animar-los a comparar i classificar els triangles que han fet. Ens preguntem, amb tres GeoPals de diferents mides, quants triangles diferents podem construir?
Veuran que si no els podem "aixecar de la taula", és a dir, del pla, tenim dos triangles. Però si li donem la volta, si el voltegem, és el mateix. Aquesta característica tornarà a aparèixer quan construïm romboides. Són figures congruents, tot i que si les tenim a la pantalla de l'ordinador i girem sense sortir del pla, no podem sobreposar-ne una damunt l'altra.
Si conduïm l'activitat de construcció de triangles amb GeoPals de 3 mides amb preguntes (segur que els tens tots? Com pots saber que no te n'has deixat cap?) Apareixeran diferents maneres d'ordenar-los i classificar-los.
Tipus de triangles
Com podem classificar els triangles que estem construint?
El material que triem moltes vegades ens porta a un tipus de classificació o un altre. En aquest cas, al tenir bastonets de diferents colors i mides, veurem que podem construir:
Triangles equilàters. Aquells que tenen tots els costats "del mateix color" i, per tant, de la mateixa mida. Potser serà convenient incidir en que el que és rellevant és la mida.
Triangles isòsceles. Aquells que tenen 2 costats d'una mida, i el tercer d'una altra mida. Podem parlar amb els nostres alumnes sobre el fet que "els triangles equilàters" són semblants entre sí. I tenim la sort de que la idea de "semblança" en matemàtiques ens dona una idea molt aproximada de la idea de semblança en el llenguatge quotidià. A diferència d'altres paraules, com "diagonal", de la que parlarem més endavant.
Triangles escalens. Amb 3 segments diferents podem construir un únic triangle. Si treballem el pla, aquest triangle té dues orientacions diferents.
Sempre podem construir un triangle?
Hem començat treballant amb 3 GeoPals de mides consecutives. Però què passa si construïm tots els triangles possibles amb, per exemple, el GeoPals de color vermell, lila i taronja.
Podem construir triangles equilàters, alguns isòsceles, però no podem construir cap triangle si fem servir un GeoPal vermell i dos taronges, ni tampoc un de vermell, un lila i un taronja. Què passa? En quins casos no podem construir triangles? Segur que apareixen aquells en els que dos costats queden superposats al tercer: Dos costats de color lila i un de vermel, o dos costats de color taronja i el groc. Segons l'edat dels alumnes ens quedarem en que "de vegades no arriba" i si els alumnes són més grans potser s'animen a escriure un enunciat com aquest:
Per poder construir un triangle cal que en tots els casos la suma de dos dels costats sigui més gran que el tercer costat.
Aquest fet es coneix en matemàtiques amb el nom de "La desigualtat triangular".
Aquí un petit vídeo de GGB amb traça activada i veure que no podem construir (o si) triangles).
Triangles i altres polígons
Segurament mentre els nois i noies experimenten lliurement amb el material han construït altres polígons: quadrilàters, hexàgons, pentàgons... però gairebé de manera instintiva hauran fet servir altres GeoPals auxiliars per fixar la figura. Curiós, no?
Si som a prop mentre fan la construcció els podem preguntar perquè ho fan així, i ens diran que es mouen. I els triangles, perquè no es mouen? s.
Amb tres segments podem construir un únic triangle. En canvi amb 4 segments podem construir molts quadrilàters. I amb 5 segments podem construir pentàgons còncaus però també convexos. Un altre tema per investigar.
Quadrilàters
Si volem construir un quadrat agafarem, sense cap dubte, 4 GeoPals d'un mateix color. Però sense cap esforç apareixen tota una família de quadrilàters que tenen en comú tenir els 4 costats iguals. D'aquests quadrilàters en direm rombes.
Podem moure'l i veiem que els angles oposats tenen la mateixa mida. i que mentre un parell d'angles són aguts, l'altre parell són angles obtusos.
Si afegim l'eina del transportador podem omplir una taula amb les mides dels angles a diferents rombes, i veurem que la suma sempre és constant, 180º. En el cas del quadrat els angles segueixen sumant 180º: són 2 angles rectes.
Si tenim 2 GeoPals de 2 colors diferents podem construir 3 tipus de quadrilàters interessants:
Els paral·lelograms (amb el cas concret del rectangle quan els angles són rectes), els estels i les puntes de fletxa o boomerangs.
Pot ser interessant dibuixar-los i analitzar què passa amb les seves diagonals. Es creuen o es tallen? Són perpendiculars?
