Cette énigme de pure logique est superbe, simple d'énoncé, on découvre peu à peu qu'elle n'est si facile à résoudre et ouvre même le champ à un réflexion profonde sur la stratégie, le comportement humain, ....
5 pirates doivent se partager un trésor de 12 lingots d'or. Le plus vieux a l'initiative de proposer le partage (par exemple, tout pour lui...).
L'ensemble des pirates effectue alors un vote :
Si la stricte majorité des pirates accepte le partage, le partage s'effectue.
Sinon le plus vieux est exécuté et le processus recommence avec le 2ème plus vieux.
Quel partage doit proposer le plus vieux, sachant que tous les pirates sont intelligents et avides? (Les pirates préfèrent se débarrasser des plus vieux s'ils ne leur servent à rien)
rem: cet enoncé est repris de Samuel Boudet (pas encore), avec quelques modifications mineures. Je propose ci dessous quelques précisions terminologiques si besoin était (à vérifier pour le moins après avoir (cru) resoudre l'énigme!), plus indices et explications, enfin la solution, et plus bas des variantes (des règles de partage plus que de procédure de décision globale) pour aborder d'autres concepts.
IL vous manque une donnée, ou quelque chose est flou? voici quelque précisions linguistiques, terminologiques, logiques,...:
Ces précisions ne sont pas des indices, juste destinées à éviter de se fourvoyer en partant sur des interprétations de l'énoncé fausses ou non académiques, reposant sur le sens élastique des mots en francais, des aprioris non classiques, un lecture partielle ou interprétation de l'énoncé refutable. Si ces précisions ne vous apportent rien, c'est que vous avez déjà fait un bout de chemin logique (et connaissez le francais et le sens commun), ayant découvert ou étant déjà rompu à la formalisation mathématique.
Stricte majorité: majorité absolue, cad obtenir plus de la moitié des voix (la moitié plus un parmi tous les individus votants si leur nombre est pair, ou si leur nombre est impair, obtenir ua moins la moitié du nombre pair immédiatement supérieur).
Ex. 3 sur 4 votants et non 2 parmi 4 pirates votant ou 2 parmi les 3 pirates votant qui n'ont pas proposé le partage.
3 sur 5 votants
Vote: tout le monde vote (pas d’abstentionnistes), et on compte le vote de celui qui propose le partage pour la majorité.
Pirate: ce pourrait etre bien sur d'autres personnages, mais ils sont parfaits pour illustrer l'enjeu et comportement avide, sans pité si besoin,... Le pirate n'hésitera pas à tuer un autre s'il peut gagner plus d'or, mais il sait aussi respecter un code déontologique... de pirates! Bref dans l'énigme, il respect la règle, la parole qu' la donné en votant, la vie
Avide: en bon pirate, chacun veut obtenir le maximum de lingots pour lui.
Intelligent: caractéristique plus surprenante pour un pirate (quoique), mais qui précise que chacun est capable d'analyser pleinement la situation. Exit les sautes d'humeurs, la folie,...
Partage des lingots: tous les lingots sont comptés dans le partage (il n'en restera pas sur le carreau (sinon cf variante xx).
et le plus vieux doit préciser le nb de lingots à attribuer pour chacun. Ceci peut etre déduit de l'énoncé du fait qu'en cas d'acceptation du partage, celui ci est excécuté d'office (donc il a été défini pour chacun!)
aucun lingot ne peut être fractionné (les pirates n'ont pas scie, ni de balance)
le code de pirates les empêche d'en venir aux main pour s'arracher les lingots, ou, hors du réglement de partage, se tuer à l'arme et s'emparer des lingots.
* Quelques première remarques et déductions préliminaires
- le plus vieux pirate doit trouver une proposition de partage acceptable par la majorité pour garder la vie. Il obeit donc à une stratégie collective, ou plutot globale intégrant toutes les stratégies individuelles des pirates, qui sont graduellement moins collectives, car:
- le plus jeune pirate a une stratégie personnelle particulière totalement égoïste pour maximiser ses gains (avoir 12 lingots), mais il n'aura qu'un vote (et lequel...): que toutes les propositions de partagent ne soient pas acceptables. Cad soit que tous les autres fassent des erreurs de choix devant la collectivité des pirates et les payent de leur vie; soit qu'il puisse influer ou tromper... mais il ne peu pas (code des pirates lui impose de respecter la règle, et donc d'attendre que tous aient parlé et échoué: il ne controle rien, et le choix du plus vieux est à cet égar le plus déterminant.
