Problemes d'optimització PAU2026

PAU CTEC 2026.1.4A - Parc infantil amb dos espais

L’alcalde d’un poble de Catalunya encarrega a l’arquitecte municipal el disseny d’un parc infantil que es construirà en un terreny públic. Per a complir la normativa vigent, en el parc hi ha d’haver dos espais ben delimitats: un per a una boca de reg —el qual, segons l’arquitecte, ha de tenir forma circular—, i un altre per a una caseta on es guardin les eines de manteniment —el qual ha de tenir forma quadrada. Per motius estètics, l’arquitecte vol delimitar cadascun d’aquests dos espais amb una barana de forja. Sabent que les dues baranes mesuren exactament 10 m de longitud en total, quina mida ha de tenir la barana de cada espai per tal que la suma de les superfícies dels dos espais sigui la més petita possible? Quina és aquesta superfície mínima?

PAU CTEC 2026.5.3.3 - Hores de pràctica esportiva

L’Alba és una estudiant de batxillerat que ha anat anotant durant tot el curs quantes hores dedicava a la setmana a llegir i quantes a fer esport. Per a cada setmana té apuntat un nombre real x que correspon a la quantitat d’hores de lectura i que osciŀla entre 1 i 6, i un nombre real y que correspon a la quantitat d’hores de pràctica esportiva. Ha observat que la relació y = 7 – x + ln(2x – 1) s’ajusta força bé a les dades que ha anotat.

• 3.3. Calculeu, segons aquest model, quin és el màxim i el mínim d’hores per setmana que l’Alba ha dedicat a practicar esport. [1 punt] 

PAU CSOC 2026.1.1 - Divulgació sobre salut a les xarxes socials

Un metge comença a fer divulgació sobre salut a les xarxes socials. A mesura que publica continguts relacionats amb aquest tema, observa un augment en el nombre de seguidors. En un moment determinat grava un vídeo polèmic i perd un petit nombre de seguidors, però al cap d’uns dies en publica un altre que té molt d’èxit i, a partir d’aleshores, el nombre de seguidors torna a créixer. La funció que descriu el nombre de seguidors en funció del temps t, mesurat en setmanes, és f(t) = 10t3 – 120t2 + 450t + 700, t ∈ [0, 10].

• 1.1. Quants seguidors té a l’inici? Quants en té al cap de 10 setmanes? Estudieu els intervals de creixement i decreixement de la funció i determineu-ne els extrems locals. Feu un esbós de la gràfica utilitzant la informació obtinguda. [1,5 punts]

• 1.2. Quina setmana penja el vídeo polèmic i quants seguidors té en aquell moment? Quina setmana penja el vídeo que té molt d’èxit? Al llarg de les 10 setmanes, en quin moment té més seguidors? [1 punt]

PAU CSOC 2026.5.3 - Local d'oci nocturn

En una localitat costanera han obert un nou local d’oci nocturn amb diverses pistes de ball i zones de descans. Per a accedir-hi, cal comprar una entrada que inclou una consumició. Després d’unes quantes setmanes, els propietaris s’han adonat que si el preu de l’entrada és de 15 €, l’afluència és de 180 clients. També s’han adonat que la relació entre el preu de l’entrada i el nombre de clients és lineal, de manera que per cada euro de més en el preu de l’entrada perden 20 clients. L’aforament del local és de 320 persones.

• 3.1. Comproveu que el nombre de persones que entren al local en funció del preu és donat per la funció f(x) = 480 – 20x. A partir de quin preu cal vendre l’entrada per a aconseguir omplir el local? A quin preu no hi anirà ningú? [0,75 punts]

• 3.2. Trobeu una funció que determini els ingressos obtinguts amb les entrades en funció del preu de l’entrada. Quins són els ingressos quan el preu de l’entrada és de 15 €? I quan és de 18 €? [0,75 punts]

• 3.3. A quin preu cal posar l’entrada per a obtenir el màxim d’ingressos? Quins són aquests ingressos? [1 punt]

(3.1) 8 € , 24 € ; (3.2) I(x) = −20x^2+480 x , 2700 € , 2160 € ; (3.3) 12 € , 2880 €

PAU CSOC 2026.5.4B.1 - Paraigües plegables i paraigües bastó

A en Bernat l’han contractat com a gerent d’una empresa que fabrica paraigües després que el gerent anterior fos acomiadat per no guardar convenientment la documentació. Aquesta empresa fabrica dos models de paraigües: paraigües plegables i paraigües bastó.

• 4.1. Tenint en compte el cost de fabricar i emmagatzemar els paraigües plegables, la funció que expressa el benefici, en milers d’euros, que resulta de fabricar aquest producte és p(x) = x(3 – x), en què x representa el nombre de paraigües fabricats, en centenars d’unitats. Considerant els mateixos factors, la funció de benefici dels paraigües bastó és b(x) = (–2/5)x2 + 2x. L’empresa fabricarà el nombre de paraigües de cada tipus que maximitzi la seva funció de beneficis. Amb quin dels dos productes es necessita una menor quantitat de paraigües per a assolir el màxim de beneficis? Amb quin dels dos productes s’obtenen més beneficis? [1,25 punts]

150 paraigües plegables , 250 paraigües bastó ; 2250 € paraigües plegables , 2500 € paraigües bastó