En l’obra de Llull hi ha certes imatges dotades d’un fort caràcter simbòlic que apareixen de forma recurrent en diferents llibres. L’arbre o l’escala poden ser dos exemples. Però hi ha una tercera que té un aire més matemàtic: la figura plena, que conté un triangle, un quadrat i un cercle. Deixant de banda les interpretacions teològiques o filosòfiques donades al conjunt de la figura o a cadascuna d’elles per separat (la tripiclitat de l’univers, les tres religions, etc.), la figura apareix comentada geomètricament al Liber de geometria nova et compendiosa i a De quadratura e triangulatura de cercle , totes dues obres de l’any 1299. En elles afirmava que les tres figures tenien la mateixa àrea, el que implicava que, segons ell, havia aconseguit quadrar i "triangulitzar" el cercle. Tal és la importància d’aquesta figura que també la trobem gravada al seu sepulcre. L’estudi de la figura plena ens proporciona una interessant activitat d’aula.

La geometria lul·liana, lluny del sistema lògico-deductiu d’Euclides, té un component bàsicament empíric que fa que Llull no argumenti en excés les seves conclusions. De fet, malgrat haver dedicat un temps als estudis geomètrics Llull escrivia en un llibre lleugerament anterior, Doctrina pueril, en contra de l’estudi de la geometria:

“Amable fill, not consell que aprengues esta art, car de gran maltret és, e leu se pot errar; e perillosa és, per ço car los hòmens que en saben majorment n’usen mal, i per lo poder dels cossos celestials menysconeixen i menyspreen lo poder e la bonesa de Déu; ni no et consell, fill, que aprenes geometria ni aritmètica, car arts són que requeren tota la humana pensa, la qual ha de tractar d’amar e contemplar Déu”

Com fa Llull la quadratura

Al llibre a De quadratura e triangulatura de cercle Llull insinuava que la quadratura del cercle no es pot fer amb regle i compàs i que cal utilitzar altres “arts matemàtiques”:

"Com siasso que mesures de linyes dretes e mesures de linyes circulars no sien de una mateixa raho e ab lo compas hom no pusca mesurar linyes circulars ab linyes dretes, per aço coue en l'anjma mesurar linyes dretes e circulars ab la ymaginacio matematicalment rehebent los significats de linyes dretes e circulars sentides en sobiet visible."

En tot cas el mètode que proposa és perfectament traslladable a resoldre’l segons els cànons de la geometria clàssica. El que proposa Llull és dibuixar els quadrats inscrit i circumscrit a la circumferència.

Tot mesurant el costat dels dos quadrats calculava el costat d’un quadrat nou que tingués com a mesura del costat la mitjana aritmètica dels altres dos.

Segons Llull aquest quadrat, l’àrea del qual era més gran que la de l’inscrit i més petita que la del circumscrit, coincidia amb l’àrea del cercle. El mètode es podia aplicar a altres polígons com el triangle.

És certa aquesta afirmació? Si no ho és, com és l’error?

Podem utilitzar Geogebra per investigar les proporcions entre les àrees. La construcció que mostrem és una lleugera modificació de la preparada per Alber Garcia Sempere.

Podem observar que l’àrea del cercle és lleugerament superior a la del quadrat (un 7,8%) i a la del triangle (un 7,5%). També s’observa que la del triangle i la del quadrat tampoc són exactament iguals: hi ha una diferència d’un 0,3%.

Propostes per a l’aula

• Parlar del problema de la quadratura del cercle i la seva història
• Fer l’estudi de les relacions entre àrees seguint el mètode lulià
• Fer la construcció amb GeoGebra. Dedicar especial atenció a la construcció del costat mitjà “amb regle i compàs”.
• Ampliar les comparacions a altres figures: pentàgons, hexàgons... i veure si la relació entre les àrees d’aquests i la del cercle millora o empitjora.
• Estudiar les relacions de la figura plena en 3D, amb tetràedre, esfera i quadrat. A la imatge teniu un model creat per la Societat Balear de Matemàtiques SBM Xeix. Al seu web expliquen que "de la mateixa manera que la figura plana conserva l’area en les tres figures, en tres dimensions hem imposat la conservació del volum en els tres sòlids. Per a la seva col·locació hem fet coincidir els eixos de rotació ternaris del cub i del tetraedre, de manera que així qualsevol secció dels tres cosos és equivalent i indistingible, cosa que no passa en la Figura Plena plana."

• Parlar del problema de la quadratura de les lúnules d’Hipòcrates i la relació amb l’escut que apareix al vitrall de la capella on està el sepulcre de Ramon Llull.

Per saber-ne més

• Pòster de Josep Lluís Pol i Daniel Sierra (SBM Xeix) presentat al C²EM
• Video La quadratura del cercle. Monòleg sobre Ramon Llull. Presentat a la cloenda del C²EM (minut 2.30 a 13)
• La ciència a l’obra de Ramon Llull, article de Lola Badia, publicat a Narpan.net (Espai de cultura Medieval)
• Ramon Llull i la quadratura del cercle, article de Lola Badia, publicat a Narpan.net (Espai de cultura Medieval)
• Digitalització de l’exemplar de De quadratura e triangulatura de cercle de la Biblioteca del Palacio real de Madrid.