Daus - Probabilitat

Els daus han esdevingut, amb el temps, un dels símbols de l'atzar. També estan en l'origen dels primeres escrits sobre probabilitat. Són, doncs, un material bàsic per treballar-la a l'aula: per plantejar situacions i per experimentar. L'experimentació té, però, unes limitacions de les que hem de ser conscients: perquè els resultats obtinguts s'acostin als previstos teòricament s'han de realitzar milers i milers d'experiments. Tanmateix aquest és un aspecte del que hem de fer conscient a l'alumnat. Els hem de fer veure que l'experimentació ens dona una fotografia del que pot passar, però que tenim això només, una fotografia que es pot acostar més o menys a la teoria. Una possible manera de treballar-ho, i que pots servir per a la majoria de les activitats que proposarem, és que per petits grups (prioritàriament parelles) realitzin una determinada quantitat d'experiments i facin les primeres valoracions per, després, reunir els resultats de tot el grup per veure com canvia el "retrat" que tenim. Encara millor si, en una tercera fase, guardem resultats d'anys anterior per afegir els nous i veure com es modifica una altra vegada. Una altra opció es complementar les activitats amb simuladors informàtics (o crear-los) que permetin realitzar aquests milers d'experiments.

Treure un cinc amb el dau

Quan juguem al parxís necessitem un cinc per "treure fitxa". Podem tenir la sensació de que, en el "pitjor dels casos", necessitarem sis tirades per treure'l. Però els daus no tenen memòria i no saben que ha sortit abans. Per tant, de vegades traurem un cinc ràpidament i d'altres farem tirades molt llargues abans d'obtenir-lo. A la llarga, però, la mitjana sí que serà de sis tirades. Per tant una de les primeres activitats que podem fer, ja amb els més petits, és comptar repetides vegades la quantitat de tirades que triguen en treure un cinc (20 vegades, per exemple), recollir resultats i treballar-los després fent gràfiques, mitjanes, etc.

Si el necessiteu en aquest enllaç teniu un parell de simuladors fets amb flash, però no és difícil fabricar-se un amb scratch o snap.

Treure parell o senar o...

Una activitat relativament senzilla per a fer pensar en la relació entre casos favorables i cassos possibles és demanar que diguin quina és la probabilitat de situacions diferents:

Podem gestionar l'activitat de diferents maneres. Però el que hem de fer sempre és demanar que facin una conjectura i que, després de l'experimentació, la revisin si cal. També haurem de demanar que argumentin aquestes conjectures.

Una opció lleugerament diferent és demanar que comparin dues situacions: "Què és més fàcil, treure un sis o un dos?" (amb aquesta pregunta podrem copsar creences que puguin tenir o poden sorgir discussions sobre l'equilibri dels daus segons la seva construcció), "Qué serà més probable, treure un 5 o un 6 o treure un nombre més petit que 4?".

Si disposem de daus amb més de sis cares la quantitat de preguntes a fer pot ser més diversa.

Cursa de camells

Un bon joc per introduir conceptes bàsics de probabilitat a primària i a secundària és la cursa de camells: Llancem dos daus, sumem el resultat i avança el camell que porta per dorsal aquell nombre. Per quin camell apostes? 

Amb els més petits, a partir de cicle mig de primària, ens servirà per introduir conceptes com possible, impossible, poc o molt probable... i a fer petites investigacions de les possibilitats que té cada camell d'avançar. 

A partir de cicle superior, i als primers cursos de primària, podrem introduir diferents sistemes de registre ordenat de totes les possibilitats. 






Pel seu compte el que sol passar és que parteixen dels nombres i busquen totes les possibilitats que tenen d'obtenir un resultat concret. 

Per exemple, per que surti el sis, podem tenir 3+3, 2+4.... Per això els haurem d'animar a buscar els resultats de manera ordenada: 

Què tal si comencem pel més petit? 1+5, 2+4, 3+3.... 

I surt una nova conversa: 4+2 és el mateix que 2+4?  i podem parlar del primer dau i el segon dau, o el dau vermell i el dau blau....

O mostrar-los altres mètodes de registre, com els diagrames d'arbre o les taules de doble entrada. 



Amb l'alumnat dels darrers cursos de secundària podem treballar sobre paper, registrar partides per parelles d'alumnes i compartir els resultats entre tots. Amb un grup de 25 alumnes i una cursa de 20 caselles de llargada de seguida obtindrem més de 100 tirades de daus. Així podem treballar amb nombres grans i veure de quina manera s'acosta el resultat experimental amb el resultat obtingut fent el càlcul de probabilitats, a partir del quocient entre casos favorables i casos possibles. 

El grup MATGI de Girona va elaborar material de treball i el podeu trobar a través del seu web. 

Un cop els nois i noies han jugat i analitzat la cursa de camells us animem a fer servir una segona activitat, la "Cursa de cavalls" com a actvivitat d'avaluació. Ara avança el cavall que porta per dorsal el resultat de la diferència entre els dos daus. 

Quins cavalls poden participar a la cursa? Quins tindran més possibilitats de guanyar?

I què tal si us animeu a programar el joc amb snap?  


Passar de 12

Un problema interessant pot ser el següent. Imaginem que tirem un dau successives vegades, anem sumant els resultats, i juguem a aturar-nos quan passem de 12. Imaginem, per exemple que tirem el dau i obtenim, per ordre, un 4, un 2 (portem 6) i un altre 6. Hem arribat a 12, però com que he de passar, encara haurem de llençar el dau una quarta vegada. Obtenim un 4 i ens hem aturat en 16.

