Volums amb aigua
Per treballar amb volums es poden fer servir líquids en recipients de diferents formes geomètriques. Si fem els experiments amb aigua, li donarem més vistositat utilitzant-la amb colorant vegetal. D'aquesta manera fem més espectaculars els experiments.
Per començar
Si treballem la capacitat amb materials a primària (o amb alumnes que no hagin fet treball previ anteriorment) és recomanable començar a treballar a partir de la comparació de recipients.
Us suggerim començar a treballar a partir de dos de diferents com el cub i el prisma triangular, i demanar-los a quin creuen que hi cap més aigua.
Segurament alguns diran que hi cap la mateixa perquè són igual d'alts, altres diran que un és més petit que l'altre... i acabaran comparant les bases.
Si els demanem com podem fer per comparar, tot i que a nosaltres ens sortirà de manera natural omplir el petit i abocar-lo dins el gran (i veure que en falta) o el gran i abocar-lo al petit i veure que no hi cap tota... amb nens és més fàcil que optin per omplir els dos recipients i necessitar un tercer recipient per fer la comparació: l'aigua del triangular ha arribat fins aquí, i l'altra, fins aquí.
Deixem-los experimentar i compartir estratègies. Així els permetem argumentar, conjecturar, justificar el que fan i explicar-ho als seus companys.
Litre i Decímetre Cúbic
Començarem preguntant "Què és un litre?"
Portem brics i algunes ampolles de diferents mides i materials: de plàstic, de vidre, ...
Parlem del decímetre cúbic (dm³), i preguntem quina relació hi ha amb el litre. Per això agafem el cub d'un decímetre d'aresta.
Preguntem "Quantes ampolles d'un litre hi cabran dins del cub?", "Aquesta ampolla cabrà dins del cub d'un decímetre cúbic?"
Fem experiments i anem comprovant. Anem preguntant i seguim les preguntes que fan els alumnes estirant-les fins on calgui.
Parlem de què és un decímetre cúbic i com es calcula el volum. Ens ajudem dels cubs encaixables i observem que si augmentem l'aresta, el número de cubs necessaris té relació amb la potència de 3 de l'aresta, i per això, una potència de tres s'anomena "al cub".
Llauna
Un cop hem vist que un decímetre cúbic és un litre, preguntem "Quantes llaunes de beguda podem abocar dins del cub?".
Demanem que es mullin i diguin quantes llaunes creuen que hi cabran. Preguntem quina quantitat hi cap dins d'una llauna. Anotem les respostes i els raonaments que fan per arribar a aquesta conclusió I experimentem. Primer posem una llauna dins del cub, mirem com s'ha omplert i preguntem si canvien d'opinió. Després en posem dues, i ja començaran a veure com acabarà. Posem la tercera, amb un cert suspens per cridar l'atenció de l'alumnat.
Us adonareu que les llaunes de beguda de 33 cl no són plenes del tot. Pot ser degut a que si el líquid es congela necessita tenir espai per l'augment de volum.
Juguem amb les mides de la llauna i fem canvis d'unitats, entre ml, cm³, ... 33 cl? 330 cm³? 1 l=1000 cm³?
Meitat d'un cub
Seguim amb una nova pregunta: "Com mesuraries exactament la meitat del volum d'un cub fent servir només el cub?"
Deixem que facin propostes, experimentem i donem la resposta: buidant-lo fins que aconsegueixes exactament la diagonal d'una de les cares.
El mateix passa quan fem un entrepà de pa de motlle i el volem partir per la meitat: Si el partim en dos rectangles és possible que no ens surtin iguals, però si el partim en dos triangles, per la diagonal, tallant pels vèrtex tenim la solució "exacta".
Volum de la piràmide
Ara, volem visualitzar una de les demostracions més difícils, si la fem algebraicament, i tan fàcil de mostrar amb aquest material. Veurem quina és la relació entre el volum de les piràmides i els dels prismes de la mateixa base. En aquest cas tant la quadrada, com la pentagonal, hexagonal i el con.
Preguntem "Quantes vegades hi cabrà la piràmide dins del prisma amb igual base i alçada ?" Ho preguntem i demanem que opinin i estimin quina creuen que és la quantitat.
Aboquem...
..una piràmide...
...dues piràmides...
...tres piràmides...
... i tenim el cub ple.
En observar que n'hi caben 3 experimentalment, mostrem la fórmula del volum de la piràmide.
A continuació podem veure la demostració fent servir el principi de Cavalieri o amb aquest material fet amb Geogebra:
Un cop hem vist la relació entre les piràmides i el corresponent prisma, podem treballar la relació entre les piràmides i la llauna. Preguntem "Quantes llaunes cabran dins de la piràmide de base quadrada?". I podem veure que, justament, el volum de la piràmide és el mateix que el de la llauna.
