«Закон структурной гармонии систем» Эдуарда Сороко

Возрождение пифагорейского учения о числовой гармонии мироздания в современной науке

Во второй половине 20-го века проблема Гармонии, которая относится к разряду «вечных» научных проблем и всегда находилась в поле зрения исследовательской мысли, выдвигается на передний план. В этой связи в современной науке появляется особый интерес к математической теории Золотого Сечения и связанных с ним числам Фибоначчи [30-32]. Первым почувствовал эту тенденцию в современной науке выдающийся советский математик Николай Воробьев. Его небольшая брошюра «Числа Фибоначчи» [30], изданная в 1961 г., по праву стала «научным бестселлером» 20-го столетия. Но современная философская наука также не могла пройти мимо этой важной тенденции. И поэтому появление работ Эдуарда Сороко являются вполне закономерным явлением, отражающим общую тенденцию современной науки – возрождение Пифагорейского учения о числовой Гармонии Мироздания. Но это древнее учение получает новое звучание в работах Сороко. Речь идет онеопифагорейской линии в исследовании универсума [33]. В чем же суть этой «неопифагорейской линии»?

Законы сохранения

Главная идея Сороко состоит в том, чтобы рассмотреть реальные системы с «диалектической точки зрения». Как известно, всякий объект природы может быть представлен как диалектическое единство двух противоположных сторон A и B. Это диалектическая связь может быть выражена в следующем виде:

A + B = U (universum)

(11)

Как подчеркивает Сороко, «здесь А и В – различия внутри единства, взаимоисключающие, но и взаимодополняющие, связанные противоположности, логически непересекающиеся классы или состояния субстрата некоторого целого» [1, c.150]. И далее: «соотношение (11) широко применимо к реальности во всех случаях, где речь идет об исследовании структуры ее объектов: вероятность и невероятность событий; масса и энергия; ядро атома и его оболочка; вещество и поле; анод и катод; животные и растения как виды «живой материи»; автотрофные и гетеротрофные организмы; организмы с наличием в клетках ядер (эукариоты) и без наличия таковых (прокариоты); духовное и материальное начала в системе ценностей; прибыль и себестоимость, образующие в совокупном действии цену и т.п.».

Наиболее характерным примером общего «закона сохранения» (11) является «закон сохранения информации», который может быть представлен в виде:

I + H = log n

(12)

где I – количество информации, а H – энтропия некоторой системы, которая может находиться в одном из n дискретных состояний.

Энтропия системы H связана с вероятностями р₁, р₂, р₃,..., р_n отдельных состояний системы известным соотношением:

(13)

В нормированной форме выражение (12) может быть представлено в виде:

R + ` H = 1

(14)

Первое слагаемое R=I/log n Клод Шеннон назвал избыточностью, а второе слагаемое ` H =H/log n – относительной энтропией.

Следует подчеркнуть, что Сороко не случайно обращается в своих исследованиях к понятию «энтропии», которое было введено в науку задолго до появления «теории информации», созданной американским математиком Клодом Шенноном [34].

Идея построения специальной функции, способной выражать термодинамическое состояние реальных систем («тепловых машин»), как и сам термин «энтропия», принадлежит Клаузиусу, который первым понял глубокое содержание работ Сади Карно. Клаузиус вместе Томсоном сформулировал «Второе Начало Термодинамики». Дальнейшее развитие понятия «энтропия» принадлежит австрийскому физику Больцману, который ввел так называемую H-функцию, характеризующую состояние замкнутой системы. Выразив эту функцию через термодинамическую вероятность W, Больцман придал энтропии статистический смысл.

Именно понятие «энтропии» и связанное с ним понятие «информация» были использованы Сороко в качестве обобщенных «измерителей» структурного разнообразия систем. Сороко пишет: «Глубокая внутренняя связь между информацией и строением (структурой) систем – в тождестве оснований. Чрезвычайно перспективным оказывается поиск фундаментального базиса («алфавита») структурных элементов систем природы. Комбинациями этих элементов создаются более сложные образования, а в конечном счете – все многообразие окружающего мира. Становится ясным, что четко дифференцированные в своем качестве структурные уровни систем объективного мира, подчиняющиеся законам самоорганизации, — это уровни ансамбля {р₁, р₂,..., р_n}, оптимизирующегося в естественном процессе развития этих систем на основе некоторых глубоко скрытых механизмов, которые, однако, могут быть выражены аналитически средствами общей теории групп, теории инвариантов, алгоритмов, языково-кодовых моделей, теории симметрии».

