U5. 2D motion

Temporalización: 8 horas

Situación de aprendizaje: mosaicos en la Alhambra

Introductory video. Pay attention and take notes.

Previous knowledge: the cartesian coordinate system

Vectors

A vector is a line segment with length and direction ⟶. It tells you exactly "how far" and "in what direction" to move a point.

You can use coordinates to define a vector. For example, vector v⃗(4,1) is that starting at the origin and ending at the point of coordinates (4,1).

Given the points A=(2,1) and B=(6,3), the vector AB⃗ is (6-2,3-2) = (4,1). Make a drawing to check it.

Two vectors are equipolent if they have the same length and direction.

Addition and substraction of vectors

There are two ways to do it: by drawing or using coordinates.

To add two vectors, u⃗ = (u₁, u₂) and v⃗ = (v₁, v₂), we simply add their corresponding components: u⃗ + v⃗ = (u₁+v₁, u₂+v₂) or use the graphic method (to the right).

2D Motion

To play with it, draw the initial of your name. Try to make it simple: a polygon with no more than 8 vertices.

Shapes can be transformed in a number of ways. These include translation, rotation and reflection.

Translation

Translation causes a shape to move in one direction pointed by a vector.

Traslation by a vector u⃗: is a motion in which every point P becomes P' so that u⃗ and PP' are equipolent.

Rotation

Rotation causes a shape to turn around one point (C) and a given angle (α).

Positive angle: Counter-clockwise.
Negative angle: Clockwise.

Reflection/Simmetry

Reflection causes a shape to replicate itself, like it was in a mirror.

You need an axis of reflection.

If you get the same shape after a reflection, that shape is simmetric respect the axis.

One shape can have one, two or more axis of simmetry

Tessellations

A tessellation is a pattern made of one or more shapes that repeats infinitely and covers the plane completely. In mathematics, tessellations are created by applying isometries (transformations that preserve distances and angles) to a shape. The transformations we will use are:

Translation: sliding a shape without rotating or flipping it.
Rotation: turning a shape around a fixed point.
Reflection: flipping a shape across a line (axis of symmetry).
Glide reflection: a reflection followed by a translation along the reflection line.

Por traslación

Aquí puedes practicarla para un mosaico de base cuadrada.

Por giro

De 120º, para mosaicos de base hexagonal.

Por simetría

Escher tessellations

Let's design an Escher's type artistic tessellation.

To design a mosaic (tessellation) that covers the plane without gaps or overlaps, using geometric transformations: translation, rotation, reflection and glide reflection.

Step 1: Start from a Base Shape

Draw a regular polygon on paper or grid paper.
Recommended options:
- Square
- Equilateral triangle
- Regular hexagon
This shape will be your tile (the basic unit of the tessellation).
📐 Why these shapes?
They tessellate the plane by translation because their interior angles fit exactly around a point.

Step 2: Modify the Shape (Escher Technique)

Choose one side of the polygon.
Cut out a small shape from that side.
Translate the cut piece to the opposite side without rotating or flipping it.
Attach it carefully.

Repeat this process with another side if you wish.

🔁 Important rule:
Every modification must be done using translations, so the new shape will still tessellate.

Step 3: Create the Tessellation

Trace your modified tile several times.
Repeat the shape using translations to cover the plane.
Check that:
- There are no gaps.
- There are no overlaps.
- The pattern can continue infinitely.

Step 4: Add More Transformations

To enrich your design, you may also:

Use rotations (e.g. 90°, 120°, 180°) around shared vertices.
Use reflections across edges.
Combine reflection and translation to form a glide reflection.

🧠 Think mathematically:
Identify which transformations relate one tile to another.

Step 5: Artistic Design

Turn your tile into a recognisable figure (animal, person, object, fantasy shape…).
Decorate your tessellation with colour, patterns or shading.
Keep the edges consistent so the tessellation still works.

Step 6: Mathematical Explanation

Along with your mosaic, include a short explanation answering:

What is the base polygon?
Which transformations did you use?
Where can you find translations, rotations or reflections in your design?

