Polinomis

Fes la divisió per la regla de Ruffini indicant el quocient i el residu de les divisions:

• a) (x3 – x2 – 7x + 3) : (x – 3)

• Solució: q(x) = x2+2x–1 , r(x) = 0

• b) (3x4 + 2x3 + 3x + 1) : (x + 1)

• Solució: q(x) = 3x3–x2+x+2 , r(x) = –1

• c) (4x5 + 2x3 + x2 – x – 5) : (x – 3)

• Solució: q(x) = 4x4+12x3+38x2+115x+344 , r(x) = 1027

• d) (– 2x3 + 6x2 + 8x + 3) : (x+1)

• Solució: q(x) = –2x2+8x , r(x) = 3

• e) ( 6x6 – 3x4 + 5x3 – 2x – 1 ) : ( x + 3 )

81. Fes la descomposició factorial dels polinomis següents, bo i aplicant productes notables.

• • x2 + 2x + 1

  • x2 – 2x + 1

  • x2 + 6x + 9

  • x2 – 6x + 9

  • x2 + 4x + 4

  • x2 – 4x + 4

  • x2 – 1

  • x2 – 16

  • 4 – x2

  • (x + 1)2 – 1

  • (x + 1)2 – 9

  • (x – 2)2 – 16

  • (x + 1)2 – (x – 1)2

  • (x + 2)2 – x2

  • x2 – ( 3 – x )2

  • ( 3x + 2 )2 – ( x – 5 )2

82. Fes la descomposició factorial dels polinomis següents, bo i traient factors comuns i aplicant productes notables.

• • 4x2 + 8x + 4

  • 4x2 – 20x + 25

  • x3 – 10x2 + 25x

  • x3 – 12x2 + 36x

  • 3x3 – 24x2 + 48x

  • 6x4 + 36x3 + 54x2

  • x4 – 4x2

  • x5 – x3

  • 4x2 – 2x

  • x2 + 6x3

  • 4x3 – 4x2

• • 5x2 + 125

  • 5x2 – 125

  • 2x2 – 32

  • 3x – 27x3

  • 6x5 – 216x3

  • 4x3 – 4x

• • 30x2 – 3000

  • 4x2 – 100

  • 40x2 – 1000

  • 4x3 – 100x

83. Fes la descomposició factorial dels polinomis següents, bo i traient factors comuns i reduint termes semblants.

• (x + 2)(x – 3)(x + 5) – (x – 4)(x + 2)(x – 3)

• (x2 – 5)(x + 1) – (x2 – 5)

• (7x – 1)(2x +3)2 – (1 + 7x)(2x + 3)2

• (x – 1)2(x + 2)2 – (x – 1)(x + 2)(x2+ x + 3)

• (x – 5)(3x + 2) – (x – 5)(2x + 1)

• ( x + 1 )·( 2x – 4 ) – ( x + 1 )·( x – 8 )