* De vrais indices et intuitions ou déductions pour avancer (et renvois [>A] pour des digressions philosophiques)
(indices glanés dans ma réflexion de résolution 1r, analytique)
1r indice: quel est la meilleure dernière proposition de partage (par le 2ème plus jeune)?
2eme indice: alors?... que doit proposer le 3m jeune (J3, l'avant avant dernier vieux)?
3eme indice: continuez... J4?
4eme indice: qui de J1 J2 J3 aura interet à voter un partage, contre combien de lingots? J4 peut leur garantir des lingots (12-x-y-z; x; y, z) en veillant à maximisant 12-x-y-z!
(indices pour éviter d'égarer sur un mauvaise piste)
?
(aides résolutive)
indiceA- adopter un résolution par la fin du processus? cad analytique du vote entre 2 pirates puis 3 pirates, 4 pirates.. Oui... mais ne passe t on pas a coté du fait que le plus vieux du groupe AVAIT une chance de s'en sortir si un majorité absolue s'était manifestée dans un groupe supérieur: il faudrait montrer qu'un telle solution n'est pas possible, cad B
indiceB- utiliser la récurrence?: montrer si si il y a une meilleure solution pour un groupe taille n, alors la meilleure solution est possible (ou au contraire impossible) pour un plus petit groupe, ou à l'inverse par un plus grand groupe. Par récurrence, on pourra prouver que c'est le plus vieux ou le plus jeune qui à la meilleure proposition et va donc gagner. Cela revient à connaitre la probabilité de gain d'un solution, qui revien a connaitre celles de toutes les autres relatives à elle...
Tentative: J1/1 gagne avec (12), soit. J1/2 gagne qqst la proposition de J2/2. J3/3 gagne avec (11:0:1) comme avec (11:1:0); ... à chaque fois on s'appuie sur la probabilité de gagner des autres pirates cad de tous les groupes inférieurs qui est P=1 pour 1 pirate, et par récurrence P=1 pour tous les suivants. mais l'issue alterne entre la victoire du plus jeune et du plus vieux. On à l'intuition, mais pas la preuve de reccurence pour n=alors=>n+1 ou n+2, que ce sera toujours les impairs qui gagneront. Admettons qu'on le montre (A FAIRE? attendons de voir les autrs approches). Alors pour J5/5, oui donc il doit gagner, mais il nous faux autre chose pour savoir avec quelle(s) meilleure(s) proposition(s) de partage! car on le mesure dès J4/4 les combinaisons nous dépassent très vite, par leur nombre et surtout leur intrication.
indiceC- adopter une démarcha probabiliste / utiliser des probabilités ?:
une proposition de partage de Jn/n sera retenue si sa probabilité* de gain à lui (Jn/n) + ceux qui votent Pour (Jp/n, avec p de 1 à P) est supérieure* à celle de ceux qui voteront Contre (Jc/n, avec c de 1 C), soit. Mais...
*ATTENTION1: que veut dire supérieure?
Supérieur veut dire (>n/2) ? supérieur strictement? (>n/2) ; or la majorité absolue veut dire : > n/2+1 si n est pair, mais > entier immédiatement supérieur à n/2 si n impair
=>idée qu'il y a 2 règles 'supérieur', et qu'il faut ainsi 2 démonstrations séparées, une pour les n pair, 1 pour les 1 impairs
=>il faut etre capable de déterminer la proba Jc/n ET la proba des Jp/n, et finalement les proba de tous les individus? non si la récursivité nous aide, et cela semble possible dans chaque groupe ou les pirates semble liés, et les 2 groupes sont liés par la somme de leur probabilité complémentaire à Jn/n !
*ATTENTION2: que veut dire probabilité? de quoi? la proba d'un pirate de gagner (pour lui) est elle la meme (ou comment change elle) dans différents groupe, par rapport à la proba qu'il a quand fait sa proposition de partage? Est aussi la probabilité que lui et 'pour qui il vote', soit majoritaire? (ilS sont majoritaireS)
On devine que la proba d'un pirate x dans le groupe n (Jx/n) n'est pas celle qu'il a dans un autre groupe, et en particulier dans son groupe final Jx/x qu'il doit maximiser;
On commence a saisir que le poids de son vote (p) n'est pas sa proba de gagner (P).