Podem continuar construint altres polígons i pot ser interessant adonar-nos que el fet de tenir els costats iguals no determina que un pentàgon o un hexàgon esdevinguin regulars. Necessitem també que els angles siguin iguals.
I per aconseguir fixar els angles necessitem GeoPals auxiliars que fixin l'angle, construint triangles dins aquests polígons.
També podem adonar-nos que a partir de 4 GeoPals podem canviar l'ordre i obtenir així quadrilàters diferents.
Construim rectangles fixant els angles.
Una investigació senzilla que podem proposar als nostre alumnes és la de construir tots els rectangles possibles de manera que trobem també un GeoPal que ens faci de diagonal d'aquest rectangles, fixant l'angle recte.
Obtindrem tots aquests:
Una bona manera de comprovar que efectivament els quadrilàters són rectangles serà que la diagonal encaixi de manera exacta en les dues direccions possibles.
Cada cosa pel seu nom
Els GeoPals, al igual que altres materials manipulables que fem servir a l'aula, ens permeten donar sentit al vocabulari propi de l'àrea.
Podem construir triangles de diferents tipus: Segons els seus costats seran equilàters (equi-later, costats iguals), isòsceles (isos-keles, cames iguals) i escalens (de Skale, que ve de desigual i de tallar).
També podem parlar de rombes si els quatre costats són iguals i de paral.lelograms o romboides si els costats oposats són iguals.
Altres polígons: Si construim polígons de 5 costats en direm pentàgons... i en el cas que costats i angles siguin iguals, pentàgons regulars. I el mateix amb els hexàgons, heptàgons, etc.
Podem fixar-nos també en els angles, que poden ser rectes, obtusos o aguts. I el fet de que el material sigui articulat ens permet passar d'uns a altres.
Si tenim dues rectes que es tallen, els angles oposats pel vèrtex són iguals.
Els angles complementaris sumen 180º
A un paral·lelogram els angles consecutius són complementaris
De quina mida són els GeoPals
Ja hem comentat al principi que, tot i haver diferents empreses que distribueixen els GeoPals i que hi ha algunes diferències en el material, les mides són les mateixes.
Però quines són aquestes mides?
El mateix material porta impresos uns nombres: la mida en centímetres del total i de les particions.
Però d'entrada aquestes mides tampoc semblen donar-nos gaire informació.
En canvi, si ens posem a manipular i a investigar demanera sistemàtica, fent construccions amb els GeoPals de les dues primeres mides, veiem que la peça de color lila és la diagonal del quadrat de color taronja.
De la diagonal d'un quadrat podem dir que és el costat del quadrat que té el doble de l'àrea.
Si són alumnes de secundària aquesta activitat ens pot servir per introduir el concepte de "arrel quadrada" d'un nombre, com el valor del costat del quadrat que té aquest nombre per àrea.
Pot ser que la resta de GeoPals també tinguin la mida de la diagonal dels rectangles?
Us remetem a la proposta anterior de fer una cerca exhaustiva de tots els rectangles que puguem fer amb els Geopals de manera que també tinguem les seves diagonals. I podem trobar valors de nombres fent servir el teorema de Pitàgores.
Pot ser que la resta de GeoPals també tinguin la mida de la diagonal dels rectangles?
Us remetem a la proposta anterior de fer una cerca exhaustiva de tots els rectangles que puguem fer amb els Geopals de manera que també tinguem les seves diagonals. I podem trobar valors de nombres fent servir el teorema de Pitàgores.
Si un dels costats del triangle rectangle és de color taronja, de mida 1, trobem 4 diagonals. Aplicant el teorema de pitàgores veiem que les mides que ens falten són l'arrel quadrada de 5 i de 7.
Si passem als que tenen a un costat el Geopal de color lila, de mida arrel quadrada de dos, trobem 3 costats més.
I per acabar, en podem trobar dos que tenen com a catet un GeoPal de costat verd, i un amb un catet de color groc.
A la taula podeu trobar totes les combinacions possibles, de rectangles, i en el cas que existeixi el GeoPal de la diagonal el veureu pintat en color dins la quadrícula.
Els DIN-A i l'arrel de 2
Si agafeu un full de paper DIN-A 4 i en retalleu un quadrat el més gran possible, odtindreu dos segments que estan en raó arrel de 2: El costat del quadrat i la seva diagonal.
Ara agafeu un altre full de la mateixa mida i porteu la diagonal al costat llarg del full. Coincideix! I és que els fulls tallats en rectangles DIN-A tenen la proporció arrel de dos.
Això fa que sigui un rectangle particular: La proporció "arrel de dos" entre els costats es manté també quan partim el full per la meitat, i quan el tornem a partir per la meitat, si anem alternant el plec pel costat curs i llarg.