La pregunta a fer és que pensin en quin nombre final és més probable que acabin. Podem fer preguntes intermèdies de l'estil "podrem acabar en 19?", perquè valorin que el resultat més gran possible és 18. Normalment la majoria de conjectures van entre el 14 i el 16. Després experimentarem i recollirem dades. També ho podem fer amb un simulador com els que trobarem al web del Calaix +ie en aquest enllaç. 

Abans de seguir llegint, ja has fet la teva pròpia conjectura? Quin creus que és el més probable? 

La realitat és que el nombre més probable és el 13 i, a partir d'aquest nombre, la probabilitat va baixant. Es pot deduir observant que a 13 arribem des de més resultats anteriors (7, 8, 9, 10, 11 i 12). A 15, per exemple,  només arribarem des de 9, 10, 11 i 12. El quadre de probabilitats és el següent:

Caminem pel tauler

Aquesta activitat, amb diferents variants, la trobareu àmpliament comentada al Blog del PuntMat (Materials per treballar la probabilitat: daus). El joc bàsic és el següent: disposem d'un tauler com el de la imatge i posarem una fitxa a la casella de sortida. Si amb un dau traiem un 1, un 2 o un 3 mourem una fitxa de la casella de sortida avançant una casella a la dreta i una amunt. Si traiem 4, 5 o 6 avançarem una casella a la dreta i en baixarem una altra. I ho farem una segona vegada. Hauran de fer conjectures i experimentació sobre quina serà la casella d'arribada (F, G, H, I, J).

Després podem variar el joc: pujar només amb l'1 i el 2 i baixar amb els altres. Al Blog del PuntMat en trobareu més idees.

El joc del rugbi

Tenim un tauler com el de l'esquema, una fitxa i un dau. Es va tirant el dau. Un dels jugadors mou la fitxa cap a l'esquerra només quant surt un 1, un 2, un 3 o un 4, i tantes caselles com el resultat que s'obté. L'altra mou cap a la dreta de la mateixa manera, però només si treu un 5 o un 6. Guanya el primer que arriba a la casella d'assaig. És un joc equiprobable, o no?

En l'anàlisi d'aquest joc entra un concepte nou: el de l'esperança matemàtica, ja que no només hi compta el fet de treure un nombre sinó el "premi" que s'obté: la quantitat de caselles que es desplaça. Trobareu un anàlisi i un simulador del joc (en flash) al web del Calaix +ie.

Epidèmia

El dau ens pot servir per simular models en els que hi ha un component d'atzar. Per exemple la propagació d'una epidèmia. Una simulació senzilla és la següent.

Tenim un caseller de 10X10 en el que cada casella és un individu. Marquem una casella com a primera cèl·lula infectada. Després determinem un cert grau de contagi. Per exemple, que la probabilitat d'encomanar la malaltia és d'1/3. A continuació marquem quantes caselles veïnes hi ha. Podem comptar les que es toquen per un costat i les que es toquen per un vèrtex. O només per un costat perquè el "contacte" és més gran. A l'exemple triem compartir costats i vèrtexs.

Donat que hem triat 1/3 de probabilitat tirarem el dau una vegada per cada casella i farem que la casella s'infecti si s'obté un 1 o un 2 al dau. La que estava infectada queda immunitzada i tampoc contagia més. Així tenim un segon estadi de l'epidèmia.

Ens podem trobar amb cel·les que toquen més d'una casella (per costat o vèrtexs). Si un, per exemple, toca altres tres haurem de tirar els daus, com a molt, tres vegades. Per exemple, si a la segona tirada s'infecta, ja no farem la tercera tirada.

Podem continuar així fins al final de l'epidèmia i fer estadística d'afectats, immunitzats, etc. També podem observar, en fases intermèdies com hi ha individus ja envoltats només per caselles immunitzades que no emmalaltiran.

Pots veure una simulació amb snap en el següent enllaç en el que has d'escollir els percentatges de contagi, d'immunitat i també de mortalitat.

Cursa d'obstacles

Aquesta activitat apareix a un dels recull de materials sobre probabilitat més clàssics: La caixa de Varga.

Bàsicament es tracta d'un joc per a dos jugadors, que han d'arribar primers a la casella final, triant a cada jugada entre dues caselles. 

Les caselles es cobreixen amb cartes, i mostren en cada cas el material que s'ha de fer servir (en el nostre cas, un o dos daus sobre fons blau) i el que s'ha d'aconseguir (a la part inferior de la carta, sobre fons blanc). 

Per exemple, a la carta 1 s'ha de tirar un dau i avancem si traiem un cinc. A la carta 6 s'han de tirar dos daus i avancem si la suma és més gran que set. 

Les cartes es posen per ordre damunt el tauler, de manera que s'ha de triar entre la carta 1 i 2, 3 i 4, etc. 

Com sempre recomanem que el docent intervingui en la conversa i interpel·li els alumnes, demanat-los que expliquin la seva tria. Aixó els ajuda a millorar l'expressió matemàtica i ajuda els companys a aprendre de les estratègies dels altres. 

HI ha targetes de 8 colors diferents, amb propostes d'extracció de boles blanques i negres d'una bossa, cara i creu de monedes i altres. També en podriem crear amb cartes d'una baralla (treure una figura, treure una carta menor que 7...) Us animem també a que inventeu les vostres cartes. 

Amb alumnes dels darrers cursos de secundària hem fet l'anàlisi del joc, determinant quina era la probabilitat d'avançar amb cadascuna de les cartes. 

En trobareu més referències al  Puntmat i a l'espai Jordi Esteve

Material imprimible (copia i traducció del material original)

Versions on-line del joc en flash  i al calaix +ie


Finalment, us enllacem a un recull d'applets per treballar amb els materials manipulatius del Laboratori de Matemàtiques.