Pour J1, il pèse p1/1=1, puis p1/2=0.5, puis p1/3=0.33... mais sa proba de gagner est P1/1=1, puis PJ1/2=1 (contre P2/2=0), puis PJ1/3=0.66 (avec pJ3/3=0.33 qui a une PJ3/3=0.66 aussi!). Ce qui acte pour passer majoritaires, et leur rapporter une proba de gagner ensemble (P(1+3)/3=1), avec un gain certes moindre pour J1 mais avec un proba totale sous coondition de J1+3 gagants: PJ(1/[PJ(1+3)/3 majoritaire]=1 car (équation de proba d'évenement liés à trouver) PJ1/[PJ(1+3)/3 majoritaire] + PJ2/[PJ(1+3)/3 majoritaire] = ...
Pour J2, c'est J2/2=0, J2/3=0.33,...
=>idée que J1 conserverait un proba maximale de gagner dans tous les groupes:
.celle voter pour un proposition qui lui est favorable parce que le pirate qui partage a besoin de son vote,
.celle de réfuter la proposition optimale d'un pirate qui serait défavorable en sacahnt que ca conduit à l'égalité simple des voix donc pas de majorité absolue hostile, donc ca le conduit au succès de l'autre majorité qui se trouve lui etre favorable (sinon elle serai pas contre, comme lui), donc à son succès individuel.
La encore, la récursivité cette probabilité maximal de J1/1 sur J1 (ou celle de J1/1 sur J3/3
*ATTENTION3: probabilités conditionnelles?
On en vient à penser qu'il faudrait utilise la probabilité qu'un pirate gagne SACHANT QU'un autre pirate gagne ou perd. Ok, mais attention car l'usage des cs proba conditionnelles doit etre rigoureux. Mal définit les évnement, l'univers,... et tout s'effondre. Ra pellons la formule: P(A sachant B) : P(A et B) / P(B) [ou P(A et B) = P(A sachant B) * P(B) = P(A sachant B) * P(B) ]
indiceD- adopter une démarche recursive sur les probabilés ?
Tentative: P(J1/1)=1, mais PJ2/2=0, donc il est évident que le vote de J1 sera décisif pour J3, et aussi différentiel pour les suivants. Ce différentiel se cumulera dans toutes les proba de tous les votes qu'il soutiendra
Tentative2: quel lien entre P(J1/x) et PJ(1/x+1)? ou plutot PJ(1/x+2)?: on pressent que tous les PH1/x+2k seront égaux entre eux, contribuant équitablement au succès de PJ(x+2k).(x+2k) A MONTRER!
Alors on conclura que PJ(x+2k)/(x+2k) = K fois PJ1/x .
Pour n=x+2k, cad nb impair de pirates,
PJn/n = K x PJ1/x avec PJ1/x
somme des proba pairs: PJ(x+2k) = n/2
somme des proba impairs: PJ(x+2k-1) = ??
somme des proba pairs+impairs+Jn = 1 = somme des PJ(x+2k) + somme des PJ(x+2k-1) + Jn/n
=> PJn/n=
* De vrais indices et intuitions ou déductions pour avancer (et renvois [>A] pour des digressions philosophiques)
on imagine déjà que la meilleure proposition de partage du plus vieux doit tenir compte de chacun des autres pour les rallier à sa cause, en fait chacun dépendent des plus jeunes qu'eux, et infiné du plus jeune. Mais, et c'est paradoxal, que le dernier vote (et donc dernière proposition de partage) est plus simple... et que l’intérêt de chacun n'est pas forcément le même! [>A]
1r indice: quel est la meilleure dernière proposition de partage (par le 2ème plus jeune)?
