Problemes de 2n grau

1. La suma d’un nombre i el seu quadrat és 56. Troba aquest nombre.

Solucions: –8 i 7

2. La suma d’un nombre i el seu quadrat és 650. Troba aquest nombre.

Solucions: –26 i 25

3. Troba un nombre tal que el doble del seu quadrat sigui igual a sis vegades aquest nombre.

Solucions: 0 i 3

4. La diferència entre el quadrat d’un nombre i aquest nombre és 42. Troba aquest nombre.

Solucions: 7 i –6

5. El producte d’un nombre natural pel seu següent és 272. Calcula aquest nombre.

Solució: 16

6. La suma dels quadrats de dos nombres enters consecutius és 265. Troba aquests nombres.

1a solució: 11 i 12 //// 2a solució: –12 i –11

7. El producte d’un nombre natural pel seu següent és 31 unitats major que cinc vegades la suma de tots dos. Quins són aquests nombres ?

8. El quadrat de la suma de dos nombres naturals consecutius és 8 unitats major que el quadrat del menor. Quins són aquests nombres ?

3x2 + 4x – 7 = 0 → Solució: Els nombres són 1 i 2

9. Troba un nombre del qual sabem que la seva meitat més la seva tercera part és igual al seu quadrat menys 31 unitats.

–6x2 + 5x + 186 = 0 → Solucions: El nombre pot ser el 6 o el –31/6

10. La diferència entre dos nombres és 2 i el seu producte és 143. Troba aquests nombres.

1a solució : 11 i 13 //// 2a solució : –13 i –11

11. L’àrea d’un rectangle és de 40 cm2. Calcula’n la base i l’altura sabent que la primera és 3 cm més llarga que la segona.

Solució: 5cm i 8 cm

12. L’àrea d’un rectangle és de 40 cm2. Calcula’n la base i l’altura sabent que la primera és 9,3 cm més llarga que la segona.

Solució: base 12,5 cm i altura 3,2 cm (l’altra solució no pot ser)

13. Una parcel·la rectangular té una superfície de 37.500 m2. Si la base fa 100 m més que l’alçada, quines són les dimensions de la parcel·la ?

Solució: base 250 m i altura 150 m (l’altra solució no pot ser)

14. Per tancar una finca rectangular de 750 m2 s’han utilitzat 110 m de tanca. Calcula les dimensions de la finca.

Solució 1: 25 m de llarg per 30 m d’ample ; Solució 2: 30 m de llarg per 25 m d’ample

15. Per tancar una finca rectangular de 0,42 hectàrees s’han fet servir 260 m de filat. Calcula les dues dimensions de la finca.

Solució 1: 60 m de llarg per 70 m d’ample ; Solució 2: 70 m de llarg per 60 m d’ample

16. L’Anna vol fer el marc d’un quadre amb un llistó de fusta de 2 m, sense que en sobri ni en falti. Si el quadre és rectangular i té una superfície de 24 dm2, de quina longitud han de ser els trossos que ha de tallar ?

Solució 1: 6 dm de llarg per 4 dm d’ample ; Solució 2: 4 dm de llarg per 6 dm d’ample

17. En augmentar en 5 m el costat d’un quadrat, la seva superfície augmenta en 75 m2. Calcula el costat del quadrat inicial.

Solució: 5 m

18. Si s’augmenta en 3 m el costat d’un quadrat, la superfície ho fa en 75 m2. Quina és la longitud del costat ?

Solució: 11 m

19. En un triangle rectangle, el costat més gran és 3 cm més llarg que el mitjà, el qual també és 3 cm més llarg que el petit. Quant mesuren els costats ?

Solució: 15 cm , 12 cm i 9 cm

20. Calcula la hipotenusa d’un triangle rectangle sabent que el primer catet és 2 cm més curt que ella i que el segon catet és 2 cm més curt que el primer.

Solució: hipotenusa = 10 cm (l’altra solució, x=2 no pot ser)

21. La hipotenusa d’un triangle rectangle fa 40 m. Calcula els dos catets si sabem que entre tots dos fan 56 m.

Solució: 32 m i 24 m

22. En un triangle rectangle, un dels catets mesura els 3/5 de la hipotenusa i l’altre catet mesura 5 cm menys que aquesta. Troba el perímetre del triangle.

Solució: 25 + 20 + 15 = 60 cm

23. Els costats d’un triangle mesuren 18 cm, 16 cm i 9 cm. Si restem una mateixa quantitat als tres costats, n’obtenim un triangle rectangle. Quina quantitat és aquesta ?

Solució: x2 – 14x + 13 = 0 → 1 cm

25. La diagonal d’un rectangle fa 26 cm. Calcula’n la base i l’altura sabent que la primera és 14 cm més llarga que la segona.

Solució: base 24 cm i altura 10 cm (l’altra solució no pot ser)

26. La diagonal d’un rectangle mesura 6 cm i la base és el doble de llarga que l’altura. Planteja l’equació corresponent i calcula’n la base, l’altura, el perímetre i l’àrea.

27. La diagonal d’un rectangle mesura 25 cm. Calcula les dimensions del rectangle sabent que el seu perímetre és 70 cm.

Solució 1: base = 20 cm , altura = 15 cm

Solució 2: base = 15 cm , altura = 20 cm

28. La diagonal gran d’un rombe fa 18 cm. Si la diagonal petita té la mateixa longitud que el costat del rombe, quina és la longitud d’aquest costat ?

Solució: 10,392 cm

PAU 1997

Quina és la superfície del cercle en el qual podem inscriure un triangle equilàter de perímetre 60 centímetres ?

Solució: radi=(20√3)/3 m = 11,55 m