Relacions de volums entre cossos diferents
Ara, posem a disposició dels alumnes els diferents cossos geomètrics i aigua. I com cada vegada que treballem amb aigua també caldrà tenir un pal de fregar preparat a la mateixa aula.
Els hi fem les següents preguntes: "Podríeu trobar relacions entre diferents cossos?", "Quants n'hi caben uns dins d'altres?", "N'hi ha que són iguals o el doble?", "Hi ha algun tipus de relació entre alguns cossos?"
Deixem que indaguin i trobin diferents relacions ells mateixos.
Continuem explicant la relació que tenim entre l'esfera, el con i el cilindre.
Amb una esfera, de radi amb la meitat de l'alçada del cilindre, un con, d'alçada doble que el radi de la base i un cilindre d'alçada doble del radi de la base, trobem que:
Volum de l'esfera + Volum del con = Volum del cilindre
A més a més, com que ja sabem que tres cons són un cilindre, tenim que una esfera és igual a dos cons.
A partir d'aquí podem parlar del Principi de Cavalieri per demostrar la igualtat entre els volums de l'esfera, el con i el cilindre, depenent del nivell on estiguem.
Proveta per mesurar volums
En aquest apartat farem ús d'una probeta que haurem d'anar a buscar al laboratori de ciències, que a la vegada pot ser el lloc on realitzem l'activitat.
En aquests tipus d'exercicis només cal calcular, a mida real, el volum de cada cos geomètric. Cada grup agafa un regle, un cos geomètric i en amida el volum a partir de les mesures que pugui prendre.
Per comprovar el càlcul, omplim d'aigua el cos geomètric, buidem el cos i posem l'aigua dins de la proveta per veure exactament quina quantitat hi cap. D'aquesta manera podem fer la correcció del problema sense utilitzar cap calculadora, paper, bolígraf o ordinador, només mirant la ratlleta fins la que arriba el líquid.
Són exercicis d'autocorrecció una mica "passats per aigua". D'aquí tenir preparat el pal de fregar.
Problemes de fraccions amb la proveta
Tenim una proveta i una sèrie d'envasos iguals. Agafem una certa quantitat d'aigua (per exemple, 400 ml) i la mesurem amb la proveta. La dividim en 5 parts iguals als recipients, fins que quedi buida, i en retornem 4 d'aquestes parts parts a la proveta. Fem l'experiment en una taula al mig de l'aula. Creem expectació a la hora de presentar l'activitat.
Un cop representat el problema, fem les següents preguntes:
Quina quantitat hi ha ara a la proveta?
Quina fracció representa la quantitat que hi ara respecte a la que hi havia al principi?
I els demanem que escriguin l'enunciat del problema i en calculin la solució. És important la part d'escriure el problema a partir de la situació que s'ha creat, no pas que el professor en dicti l'enunciat. El que fa el professor és tan sols representar el problema.
Després podem anar variant el problema demanant, a partir d'una altra quantitat, o dividint en una diferent quantitat d'envasos, escriure el que ha succeït i calcular-ne la solució.
Podem canviar la quantitat inicial i el número de pots en què repartim l'aigua, depenent de com va evolucionant la classe.
Finalment, plantejarem el problema sense dir la quantitat inicial i, en canvi, dir la quantitat final.
Per exemple: Agafo una certa quantitat d'aigua, la reparteixo en quatre parts iguals i en col·loco tres de les quatre parts dins la proveta. La proveta em marca 450ml.
Quina quantitat en tenia al principi?
Deduïm Pi
Finalment, podem introduir una altra manera de deduir el valor de pi. Ho podem fer a partir de les fórmules del volum on ens surti el valor pi i aïllar-lo a partir de l'experimentació.
Per exemple, podem agafar el cilindre. Calculem el volum que hi cap omplint el cilindre i posant-lo a la proveta. Mesurem el radi i l'alçada del cilindre. A partir d'aquests valors, podem deduir el valor de pi, si dividim el valor del volum entre l'alçada i el quadrat del radi.
Mesura indirecta
Com a activitat d'avaluació de la mesura indirecta de volums podem demanar als alumnes que resolguin o inventin propostes en les que, a partir del volum de líquid que tenen i les dades de l'envàs, calculin la dada que falta: Per exemple, tenim una quantitat de líquid (165 ml) i l'hem d'abocar a recipients no graduats i diferents, en forma de prisma de diferents mides o en gots de diferent diàmetre. Mesuren el recipient, calculen i decideixen a quina alçada arribarà. Després aboquen el líquid i comproven si ho han encertat.
Referències
Aquestes activitats s'han basat en una activitat de l'ARC de l'Anton Aubanell, anomenat el decímetre cúbic i el litre, les fotos s'han basat en l'activitat explicada a PuntMat: Relacionat volums. També s'han agafat idees pels experiments d'una presentació de l'Albert Herrero, Experiments de volums.