Réponse: le 2em plus jeune (J2, ou l'avant avant avant dernier vieux V4) n'aura pas tant de question et de choix que ses ainés, pour ne pas faire de cadeau au plus jeune: quelquesoit son offfre, le refus du plus jeune donnerait 1 contre 1 ce qui ne donne pas à J2 la majorité absolue (rem: ca ne donne pas non plus la majorité absolue pour le jeune - sans conséquence car c'est la règle de partage qui prévaut). Donc le dernier vote ne sert à rien, le plus jeune gagne, J2 meurt. J2 sait qu'il va mourir (sauf s'il a reussi avec d'autre à valider un partage§), et que selon la règle, c'est le partage proposé ppar lui J2 (et refusé par J1) qui sera appliqué. Donc J2 n'en a rien a faire de proposer (12:0) ou (5;5) ou (5;7) ou (0:12), probablement préfèrera t il laisser le minimum de lingot au jeune car la règle ne dit pas ce qu'il advient de sa part! il prend le risque de mourir avec un partage défavorable au jeune pour le faire chier, et au passage pour placer le logicien de cet énigme dans l'embarras!
La (12:0) meilleur partage du 2me jeune J2, tandis que J1 n'a pas choix possible (!) ni gain possible (0L).
2eme indice: alors?... que doit proposer le 3m jeune (J3, l'avant avant dernier vieux)?
Réponse: ca se complique, mais pas tant que ca: avant de chercher quelle meilleur partage proposer, voir quels partages il ne devrait pas proposer (le faisant mourir)! Et il sait que s'il perdait le 2eme jeune pourra tout gagner, donc le 2em jeune refusera son partage meme si ce partage lui était avantageux! Pour le 3m jeune donc, son meilleur atout (en fait son seul atout!) c'est de rallier le plus jeune à sa cause (l'ennemi de ton ennemi potentiel...). En lui proposant assez pour qu'il s'en sorte et le minimum pour maximiser son gain. 1 seul lingot suffit pour pour qu'il s'en sorte en validant le partage car le plus jeune n'a pas le choix, s'il refus il moura face que 2m jeune! Voilà donc (11:0:1) est le meilleur partage du 3me jeune J3.
3eme indice: continuez... J4?
Réponse: oui il s'agit de savoir quel est le meilleur choix possible pour le 4m plus jeune, J4. Mais là ca se complique, un peu: il doit convaincre une majorité parmi 3 pirates de pas refuter sa proposition, sachant que s'il échoue le 3em aura comme meilleure proposition (11;0;1), le 2eme (J2) aura lui la certitude de gagner et bellement (12;0), alors que le plus jeune (J1) n'aura aucune chance de gagner plus d'1 lingot (et vivre) (!). Il lui faut une proposition attirant 3 votes (majorité) ou plus. Il a bien sur le sien, mais qui de J1 J2 J3 aura interet à voter un partage ou J4 peut leur garantir des lingots (12-x-y-z; x; y, z) ? nous voilà avec 3 inconnues... peut il miser sur J3 et J2, J3 et J1, J2 et J1, ou les 3 mais sans perdre plus de lingots
4eme indice: qui de J1 J2 J3 aura interet à voter un partage, contre combien de lingots? J4 peut leur garantir des lingots (12-x-y-z; x; y, z) en veillant à maximisant 12-x-y-z!
.Le J3 préfèrerait assurément réfuter et tuer J4 pour jouer sa stratégie gagnante (gagner 11 lingots). Cela gratifiera J2 d'aucun lingot...
.pour J2 donc, refuter et tuer J4 ne l'enrichirait pas, et sa stratégie gagnante (12:0) ne servirait à rien. Il suffit que J4 lui propose y=1 pour retrouver espoir et gagner(un peu) d'or (similairement à J1 face à lui même J2!).
. J1 enfin préférerait réfuter et tuer J4 en comptant sur J3 qui a intéret (pour lui même) à le sauver avec (11;0;1). Disons même que J1 est un vote assuré, car si J1 votait pour un partage de J4, avec J2 qui n'a pas meiux a faire, et J4, ils ont la majorité assurée.
