Al llarg de l’escolaritat estudiem molts tipus de nombres: naturals, fraccions, decimals, racionals, irracionals, reals, imaginaris, complexos... També parells i senars, primers i compostos. Però hi altres nombres menys coneguts: perfectes, amics, feliços, afortunats, narcisistes, odiosos... La proposta d’aquesta quinzena us convida a jugar amb aquests “nombres amb nom propi”. Investigar, jugar, amb aquests nombres ens poden ajudar a donar més sentit a determinats exercicis de càlcul.

Parells i senars (Primària)

La classificació de nombres en parells i senars és una de les més naturals: els que permeten formar parelles o fer meitats i els que no.

Una investigació senzilla per els nens i nenes és estudiar què passa amb els resultats quan sumem dos parells, dos senars o un parell i un senar. El que és més interessant és fer argumentar el que han descobert. Podem fer el mateix amb la resta i amb la multiplicació.

Quan es comencen a treballar els nombres enters també podem mirar les semblances entre la “taula” de la suma de parells i senars i la “taula” de la multiplicació de signes.

Primers i compostos

A més de les activitats clàssiques, com fer el garbell d’Eratòstenes, podem fer altres exploracions que poden ajudar a l’alumnat a familiaritzar-se i recordar alguns nombres primers.

• Conjectura de Goldbach

Aquesta conjectura, encara per demostrar, diu que “qualsevol nombre parell, excepte el 2, es pot descompondre en la suma de dos nombres primers”. Per exemple:

6 = 3+3

12 = 5+7

42 = 5+37 = 11+31 = 13+29 = 19+23

Podem repartir als alumnes una taula de nombres primers i comprovar la conjectura amb exemples. També podem buscar informació complementària sobre aquesta conjectura.

• Primers bessons i altres relacions curioses

En aquest cas també proposem jugar una mica amb llista de nombres primers i fer cerques per ampliar informació.

• Primers bessons: Dos primers són bessons si la seva diferència és 2. Per exemple, 5 i 7, 11 i 13.... 137 i 139... 881 i 883... Es pensa que hi infinits parelles de primers bessons però no està tampoc demostrat.

• Primers cosins: Dos nombres primers amb una diferència de 4. Per exemple, 3 i 7, 7 i 11... 97 i 101... 883 i 887...

• Primers sexis: Una parella de primers que tinguin una diferència de 6: 5 i 11, 7 i 13... 73,79... 461,467...

• Primers aïllats: Són aquells nombres primers tals que p-2 i p+2 són compostos. Per exemple el 53 que està entre 51 i 55 que són compostos.

• L’espiral d’Ulam

El matemàtic polonès Stanisław Ulam va observar que si anem escrivint els nombres naturals formant una espiral els nombres primers tenen tendència a alinear-se.

Aquest patró és fa més visible a mesura que anem augmentant la mida de l’espiral. Per exemple amb aquesta imatge que assenyala amb punts els nombres primeres en una espiral de 40 000 nombres.

Podem fer espirals petites, encara que és més interessant l’activitat proposada al web del PuntMat on ens conviden a començar l’espiral per un nombre primer qualsevol i anar ampliant l’espiral tot marcant els nombres primers que apareixen a una de les diagonals, i continuar així fins que trobem un nombre compost.

• Forats entre primers

Hem observat que entre dos nombres primers podem trobar distàncies variables. Però són totes possibles?

• Quins nombres primers estan separats per una unitat?

• Pot haver-hi una diferència de tres entre dos nombres primers? I de cinc? I de set? Per què?

• Una pregunta per a batxillerat: la diferència mínima, excepte en un cas, entre dos nombres primers és dos. Després les diferències, que anomenarem “forats”, són variables.

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14... (Sèrie OEIS A001223)

Però, podem crear un “forat” tan gran com vulguem entre dos nombres primers?

Nombres feliços i nombres tristos

Explorar els nombres feliços ens pot servir per practicar els quadrats dels nombres del 0 al 9. Per saber si un nombre és feliç o trist hem de fer els següents càlculs de forma iterativa.

• Calcular els quadrats de les xifres i sumar-los. Obtenim un nombre nou.

• Tornem a fer el mateix càlcul amb el resultat.

• Continuem fent el mateix amb cada resultat nou

Hi ha dues possibilitats:

• Que arribem a 1 i la sèrie es torni infinitament repetida (1, 1, 1...). El nombre de sortida i tots el que trobem pel camí seran feliços

• Que entrem en un bucle format per vuit nombres: 4-16-37-58-89-42-20-4... El nombre de sortida, i tots els del camí, seran tristos. En general, per saber si un nombre és trist, podem parar quan arribem a 4 o a qualsevol altre nombre del bucle final.

Un nombre feliç: 44 → 4²+4² = 16+16 =32 → 3²+2² = 9+4 = 13 → 1²+3²=1+9=10 → 1+0 =1

Un nombre trist: 25 → 29 → 85 → 89 →145 → 42 → 20 → 4

A l’aula, per exemple, podem investigar col·lectivament els nombres entre 1 i 100. També podem fer “mapes” de felicitat i de tristesa numèrica amb els itineraris diferents que es poden obtenir. O bé buscar nombres superfeliços que tinguin més d’una característica: ser primer i feliç, perfecte i feliç, etc.