84. Fes la descomposició factorial dels polinomis següents i indica quines són les seves arrels:

• • x2 – 7x + 10

  • x2 + 5x + 6

  • x2 – 3x – 10

  • x2 – 5x – 6

  • x2 – 7x – 30

  • x2 + 2x – 8

  • x2 + 3x – 4

  • x2 + 5x – 24

  • 3x2 – 3x – 6

  • 3x2 – 5x + 2

  • 5x2 + 15x – 90

85. Fes la descomposició factorial dels polinomis següents i indica quines són les seves arrels:

• x3 + 5x2 – 4x – 20

• x3 – 5x2 + 3x + 9

• x3 – 7x2 + 36

• x3 – 6x2 + 11x – 6

• x3 + 6x2 + 11x + 6

• x3 – 3x2 – 6x + 8

• x3 + 5x2 – 9x – 45

• 2x3 − 5x2 − x + 6

• x3 + x2 – 21x – 45

• 2x3 – 6x2 – 12x + 16

• x3 – 12x2 + 36x

• 4x3 + x2 – 11x + 6

86. Fes la descomposició factorial dels polinomis següents i indica quines són les seves arrels:

• a) x4 + 2x3 – 3x2 – 4x + 4

• b) x4 – 2x3 – 3x2 + 4x + 4

• c) x4 + 2x3 – 7x2 – 8x + 12

• d) x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2

• e) x4 – 9x2 + 4x + 12

• f) x4 – 2x3 – 13x2 + 14x + 24

• g) x4 + 2x3 – 15x2 + 4x + 20

• h) x4 + 3x3 – x2 – 3x

• j) 4x4 – 4x3 – 25x2 + x + 6

• k) 4x4 + 4x3 – 15x2 – 7x + 14

• l) 8x4 + 18x3 – 6x2 – 20x

87. Fes la descomposició factorial dels polinomis següents i indica quines són les seves arrels:

• x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1

• x5 – 3x4 – 3x3 + 9x2 – 4x + 12

• x5 – 2x4 – 15x3 – 4x2 + 20x

• x5 – x4 – 21x3 – 11x2 + 68x + 60

• 2 x5 – 14 x4 + 72 x2

• x5 – 2x4 – 5x3 + 2x2 + 4x + 24

• x5 – 9x3 + 4x2 + 12x

79. Calcula les arrels enteres dels polinomis següents:

• • b) x4 + 2x3 – 15x2 + 4x + 20

  • c) x5 – 5x4 + x3 + 5x2 + 22x + 24

  • d) x5 – 3x4 – 3x3 + 9x2 – 4x + 12

  • e) x5 – 9x3 + 4x2 + 12x

  • f) x4 – 5x3 + 3x2 + 14x – 40

30. Troba a per tal que el residu de la divisió  (x3 + ax2 + 2x – 1) : (x – 3)  sigui  68

• Solució: a = 4

31. Sense fer la divisió, troba el residu de dividir x4 – 5x3 + 3x – 1 per x – 3

• Solució: r = –46

32. Sense fer la divisió, troba el residu de dividir   – 2x3 + 5x – 3   per   x + 2

• Solució: r = 3

34. Esbrina si les següents divisions són exactes sense fer-les.

1. • a) (x3 – x + 1) : (x – 2)

   • Solució: r = 7

   • b) (x5 + x4 – 2) : (x – 1)

   • Solució: r = 0

   • c) (x2 – 9) : (x + 3)

   • Solució: r = 0

35. Calcula el residu de les divisions següents:

• c) (x513 – x124 + 2x49 + 3x) : (x + 1)

• Solució: residu = –7

• d) (x512 – x126 + 2x51 + 3) : (x + 1)

• Solució: residu = 1

• e) (3x5152 – 2x111 + x53 - 4) : (x + 1)

• Solució: residu = 0

37. Troba el valor de m perquè en dividir   = mx3 – x2 + 1   per   x – 2   el residu sigui 13.

38. Determina el polinomi de grau 2 que satisfà les condicions següents...

• El coeficient director és 1.

• El terme independent és 5.

• En dividir-lo pels binomis  x – 1  i  x – 2  s’obté el mateix residu.

44. Dels polinomis següents, quins són divisibles per   x + 1 ?

• x18 + 1

• x21 – 1

• x32 – 1

• x19 + 2

46. Troba el valor de  a  per tal que  x3 – x2 + a  sigui divisible per  x + 2.

• Solució: a = 12

47. Troba el valor de  a  per tal que el polinomi    – 2x3 + ax   sigui divisible per    x + 2

49. Donat el polinomi  P(x) = 2x3 – x2 + x + a ,  troba el valor de a per tal que sigui divisible per  x + 2.

50. Troba el valor de  a  per tal que el polinomi    x4 – 3x2 + 4x – 2a   sigui divisible per    x + 2.

• Solució: a = 2

51. Troba el valor de  a  per tal que el polinomi    x4 – 2x2 + 2ax – 4   sigui divisible per    x + 2.

• Solució: a = 1

53. Calcula  k  per tal que  P(x) = x3 – 5x2 + kx  sigui divisible per  x2 – x

55. Determina els valors de a i b per tal que el polinomi P(x) = x3 – 3x2 + ax + b   sigui divisible per  x–1 i per x+2

63. Calcula el valor de  k  perquè el polinomi  x4 + 3x3 – 6x2 + 8x + k  tingui com a arrel el nombre  –3.

65. Donat el polinomi p(x) = 3x3 – ax + 7, determina el valor de a si sabem que –2 és una arrel del polinomi p(x).