Amb tres llumins podem fer un triangle. Amb quatre, fent-los servir tots, no en podem fer cap.

Aquesta proposta ens convida a investigar quants triangles es poden fer amb 5, 6, 7...

Amb 5 llumins, utilitzant-los tots, es pot fer un sol triangle.

Podem...

• Investigar quants triangles es poden fer en el pla amb 6, 7, 8, 9, 10.... llumins.
• Cercar alguna "norma" per saber numèricament, sense construir-lo, si un triangle és pot fer o no.
• Buscar una regla per endevinar quants triangles es poden fer sense haver-los de construir. En aquest cas convé separar els casos parells (4, 6, 8... llumins) dels senars (3, 5, 7...). Fins i tot cal tenir en compte que els primers casos de cada no la compleixen.

Per mirar les solucions baixa per la pàgina

Solució a la primera pregunta

• Amb 6 llumins hi ha una sola solució.

• Amb 7 llumins hi ha dues .

• Amb 8 llumins hi ha una sola solució.

• Amb 9 n'hi ha tres.

Solució a la segona pregunta

• La suma dels dos nombres més petits ha de ser superior al nombre més gran. Si no és així no es por construir un triangle.

Seguint aquest enllaç trobaràs un applet fet amb GeoGebra que et permetra visualitzar aquesta propietat.

Solució a la 3a pregunta

• Separant les quantitats senars i parells de llumins obtenim aquestes taules:

Pels nombres senars, prescindint del 3, funciona aquesta fórmula:

Pel nombres parells, prescindint del 4 i del 6, funciona aquesta altra:

Però si ampliem els casos veurem que les fórmules deixen de funcionar.

Buscar una pauta és un problema més complex del que aparentment sembla ja que les primeres intuïcions ens enganyen si no ampliem prou els casos.

El professor Jordi Font (@jfontgon) ens ha enviat una sèrie de The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences que ens proporciona una versió llarga de la sèrie. El mateix Jordi Font ha preparat un applet amb GeoGebra que permet investigar les diferents solucions (enllaç)