Таким образом, главная мысль Сороко состоит в следующем: «Четко дифференцированные в своем качестве структурные уровни систем объективного мира, подчиняющиеся законам самоорганизации, — это уровни ансамбля {р₁, р₂,..., р_n}, оптимизирующегося в естественном процессе развития этих систем на основе некоторых глубоко скрытых механизмов».

Что же это за «глубоко скрытые механизмы», которые приводят к оптимизации систем природы? Ответ на этот вопрос Сороко дает в главе 5 «Природа структурной гармонии» своей книги [1].

Математические основы структурной гармонии систем

Возникает вопрос, каким должно быть соотношение между частями диалектического противоречия А и В в «законе сохранения» (11) или между избыточностью R и относительной энтропией` H в «законе сохранения информации» (14), чтобы система находилась в устойчивом, «гармоничном» состоянии?

Для ответа на этот вопрос Сороко предлагает распространить «принцип кратных соотношений», широко проявляющийся во многих законах природы, на системы любой природы, подчиняющиеся «законам сохранения» (11), (12), (14). Сороко утверждает:

«Но вероятность и относительная энтропия, а следовательно, и избыточность, представляющая меру организации системы, сравнимы (по мере), в силу чего на последнюю также распространяется принцип «квантования». Итак, согласно принципу кратных соотношений, состоятельна билогарифмическая связь

log R = (s+1) log` H;

(15)

в другом, симметричном случае

log` Н = (s+1) log R

(16)

Связь R=f(` H) принимает простую (степенную) форму:

R = ` H^s+1

(17)

Либо

` H = R^s+1

(18)

где ранг кратности s = 0, 1, 2, …».

В этом высказывании и состоит главная идея «теории Сороко» — распространение «принципа кратных отношений» на системы любой природы.

В чем качественный смысл соотношений (17), (18)? Смысл очень простой. Для того, чтобы система, удовлетворяющая «закону сохранения» (14), находилась в устойчивом, то есть, «гармоничном» состоянии, между «избыточностью» R и «относительной энтропией» ` Н должно выполняться одно из соотношений (17) или (18).

А теперь подставим «условия гармоничности» (17), (18) в «закон сохранения» (14). После подстановки мы получаем два алгебраических уравнения:

` H<sup>s+1</sup> + ` Н – 1 = 0

(19)

R^s+1 + R – 1 = 0

(20)

Еще раз обратимся к физическому смыслу «уравнений гармонии» (19), (20). Сороко поясняет:

«Две равноправные системы уравнений... соответствуют объективно существующим в мире двум типам структурных связей, которыми управляют два рода законов – жесткой детерминации и стохастики. Уравнения (19) и (20) моделируют поэтому два возможных направления эволюции систем.

В одном случае это направление совпадает с процессом постепенного уменьшения энтропии и соответственно возрастания избыточности, выражающей меру организации систем. Такой процесс, выходящий за пределы «термодинамической формы» движения, типичен для управляемых систем, изменяющих свои состояния под воздействием сосредоточенных команд и под давлением обратных связей, корректирующих их поведение.

В другом же случае – с процессами простого термодинамического уравновешивания (деградация, дезорганизация, деструктуризация), типичными для «косной» неорганической природы, в которой утрата порядка, распад, хаотизация идут в полном согласии со вторым началом термодинамики».

А теперь выясним математическую природу «уравнений гармонии» (19), (20). Если неизвестные в уравнениях (19), (20) обозначить через y, то оба уравнения сводятся к одному алгебраическому уравнению:

y^s+1 + y – 1 = 0

(21)

Это и есть то алгебраическое уравнение, которое принято называть в настоящее время «уравнением Сороко». Ясно, что корни уравнения (21), которые мы обозначим через b _s, представляют собой некоторые числовые инварианты «гармоничных» систем.