Una altra possibilitat és prepara algun full de càlcul o un petit programa, per exemple amb Scracht, que permeti comprovar si un nombre és trist o feliç

Amb cursos superiors, es pot intentar demostrar que hi ha infinits nombres feliços i infinits nombres tristos.

Nombres de la sort

Son nombres que s'obtenen d'un garbell semblant al d'Eratòstenes i que podem buscar com a activitat complementària a la del garbell de nombres primers. Una de les diferències és que aquesta taula comença pel número 1 (tot i que podríem discutir si cal incloure'l a la llista o no). S'escriu la llista de nombres naturals. Comencem per eliminar els nombres comptant de dos en dos des del principi -que seria un zero imaginari- .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25...

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25...

A continuació continuem eliminant els nombres que queden comptant, també des del principi de tres en tres.

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25...

1 3 7 9 13 15 19 21 25...

El següent nombre que trobem és el 7. Tornem a començar des de l'inici

1 3 7 9 13 15 19 21 25...

1 3 7 9 13 15 21 25...

Els nombres que van quedant són els "nombres de la sort" perquè han tingut la fortuna de sobreviure.

Nombres narcisistes

Són nombres de n xifres que tenen la següent característica: si calcules la potència n de cada xifra i les sumes s’obté el nombre original. Per exemple el 153:

1³+3³+5³ = 1+27+125 = 153

Deixant de banda la possible reordenació de xifres hi ha quatre nombres narcisistes de tres xifres, tres de quatre xifres.

Nombres vampir

Un nombre vampir és aquell que es pot descompondre en el producte de dos "nombres ullals" que tenen les mateixes xifres que el "vampir". Per exemple 1260 = 21 x 60. Tant el "vampir" com els "ullals" tenen les xifres 1, 2, 6 i 0.

Abundants, deficients i perfectes i algunes relacions

Aquesta classificació numèrica té el seu origen a l’antiga Grècia. Per saber de quin tipus és un nombre hem de sumar tots els seus divisors excepte ell mateix. Si la suma és superior al nombre serà abundant, si és més petita serà deficient i si obtenim exactament el mateix nombre, serà perfecte.

Exemples:

• Nombre abundant: 24 → 1+2+3+4+6+8+12 = 36 (36>24)

• Nombre deficient: 15 → 1+3+5 = 9 (9<15)

• Nombre perfecte: 6 → 1+2+3 = 6 (6=6)

Explorar a quin tipus pertany un nombre és una bona excusa per buscar tots els divisors d’un nombre amb algun objectiu clar. Per altra banda, com en casos anteriors, podem cercar a internet conjectures, llistes, propietats relacionades amb aquests nombres.

També hi ha relacions entre nombres basades en la llista dels seus divisors.

• Nombres amics: Dos nombres són amics si la suma dels divisors d’un d’ells té com a resultat l’altre, i viceversa.

Per exemple, 220 i 284 són amics

220 → 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

284 → 1+2+4+71+142 = 220

Una altra opció és investigar, amb els més grans, els números sociables.

Més d’una cosa a la vegada

Un joc interessant pot ser mirar a quantes “famílies” pertany un nombre.

Per exemple, el 28 és un nombre parell, compost, perfecte, feliç...

Nombres figurats

Un altre exemple d’estudi que ve de l’antiga Grècia. Aquest tipus de nombres convé estudiar-los, si més no inicialment, amb material (fitxes, multilink, cigrons...)

• Nombres triangulars

La formació dels nombres triangulars la podem veure a l’esquema.

Aquest tipus de nombres apareixen en molts problemes com, per exemple, investigar quants cubets necessitem per construir una torre com la de la imatge inferior.

Els nombres triangulars també apareixen quan busquem quants partits es juguen a una lliga de n equips.

Amb la sèrie de nombres triangulars podem fer investigacions diverses:

• Trobar una fórmula que ens doni el nombre triangular n de la sèrie.

• Trobar una fórmula que ens permeti saber si un nombre és triangular o no.

• Mirar què obtenim si multipliquem un nombre triangular per 9 i sumem 1. Justificar-ho visualment.

• Buscar on són els nombres triangulars al triangle de Pascal.

• Nombres quadrats

Els nombres quadrats també els podem representar amb fitxes.

També podem investigar propietats i relacions. Per exemple:

• • • • La relació entre els nombres quadrats i la suma de senars consecutius.

• • • • Veure que la suma de dos nombres triangulars consecutius dóna un nombre quadrat.

• • • • Observar que si multipliquem per 8 un nombre triangular i sumem 1 obtenim sempre un nombre quadrat.

• • • • Estudiar el problema de Waring que diu que qualsevol nombre natural es pot descompondre en la suma de, com a molt, quatre nombres quadrats.

• Altres nombres figurats

De la mateixa manera podem estudiar altres nombres figurats com els pentagonals, hexagonals, piramidals, etc. I investigar les taules, les fórmules per obtenir-los, relacions entre tipus de nombres poligonals (especialment entre els triangulars i els altres tipus), etc.

Podeu veure algunes activitats per a 4t d'ESO del taller anemx+mates en aquest enllaç.

I una proposta final

La professora Cecilia Calvo, al seu centre, fa murals per exposar diferents famílies de nombres. És una idea a recollir.

Llistes de nombres