Final Check ✔

The plane is fully covered.
The same shape repeats.
All transformations preserve size and shape.
Mathematics and art are both clearly visible.

Mosaico base: cuadrados; movimiento: simetría

Mosaico a partir de hexágonos, usando giros de 120º

Mosaico a partir de cuadrados usando la translación

Mosaico a partir de cuadrados, por giro de 90º

Saberes básicos y criterios de evaluación

Saberes básicos

MAT.3.C.3.1. Transformaciones elementales como giros, traslaciones y simetrías en situaciones diversas utilizando herramientas tecnológicas y manipulativas. Análisis de su uso en el arte andalusí y la cultura andaluza.

Criterios de evaluación

MAT.1.5.1.Reconocer y usar las relaciones entre los conocimientos y experiencias matemáticas de los bloques de saberes formando un todo coherente, reconociendo y utilizando las conexiones entre ideas matemáticas en la resolución de problemas sencillos del entorno cercano.

MAT.1.5.2.Realizar conexiones entre diferentes procesos matemáticos sencillos, aplicando conocimientos y experiencias previas y enlazándolas con las nuevas ideas.

Actividad evaluable: construcción de un mosaico

Dibuja dos mosaicos: la pajarita nazarí y otro mosaico libre (tipo Escher).
Se usarán sendas hojas en blanco (formatos de dibujo técnico), para cada uno de ellos.
La pajarita nazarí tendrá la misma estructura, diseño y colores que la de la Alhambra (ver dibujo de la derecha). Recuerda que parte de un mosaico de triángulos equiláteros, pero su realización puede hacerse a partir del método de los seis círculos que han estudiado en las clases de Educación Plástica, si lo desean.
El otro mosaico es de diseño libre, pero estará basado en uno de los otros dos mosaicos regulares posibles (partiendo de cuadrados o de hexágonos), al que se le aplicarán movimientos de traslación, simetría o rotación. En el cajetín de las láminas se explicará su construcción detallada y los movimientos del plano involucrados para la repetición de la tesela mínima.
Los diseños se realizarán a mano y deberán estar coloreados.
El trabajo se realizará, preferiblemente, por parejas, debiendo realizar cada persona uno de los dos mosaicos. Excepcionalmente, se permitirán trabajos individuales.
Tamaño del mosaico y la tesela mínima: libre, mientras quepa en el folio y sean visibles, al menos, cuatro teselas completas.
Plazo de entrega: martes día 10 de febrero.
La rúbrica para la calificación tendrá en cuenta los siguientes criterios:
1. Precisión del diseño. Las teselas del diseño básico deben ser todas iguales, sin irregularidades.
2. Coloreado: regular y coherente con el diseño elegido.
3. Explicación matemática apropiada, que haga referencia a los movimientos del plano considerados.
4. Dificultad del diseño. Los mosaicos hexagonales son más difíciles que los cuadrados. Los mosaicos que aplican giros o simetrías son más difíciles que los que aplican translaciones.

Enlaces de ayuda:

https://aprendiendomatematicas.com/actividades-mosaicos-de-escher/

What is a tessellation?

https://youtu.be/k6shIU6y9Ik?si=L8xAuyaI0CmxRZ_m

How to design a tile using TRANSLATION method?

https://youtu.be/9UPgnUo8PEY?si=t-G-5JZYkupamgTX

ROTATION tessellations. How to design a tile?

https://youtu.be/E-LnvaQmI8Q?si=dt2mcUCQMxHi0zsK

REFLECTION tessellations. How to design a tile?

https://youtu.be/cvn5ozICwBQ?si=fABkhr78J0qrao8w

https://www.youtube.com/watch?v=lejiRl9paFc

Ejemplos

Los siguientes ejemplos provienen de la web oficial de la fundación M.C. Escher. Allí podrás encontrar muchos más ejemplos. https://mcescher.com/

Links

Google Sites

Report abuse