Чтобы выяснить математическую природу числовых инвариантов b _s, сравним «уравнение Сороко» (21) с алгебраическим уравнением (7), которое иногда называют (спасибо!) «уравнением Стахова». Если в «уравнении Сороко» сделать замену переменной, то есть вместо y подставить значение , то после несложных преобразований мы получим «уравнение Стахова» (7) (если вместо s подставить р). Вот в этом и состоит настоящая научная интрига! Оказывается, что уравнения (19), (20), (21), выведенные Сороко для моделирования устойчивых, то есть гармоничных состояний системы любой природы, после несложных преобразований сводятся к уравнению (7), выведенному Стаховым при исследовании треугольника Паскаля и при решении задачи о «золотом р-сечении отрезка», задаваемой (9). Но из этих рассуждений вытекает, что числовые инварианты» Сороко b _р, связаны с «золотыми р-пропорциями» t _р, которые являются корнями уравнения (7), следующим простым соотношением:

(22)

Подобно тому, как числа 1, 618 и 0,618 называют одним и тем же словом «золотая пропорция», уместно этот же подход использовать и для названия чисел t _р и b _р, то есть назвать их «обобщенными золотыми пропорциями» или «золотыми р-пропорциями», что и сделано в книге [1].

В соответствии с концепцией Сороко, корни уравнения (21), которые связаны с введенными выше золотыми р-пропорциями t _р соотношением обратной пропорциональности (22), и выражают закон структурной гармонии систем.

Подведя итог изложенному, Сороко формулирует «Закон структурной гармонии систем» в следующей словесной форме:

«Обобщенные золотые сечения суть инварианты, на основе и посредством которых в процессе самоорганизации естественные системы обретают гармоничное строение, стационарный режим существования, структурно-функциональную... устойчивость».

Значения структурных инвариантов b _s для начальных значений s задаются с помощью следующей таблицы.

s

1

2

3

4

5

6

7

b _s

0.6180

0.6823

0.7245

0.7549

0.7781

0.7965

0.8117

Рассмотрим приложение закона Сороко для термодинамических и информационных систем. Как известно, состояние термодинамической и информационной системы выражается с помощью понятия энтропии, которое задается выражением (13).

Как известно, энтропия (13) достигает своего максимального значения

H_max = log N

(23)

для случая, когда вероятности состояний системы (или букв) равны между собой, то есть

Используя понятие относительной энтропии

,

(24)

мы можем записать следующее очевидное равенство:

(25)

В соответствии с «законом структурной гармонии систем» каждая система переходит в свое «гармоничное состояние» в случае, когда ее относительная энтропия (24) удовлетворяет уравнению структурной гармонии систем (21), то есть равна одному из структурных инвариантов b _s.Из этих рассуждений вытекает следующее выражение для энтропии «гармоничной» системы:

.

(26)

Ясно, что для заданного параметра s проблема получения множества значений p_i (i = 1, 2,..., n), дающих оптимальное значение энтропии, имеет много решений. Однако, тем не менее, соотношение (26) играет роль некоторой «целевой» функции для решения различных научных и технических проблем, потому что оно указывает путь поиска «оптимальных» вариантов.

Сороко приводит в своей книге «Структурная гармония систем» [1] ряд интересных примеров из различных областей науки, демонстрирующих действие своего закона. Например, рассмотрим такой объект как сухой воздух, который является основой жизни на земле. Является ли структура воздуха оптимальной? Теория Сороко дает положительный ответ на это вопрос. Действительно, химический состав сухого воздуха таков: азот 78,084%; кислород — 20,948%; аргон — 0,934%; углекислый газ — 0,031%; неон — 0,002%; гелий — 0,001%. Если теперь рассчитать энтропию воздуха в соответствии с формулой (13) и вычислить его приведенную энтропию (24), разделив значение H на log N = log 6, то полученное значение приведенной энтропии будет равно 0,683, что с высокой точностью соответствует инварианту b ₂ = 0,682. Это означает, что в процессе самоорганизации сухой воздух приобрел оптимальную, то есть «гармоничную» структуру. Этот пример является весьма показательным в том отношении, что «теория Сороко» может быть уже сейчас использована для контроля за состоянием биосферы, в частности, воздушного и водного бассейна. Ясно, что практическое использование «закона структурной гармонии систем» может принести уже сейчас существенный выигрыш при решении многих технологических, экономических, экологических и других задач, в частности, совершенствовать технологию изготовления структурно-сложных продуктов, контролировать биосферу и т.д.