J4 peut donc compter sur le vote de J2 s'il lui attribue un lingot (ca suffit), mais pas sur les votes de J3 et J1. Donc J4 n'a pas sa majorité absoluée. J4 doit faire comprendre à J3 et J1, dont le sort est lié par leurs stratégies gagnantes, que leur potentiel gains de 11 et 1 lingot est moindre que ce qu'il peut proposer. Ca semble plus facile de convaincre J1, en lui proposant 2 lingots. En egoiste individualiste, J1 va voter pour le partage de J4 ... à moins que J3 cafarde que lui aussi peu le gratifier de 2 lingots,... et J4 de surenchérir, J3 aussi, jusqu'à, selon qu'ils se contentent de 1 ou 2 lingots, 11 ou 12 lingots pour J3, et 10 ou 11 lingots pour J4 (car J4 doit en donner 1 à J1). Oups. Il reste une indécision car la règle d'avidité des pirates ne dit pas si le pirate préfère avoir 0 ou 1 lingot (J4) quand l'autre aura 1 ou 2 lingots (J3). On peut présumer qu'il maximise les lingots indépendemment de l'autre, mais tout ca est subordonné au fait de vivre ou non! Pour J4 c'est question de vie ou de mort, il doit gagner la voie de J1! et ira jsuqu'à ne pas s'accorder de lingot. Mais cela ne suffira pas, car si J3 est assuré de vivre (si J4 gagne il vit; si J4 perd, il a un stratégie gagnante/vivante avec J1 qui y est condamné), il peut aussi sacrifier son gain pour que J1 ai
En fait, cette surenchère pour gagner (par J4) ou garder (par J3) le vote de J1 est du bluff: J3 sait très bien qu'une fois ayant avec J1 refuté/tué J4, il sera seul a bord et retrouvera sa stratégie gagnante! Il peut proposer cette fois de lui donner les 12 lingots, et quand J4 sera mort ne plus avoir à proposer à J1 qu'1 lingot dont J1 devra se contenter, sans autre choix. C'est donc du coup à J1 d'anticiper tout ca, et de se dire que son seul salut pour gagner plus qu'1 lingot, c'est voter pour J4 et ses 2 ou 12 lingots -et J4 du coup se dira que 2 lingot lui suffiront! mais du coup J3 se dira qu'il ne fallait pas bluffer, ou du moins J1 se dira que J3 sait qu'il n'a pas interet à bluffer, mais... mais tant que le vote pour J4 n'est pas entériné, les 3 seront dans l'indécision formelle de pouvoir à la fois assurer leur vie (pour J4) et maximiser leur gain (pour J3 notamment).
1 pirate : (12). J1 se proclame gagnant
2 pirates : (0,12). J1 gagne
3 pirates : (0,0,12). J1 ni J3 ne gagnent! a cause de la rapacité de J3. Mais (1,0,11) aurait fait gagné les 2!
4 pirates : (1,1,0,10). J4 gagne (avec J2 et J1)
5 pirates : (2,0,1,0,9) ou (0,2,1,0,9). J5 gagne (avec J3 et J1)
Solution étendue (par cglacet):
6 pirates : (2,0,2,1,0,7) Pirates N°1 accepte car ces 2 lingots là sont donné avec P=1. Le choix aurait pu être : (0,2,2,1,0,7) ou encore (2,2,0,1,0,7) autrement dit, (a,b,c,1,0,7) avec deux pirates parmi a,b,c qui prennent 2 lingots
7 pirates : (a,b,c,d,1,0,7) avec deux pirates parmi a,b,c,d qui prennent 2 lingots, (acceptés car il est avec P=1 ou parce qu’il est strictement mieux qu’”avant” pour d).
On peut continuer avec les même arguments, le dernier de la liste acceptant car c'est mieux que ce qu'il pourrait avoir dans le futur, les autres acceptant car dans le futur ils pourraient avoir le même nombre de lingots mais avec proba < 1.
8 pirates : (a,b,c,d,e,1,0,5) avec trois pirates parmi a,b,c,d,e qui prennent 2 lingots
9 pirates : (a,b,c,d,e,f,1,0,5) avec trois pirates parmi a,b,c,d,e,f qui prennent 2 lingots
10 pirates : (a,b,c,d,e,f,g,1,0,3) avec quatre pirates parmi a,b,c,d,e,f,g qui prennent 2 lingots
11 pirates : (a,b,c,d,e,f,g,h,1,0,3) avec quatre pirates parmi a,b,c,d,e,f,g,h qui prennent 2 lingots
12 pirates : (a,b,c,d,e,f,g,h,i,1,0,1) avec quatre pirates parmi a,b,c,d,e,f,g,h,i qui prennent 2 lingots
13 pirates : (a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,1,0,1) avec cinq pirates parmi a,b,c,d,e,f,g,h,i,j qui prennent 2 lingots
Et enfin, si je ne me suis pas trompé avant, si il y a x > 13 pirates alors x-13 pirates meurent avant que les survivants ne se partagent le butin.
