Cubs adalt i avall

Hi ha una activitat de l’NRICH molt interessant relacionada amb l’anterior. Es pot proposar amb diferents graus de dificultat segons l’edat. Comencem per una versió senzilla. Repartim a cada petit grup quatre cubets d’un color i un d’un color diferent. La instrucció és buscar totes les disposicions possibles de manera que els quatre cubs del mateix color “toquin terra” i el de l’altre color no. Tots els cubs s’han de tocar entre sí com a mínim per una cara . 

Durant la resolució del repte sorgiran discussions. Per exemple si dues disposicions simètriques es compten com una de sola o com dues. Convé prendre acords.

Mitjançant preguntes s’ha d’induir als alumnes, si no ho fan sols, a procedir de forma ordenada. Per exemple, que busquin les disposicions del 4 cubs de sota i, després, que trobin com pot col·locar-se, a cada cas, el cubet de dalt.

Quan es tinguin totes (si un grup no les troba en gran grup es poden compartir les que faltin) es pot demanar si les àrees seran iguals o no. A continuació es calculen aquestes àrees i es comparen. Són interessants els casos màxim i mínim i intentar justificar perquè són màxim i mínim (quantitat de cares en contacte). Durant el càlcul d'àrees sortiran diferents maneres de calcular-la que es poden comparar. En el cas de 4 i 1 hi ha 12 solucions i les àrees són de 22 per 11 dels casos i 20 pel que té els quatre cubs de la base formant un quadrat.

També convé demanar formes d’anotar les solucions: per plans, diibuixant en trama isomètrica, etc.

Aquesta proposta es pot variar (3 a sota i 2 a dalt, 4 i 2, 5 i 2, etc.) segons el nivell educatiu, com a activitats de continuació o d’ampliació, etc. En el cas d’utilitzar dos cubs a dalt cal acordar si acceptem cubs “volats” o no. En alguns casos acceptar-ho pot augmentar molt la quantitat de casos.

Probabilitat

El fet de que tots els cubs siguin iguals al tacte i que disposem cubs de diferents colors converteix els cubets encaixables en un material perfecte per experimentar en probabilitat. Només cal disposar de prou cubets i bosses opaques (o similars).  Us presentem un parell de possibilitats

• • Quan surt vermell? A una bossa opaca posem 8 cubets d’un color i 2 d’un altre. A l’exemple seran 8 blaus i 2 vermells. La idea és anar traient cubets de la bossa d’un en un fins que traiem un dels cubets vermells. La pregunta és: “a quin lloc creus que sortirà el primer cubet vermell?”. Els hi podem demanar conjectures, fer després una experimentació per petits grups i donar la possibilitat de modificar la conjectura i, posteriorment, reunir les dades de tots els grups i tornar a modificar la conjectura.

A priori probablement pensaran que sortirà el tercer, el quart, el cinquè… Després de l’experimentació alguns grups modificaran la seva conjectura a llocs més propers als primers: primer, segon… i, reunint les dades de tothom quedarà clar que el més probable és que el cubet vermell aparegui en primer lloc.

Amb els més grans podem estudiar la probabilitat teòrica. La probabilitat de treure el cub vermell en primer lloc és d’un 20 % (2/10 = 0,2). La de que surti en segon lloc és una mica més complexa. Hem de combinar  la probabilitat de que no sigui vermella (8/10) amb la de que la segona sí ho sigui (2/9). Així la probabilitat de que surti en segon lloc és la següent:

Pel tercer lloc, el quart, etc, la probabilitat anirà baixant gradualment. Podeu trobar un anàlisi detallat del problema i un applet per a experimentar al Blog del Calaix +ie.

• • Sondeig. Els cubets encaixables ens poden ser útils per simular diferents tipus de sondeigs. Mirem un d’exemple. Sense que ho sàpiga l’alumnat posem 50 cubets de tres colors diferents en una capsa. Per exemple 25 vermells, 15 verds i 10 blaus. 

Després, davant de tothom, traiem un cubet, el mostrem perquè anotin el color i el tornem a guardar a la capsa. A continuació en traiem un altre, el mostrem i el tornem a la capsa. Procedim així 10 vegades i demanem que, per parelles, ens facin una conjectura del percentatge de cubets de cada color que hi ha a la capsa. Si només han sortit dos dels tres colors no importa perquè facin la seva conjectura. Ja la milloraran. A continuació traiem, d’un en un i com abans, 10 cubets més i demanem que facin una segona conjectura. Podem fer-ho dues o tres vegades més. Finalment obrim la capsa i comptem quants cubets hi havia de cada color i comparar i discutir les conjectures de cada grup.

L’activitat la podem repetir (o fer directament) amb modificacions. Per exemple:

• • • • • dient de bon principi la quantitat total de cubets i no demanant percentatges sinó distribucions quantificades. En aquest cas es pot treure la mostra de 10 de cop.

        • deixant els cubets de mostra fora de la capsa, sense reintegrar-los.

        • variant la quantitat de la mostra.

        • etc.

Si es fan variacions després de fer-ho d’una manera determinada, es pot discutir com afectaran les noves condicions a la forma de fer les conjectures i als seus resultats.