En la nostra primera proposta quinzenal us volem fer una invitació a participar en dos dels concursos que es fan a Catalunya que tenen com a objectiu propiciar la investigació matemàtica i la resolució de problemes a les nostres aules: el Fem matemàtiques (per a 6è de primària, 1r i 2n d’ESO) i el +Mates (per a 5è de primària, 3r i 4t d’ESO i batxillerat). I la forma de convidar-vos és presentar-vos alguns dels problemes que s’han anat proposant per si els voleu treballar. Per als cursos que no “entren en concurs” hem adaptat algunes de les propostes.

Problema per Educació Infantil i Cicle Inicial de Primària (problema amb adaptació)

• Tallant l’hexàgon (Fem matemàtiques 2000 - 6è de primària)

El problema original diu:

“Dibuixeu un hexàgon regular i traceu-ne totes les diagonals. A partir d'aquesta construcció aconseguiu un trencaclosques de l'hexàgon que tingui totes les seves peces iguals. Investigueu totes les possibilitats de fer trencaclosques que acompleixin aquestes condicions.”

Proposta d'adaptació per a Educació Infantil i CI de primària

Podem donar les peces retallables a partir dels exemples. L’hexàgon sencer fa de peça model.

Propostes a investigar:

• Donats els 2 trapezis reconstruir l’hexàgon.
• Donats els 3 rombes reconstruir l’hexàgon
• Donats els 6 triangles reconstruir l’hexàgon
• Fer inventar formes amb els sis triangles i proposar-les als altres com trencaclosques. Triar algunes de les formes inventades amb un joc de peces i intentar mirar si es poden fer amb les altres. Per exemple, podem fer aquesta forma amb els sis triangles? I amb els tres rombes? Si no és així, per què?

• A 1r o 2n de primària podem plantejar investigar quines figures es poden fer amb dues peces iguals i amb dues de diferents. Després ho podem estendre a tres, quatre, etc.

Problema per al Cicle Mitjà de primària (problema amb adaptació)

• Piràmides numèriques (+mates 2013. 5è de primària)

El problema original diu:

"En la següent imatge pots veure dues piràmides numèriques.

A la base de la piràmide petita hi ha el 4, el 5 i el i 7. Si sumem el 4 i el 5, obtenim el 9. Per la qual cosa el 9 es col·loca entre el 4 i el 5, en el pis superior. I així successivament. Utilitza els números que hi ha en el quadre de sota, ordenats de manera convenient, per construir una piràmide que tingui en el seu cim, el número 200.

1 3 4 8 9 12

Proposta d'adaptació

Us proposem adaptar el problema proposant la quantitat de nombres que penseu adequat als vostres alumnes (3, 4 o 5). També podeu començar investigant amb els nombres dels exemples proposats: veure si el resultat canvia o no si modifiquem l’ordre, o trobar les solucions màxima i mínima

Problema per al Cicle Superior de primària

• El cub mes gran ( Fem matemàtiques 2007)

La Maria té un full de paper quadrat de 15 cm de costat. Amb ell vol fer un cub el més gran possible, retallant sobre el full un desenvolupament del cub. Quin cub serà el més gran que podrà formar? No cal que el desenvolupament estigui format per 6 quadrats, però si que cal que sigui tot “d’una peça”.

Problema per a CS de primària i 1r d’ESO d’ESO

• Tetròminos i pentòminos ( Fem matemàtiques 2003)

Amb dos quadrats iguals es pot formar una fitxa de dòmino, que per abreujar anomenarem "dòmino". Amb tres quadrats iguals podem formar dues fitxes que anomenarem "tríominos"

Amb quatre quadrats iguals quants "tetròminos" es poden formar? I amb 5 quadrats, quants "pentòminos"? Un cop tinguis tots els pentòminos possibles pots fer el següent trencaclosques: tria un dels "pentòminos" i ara intenta construir-ne un d’igual forma però amb les mides dels costats doblades, utilitzant quatre "pentòminos" de la teva col·lecció. Aquesta operació es pot fer amb tots?

Problema per a 2n d’ESO

• Multiplicació rusa (Fem matemàtiques 2003)

Hi ha un mètode de multiplicar curiós conegut com "el mètode del camperol rus". Quan s’ha de multiplicar dos nombres, com per exemple 365 per 18, es fa de la manera que s’explica tot seguit:

Es disposen els dos nombres com a capçaleres de dues columnes que es van formant així: a sota del nombre més gran s’hi posa el doble (per exemple a sota del 365 el seu doble, 730), mentre que a la columna encapçalada pel nombre petit es posa la meitat del nombre de sobre si aquest és parell (a sota del 18 el 9) i si és senar s’hi posa la meitat per defecte (a sota del 9 el 4). Quan en aquesta columna s’arriba a 1, es para de posar nombres a les columnes i es ratllen totes les files en què els nombres de la dreta són nombres parells (en el nostre exemple les files 365-18, 1460-4 i 2920-2) i els nombres que queden sense ratllar de la columna de l’esquerra es sumen (en el nostre exemple 730+5840=6570) i aquest és el resultat de la multiplicació.

• Escriu altres exemples i comprova que aquest mètode realment funciona.
• Com hauria de ser el nombre petit per què no calgués fer cap suma?
• Sabries dir per què funciona aquest mètode?

Problema per a 3r i 4t d’ESO

• Rècord mundial de triangles (+mates 2008)

En un geoplà de 100 claus per costat tenim milions de triangles, però només alguns poden dir que tenen algun rècord. La vostra feina serà que, per cada un dels fets de continuació trobar el rècord i qui el té. Fixeu-vos que, de fet, considerem dos triangles com a diferents només si no són congruents. Així només hi haurà diferents posseïdors de rècord si tenim almenys dos triangles no-congruents que han "empatat" pel rècord.

Per tant, si estudiem els triangles en un geoplà de 100 claus de costat, digueu:

1. Àrea

• Quina és la màxima àrea d'un triangle? Quants triangles tenen aquest rècord?
• Quina és l'àrea mínima? Quants triangles tenen aquest rècord?

2. Perímetre

• Quin és el màxim perímetre d'un triangle? Quants triangles tenen aquest rècord?
• Quin és el perímetre mínim? Quants tenen aquest rècord?

3. Claus interiors

• Quin és el nombre màxim de claus interiors d'un triangle? Quants triangles tenen aquest rècord?

4. Cap clau interior

• Quina és l'àrea màxima d'un triangle sense claus interiors? Quin és el perímetre màxim d'un triangle sense claus interiors?

5. Claus a la frontera

• Quin és el nombre màxim de claus a la frontera d'un triangle? Quants triangles tenen aquest rècord?

6. Només tres claus a la frontera

• Quina és l'àrea màxima d'un triangle sense claus a la frontera? Quin és el perímetre màxim d'un triangle sense claus a la frontera?

7. Plantejeu-vos, també, aquestes altres qüestions

• Trobeu una relació entre el nombre de claus a la frontera, el nombre de claus a l'interior, i l'àrea d'un triangle.
• Esteneu la relació a les àrees de polígons en un geoplà.

Problema per a Batxillerat

• Sumes (+mates 2010)

Fixeu-vos en les sumes següents.

1 = 1

2 + 3 + 4 = 1 + 8

5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 8 + 27

10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 = 27 + 64

Pots trobar la regla general? La pots demostrar?