Идея «развития системы»

Таким образом, согласно Сороко система может находиться в различных «гармонических» состояниях, каждому из которых соответствует свой инвариант b _s: 0,618; 0,6823; 0,7245 и т.д. Можно предположить следующий вариант процесса «развития системы». В процессе самоорганизации система переходит в первое «гармоничное» состояние, соответствующее инварианту 0,618. В дальнейшем под влиянием различных внешних факторов система может выйти из первого «гармоничного» состояния и перейти в состояние «дисгармонии», где она теряет многие из своих положительных качеств. Далее в процессе развития система может перейти в следующее «гармоническое» состояние, соответствующее инварианту 0,6823 и т.д. Поэтому согласно Сороко «процесс развития» — это последовательный переход системы из одного «гармонического» состояния в следующее через промежуточные «дисгармонические» состояния.

5. Эдуард Сороко – Пифагор 20-го века?

Итак подведем некоторые итоги. В последней четверти 20-го века развивающееся в течение более двух тысячелетий Учение о Гармонии пополнилась новым фундаментальным результатом — «Законом Структурной Гармонии Систем», открытым белорусским философом Эдуардом Сороко. Необходимо отметить две принципиальные особенности этого открытия:

1. Начиная с Пифагора и Платона, ученые связывали понятие гармонии с золотой пропорцией (вспомним высказывание Лосева), которое считалось единственным инвариантом любой «гармоничной» системы. «Закон Сороко» утверждает, что «гармоничное» состояние системы, соответствующее классической золотой пропорции, не является единственным и что для одной и той же системы теоретически может существовать бесконечное количество «гармоничных» состояний, соответствующих различным числовым инвариантам b _s (или b _р). При этом сам «процесс развития» можно рассматривать как процесс последовательного перехода системы из одного «гармоничного» состояния в другое.
2. Числовые инварианты b _р связаны соотношением обратной пропорциональности (22) с «золотыми р-пропорциями» t _р. Но как показано в работе [2], «золотые р-пропорции» t _р выражают некоторые глубокие свойства треугольника Паскаля, который является одним из главных математических объектов комбинаторики. Таким образом, «Закон Сороко» имеет фундаментальную связь с одним из важнейших математических объектов. Этот факт является дополнительным свидетельством фундаментальности «Закона структурной гармонии систем», который имеет отношение ко всем объектам Науки и Природы.

Казалось бы, современная наука и технология должна были бы с огромным интересом отнестись к «закону Сороко» и его практическому использованию. К сожалению, ничего подобного не произошло. Мне кажется, что существует две причины прохладного отношения современной науки к «закону Сороко». Первая причина состоит в том, что Сороко – не просто философ, а еще и математик (он закончил физико-математический факультет педагогического университета). Поэтому его многие «философствующие коллеги» с их «марксистско-ленинским образованием», весьма далеким от математики и полученным во многих случаях в Высших партийных школах, просто оказались неспособными понять математическую теорию Сороко. С другой стороны, современная «материалистическая наука» всегда с подозрительностью относилась к «золотому сечению» и давно выбросила его на свалку сомнительных научных концепций вместе с астрологией и всякими там «эзотерическими науками». Поэтому «Закон структурной гармонии систем» оказался в некоторой изоляции.

История науки показывает, что многие великие научные открытия, как правило, значительно опережают текущий уровень научного познания и на начальном этапе воспринимаются современниками с большой долей скептицизма (вспомним Лобачевского, Абеля, Галуа, Максвелла и др. крупных ученых). Видимо, то же самое произошло и с «Законом структурной гармонии систем», открытым белорусским философом Эдуардом Сороко, который, однако, за открытие этого закона и огромный вклад в развитие современной теории Гармонии и Золотого Сечения по праву может быть назван Пифагором 20-го века.