Si tallem un DinA-4 per la meitat obtenim nous rectangles de la família DinA.
La mida dels Geopals encaixa forca bé al quart, vuitè i setzè de DinA4.
Podem comprovar si tots els rectangles són de la mateixa família, si són semblants, veient que els vèrtex oposats de tots ells passen per la mateixa diagonal.
Aquí veiem que el costat llarg del full coincideix amb la diagonal del quadrat del costat llarg.
Phi? o el nombre d' "or fals"?
Tot i que el material amb el que estem treballant és força precís, ens podem trobar amb alguna construcció que ens porti a confusió.
Si prenem com a unitat el GeoPal taronja, podem donar als altres aquests valors:
Però una construcció que apareix de forma espontània amb aquest material és aquesta:
La relació entre el costat del pentàgon regular i la seva diagonal és el nombre Phi. però Phi és un irracional que no té cap relació amb els nombres que hem estat descobrint fins ara.
On està l'error?
Si només posem una diagonal no l'apreciem, però al posar-les totes veiem que la figura queda tensada i les diagonals queden abombades, cosa que ens diu que la mida del vermell és una mica més gran que phi.
Seguim investigant? Segons la imatge, què podem dir de la relació entre el GeoPal blau i el lila?
La mesura i l'error amb GeoPals
I si els nombres irracionals fossin racionals? Què voldria dir? Doncs que podriem escriure'ls com a relació exacta entre dos enters.
En el cas dels GeoPals prenem com a nombres enters els de color taronja, groc i marró i els denominem 1, 2 i 3 respectivament.
Si només tenim pals de color groc i taronja podem comparar-los entre ells i veurem que per 2 GeoPals de color marró podem posar 3 GeoPals grocs.
Aixó vol dir que el GeoPal groc medeix 2/3 del marró.
Intentem mesurar altres GeoPals en funció de la nostra unitat, el GeoPal taronja:
Com era d'esperar, no coincideixen en cap moment, però si que podem observar que en determinats moments els caps dels pals s'acosten. Per exemple:
7 GeoPals de color Taronja coincideixen amb 5 GeoPals de color lila. Com que es passen una mica, podem afirmar que
GeoPal lila > 7/5
Si ho passem a nombres decimals podem veure que realment, el GeoPal lila és major que 7/5, és a dir, 1.4, perquè el seu valor real és arrel quadrada de 2, és a dir 1.4142
La mida del GeoPal blau s'acosta als de color taronja en dos moments. 5
Efectivament:
En fraccions: GeoPal blau < 5/2
En nombres decimals: GeoPal Blau < 2.5
Mida real: GeoPal blau = v6 = 2.44949
En el cas del GeoPal verd observem que podem fer una aproximació per excès i una per defecte:
9/5 < GeoPal verd < 5/3
1.66 < Verd < 1.8
GeoPal verd = Arrel quadrada de 3 = 1.73205
I per acabar ens faltaria buscar una aproximació del vermell, que s'aproxima als taronges en una relació 11 taronja / 4 vermell. Per tant podem dir que el vermel és major que 11/4
Vermell > 11/4
Vermell > 2,75
Vermell = v8 = 2,82842
T'animes amb els sistemes d'equacions?
Tots els rectangles possibles...
Podem proposar activitats diverses.
Buscar rectangles que tinguin la mateixa àrea
Buscar rectangles que siguin el doble dels altres, o el triple... i apareixen noves preguntes: Què passa amb el perímetre? Són semblants?
La funció Arrel quadrada de x
Teorema de Pitàgores... i no-Pitàgores.
En un triangle rectangle, la suma dels quadrats construïts sobre els catets té la mateixa àrea que el quadrat construït sobre la hipotenusa.
Per contra, si el triangle sobre el que construïm els quadrat és obtusangle o acutangle, la suma dels dos quadrats és menor o major que el construït sobre l'altre costat.
Altres investigacions
Amb el material podem fer construccions en les que es pot veure
Mecanisme articulat per trobar el baricentre. (Vist a Twitter com a construcció amb impressora 3D)
Construeix una estructura com la de la imatge. Situa els extrems lliure als vèrtex d'un triangle qualsevol. Comprova que el punt taronja-groc es situa damunt el centre de masses del triangle, el baricentre.
Pots explicar per què passa?
Un repte que vam veure a l'expooisció de l'IREM a França:
Construeix una graella de 3x3 quadrats. Quantes varilles necessites com a mínim per fixar una graella com la taronja?