[>A] On a vus se dessiner des intérêts divergents entre pirates, et ce dès le plus jeune et son ainé supérieur (Jeune2): ce dernier vote est trivial de par les conditions de proposition du partage, qui est dans les mains du jeune2: il a l'avantage de la proposition. Le jeune1 ne peut contrer cet avantage que pas l'aide du jeune3, ou plutot en adhérant à l'interet du jeune3. Ce grroupement d'intérêt se propagera pour tout les numéro impairs, créant 2 groupes d'intérêts opposés jusqu'au plus vieux. Si ce plus vieux impair ne le réalise pas, il est mort. Si le plus jeune ne le réalise pas non plus lors du 1r partage, il est mort lui aussi. Dans l'énigme, le plus vieux impair est le 5m jeune (ca le plus vieux, V1)
[>B] On a vu que chacun des pirates, dès J2, compte sur le fait que le plus jeune (J1) n'aura aucune chance (!) de gagner. La stratégie de chacun s'appuie sur le plus faible, "hors des enjeux de gain" mais non pas inutile pour les pirates impairs et par ricochet information utile pour les pirates pairs aussi. Cela nous emene vers 2 digressions/adages/morales/principes:
-les plus forts (mieux positionnés dans le jeu) utilisent les plus faibles.
-tout se tient dans l'univers du jeu. les positions dans le jeu (dans l'espace/champs) et les chances de gagner de chacun (la probabilité d'évolution) se tiennent toutes, mais seulement dans un sens pensera-t-on d'abord: le jeune ne peut pas agir avant les plus vieux, ses chances sont subordonnées (conditionnées). Ce sens des actions (proposition, vote) et phénomènes (tuer le vieux, déplacer les lingots), ca correspond 'est la flèche du temps!
A l'inverse la liberté d'action (de proposition de partage) des vieux est supérieure (non pas en diversité d'actions, mais en importance dans le séquence de votes). les plus jeunes sont conditionnés par les plus vieux. Pourtant, qu'advient il si le jeune
-les propositions et votes sont des actions d'information, tandis que le passage à un moins vieux correspond à des actions physiques (tuer le vieux et déplacer les lingots). Ces dernières consomment les informations qui ont été mobilisées et irréversiblement détruites (elle seront désormais inutiles). Les informations, qui correspondent à de l'énergie immobilisée (in-formée), sont ici apparentables à de l'énergie potentielle (position fixée dans un champ des régles du jeu). Leur utilisation rompt cette energie potentielle, comme on descend d'un barrage poussé du bord du barrage par le vote 'contre' ou 'pour' avec 2 conséquences pour la retenue (la réserve de lingots).
Le vote 'pour' d'une proposition équivaut a faire tomber le bon nombre de lingots dans les barrages inférieurs respectifs, et gelant la situation. C'est un 'tour de passe-passe' car il faut sauter des barrage pour certains lingots. C'est possible de part les régles acceptées par les pirates.
Le vote contre correspond en fait plutot à faire éclater le barrage du vieux, en le tuant, tous les lingots tombent dans le barrage aval (moins jeune) qui fait verrou tant que la règle n'aura pas mobilisé l'information pour organiser le vote: recevoir la nouvelle proposition de partage codée par le barrage, collecter les suffrages qui délogent ou bloue chaque code-pierre de ce pirate-barrage. La majorité absolue de pierres débloquée rompt le barage...
[FS](201612): forum ou j'ai découvert l'énoncé, me suis fourvoyé sur la règle de lénoncé à 2 reprises,... non sans inutilité, car ma reflexion a servi pour re-resoudre l'énigme exacte.
Pour moi, la règle de partage favorise le plus jeune pirate (qui peut toujours gagner les 12 lingots -NON pas bien lu la règle de majorité). J'ai proposé une premiere solution avec une variante de la règle (non excluse par l'énoncé), et au final, meme avec la régle des autres, je dégage une solution sociale/équitable qui suppose un comportement altruiste du plus vieux, et équitables pour les autre. Si on ajoute un règle "le plus jeune ne peut pas bloque le vote majoritaire de tous", alors c'est le jeune qui n'a pas le choix et la position la plus favorable.
[SB] Sack Sparrow et les 12 lingots.Samuel Boudet: enoncé puis indices graduels puis solution sur +s jours