Литература

1. Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Минск, Наука и техника, 1984.
2. Стахов А.П. Введение в алгоритмическую теорию измерения. Москва, Советское Радио, 1977 г.
3. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения. Москва, Знание, серия «Математика и кибернетика», вып.6, 1979 г.
4. Stakhov A.P. The Golden Section in the measurement theory. An International Journal «Computers & Mathematics with Applications», Volume 17, No 4-6, 1989.
5. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. Москва, Радио и связь, 1984 г.
6. Stakhov A.P. The Golden Section and Modern Harmony Mathematics. Applications of Fibonacci Numbers, Volume 7, 1998.
7. Стахов А.П. Сакральная геометрия и математика гармонии // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.11176, 26.04.2004 (http://trinitas.ru/rus/doc/0202/010a/02020028.htm).
8. Стахов А.П. Математика Гармонии как новое междисциплинарное направление современной науки // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12371, 19.08.2005 (http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320001.htm)
9. Stakhov A. The Generalized Principle of the Golden Section and its applications in mathematics, science, and engineering. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 26 (2): 263-289.
10. Stakhov A. Fundamentals of a new kind of Mathematics based o­n the Golden Section. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1124-1146.
11. Витенько И.В., Волков А.А., Стахов А.П. Оптимальные алгоритмы функционирования преобразователей «напряжение-код»ю В кни. «Тезисы докладов V научно-технической конференции «кибернетические пути совершенствования измерительной аппаратуры». ЛОП НТО, Приборпром, 1966.
12. Витенько И.В., Стахов А.П. Теория оптимальных алгоритмов аналого-цифрового преобразования. В кн. «Приборы и системы автоматики», вып. 2, изд-во Харьковского ун-та, 1970.
13. V.C. Harrys and Carolyn C. Styles. A generalization of Fibonacci numbers. Fibonacci Quarterly, 1964, Vol.2, No.4, 277-289
14. V.C. Harrys and Carolyn C. Styles. Generalized Fibonacci sequences associated with a generalized Pascal triangle. Fibonacci Quarterly, 1966, Vol.4, No.3, 241-248.
15. V.E. Hoggat, Jr. and Marjorie Bicknell. Diagonal Sums of Generalized Pascal Triangles, Fibonacci Quarterly, 1969, Vol.7, No.4, 341-358.
16. V.E. Hoggat, Jr. A new angle o­n Pascal’s Triangle. Fibonacci Quarterly, 1968, Vol.6, No.4, 221-234.
17. Д.Пойа. Математическое открытие. М., Наука, 1970.
18. Stakhov A., Rozin B. The «golden» algebraic equations. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1415-1421.
19. Stakhov A., Rozin B. Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers. Chaos, Solitons & Fractals 2005, 27 (5): 1162-1177.
20. Stakhov AP. Brousentsov’s ternary principle, Bergman’s number system and ternary mirror-symmetrical arithmetic. The Computer Journal 2002, Vol. 45, No. 2: 222-236.
21. Стахов А.П. Обобщенные золотые сечения и новый подход к геометрическому определению числа. Украинский математический журнал,том. 56, 2004 г.
22. Стахов А.П., Ткаченко И.С. Гиперболическая тригонометрия Фибоначчи. Доклады Академии наук УССР, том 208, № 7, 1993 г.
23. Stakhov A, Rozin B. o­n a new class of hyperbolic function. Chaos, Solitons & Fractals 2004, 23(2): 379-389.
24. Stakhov A.P., Massingua V., Sluchenkova A.A. Introduction into Fibonacci Coding and Cryptography». Харьков, Изд-во «Основа» Харьковского университета, 1999 г.
25. Волошинов А.В. Математика и искусство. М., Просвещение, 2000.
26. Шестаков В.П. Гармония как эстетическая категория. М., Наука, 1973.
27. Боднар О.Я. Учение о гармонии – в систему образования // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.12775, 02.01.2006
28. Сергей Эйзенштейн. Сергей Эйзенштейн о «золотом сечении» // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13357, 29.05.2006
29. Лосев А.Ф. История философии как школа мысли. Коммунист, 1981, №11.
30. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи. Москва, Наука, 1978.
31. Hoggat, V. E. Fibonacci and Lucas Numbers, Houghton-Mifflin, Palo Alto, California, 1969.
32. Vajda, S. Fibonacci & Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications. Ellis Horwood limited, 1989.
33. Э.М. Сороко, Неопифагорейская линия в исследовании универсума // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13364, 30.05.2006
34. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М. 1963.

А.П. Стахов, Вклад белорусского философа Эдуарда Сороко в развитие общей теории Гармонии и Золотого Сечения // «Академия Тринитаризма», М., Эл № 77-6567, публ.13461, 21.06.2006

Адрес документа: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02321021.htm