Distribució normal

Els pesos dels individus d’una població es distribueixen normalment amb una mitjana de 70 kg i una desviació típica de 6 kg. D’una població de 2000 persones, calcula quantes tindran un pes inferior a 76 kg.

S'ha passat un test d’agressivitat a tres-cents nois i noies de 12 anys i s’ha observat que els resultats es distribueixen normalment amb una mitjana de 30 punts i una desviació típica de 12. Calcula:

• Quina proporció de nois i noies tenen una puntuació entre 20 i 35?

• Quants nois i noies tenen una puntuació superior a 42?

D'un test aplicat a 400 persones s’ha obtingut una distribució normal de mitjana 60 i desviació típica 5. Si se suspèn al 67 % de les persones, quina és la puntuació mínima per aconseguir aprovar?

La durada mitjana d’un rentavaixelles és de 15 anys amb una desviació típica de 0,5 anys. Si la vida útil de l’electrodomèstic es distribueix normalment, calcula la probabilitat que el rentavaixelles duri més de 16 anys.

En una regió determinada hi ha una mitjana de precipitacions anuals de 2000 L/m2, amb una desviació típica de 300 L/m2. Suposant que es tracta d’una distribució normal,

• Calcula la probabilitat que l’any vinent la quantitat de pluja no superi els 1200 L/m2.

• Quina quantitat de pluja ha de caure, com a mínim, perquè la probabilitat de l’apartat anterior sigui de 0,8238 ?

En un examen fet a un gran nombre d’estudiants s’ha comprovat que les qualificacions obtingudes corresponen raonablement a una distribució normal amb qualificació mitjana de 6 i desviació típica de 1. Si s’agafa a l’atzar un alumne, quina és la probabilitat que la seva qualificació estigui compresa entre 6,7 i 7,1?

El quocient intel·lectual d’uns universitaris es distribueix normalment amb una mitjana de 100 i una desviació típica d’11. Se’n tria un a l’atzar. Calcula la probabilitat que el seu quocient intel·lectual es trobi entre 100 i 103.

El pes de les truites d’un piscifactoria segueix una llei normal de mitjana 200 g i desviació típica 50 g. Si n’agafem una a l’atzar, calcula les probabilitats següents:

• Que pesi més de 230 g.

• Que no pesi més de 175 g.

• Que el seu pes estigui comprès entre 185 g i 225 g (ambdós inclosos).

• Volem seleccionar el 20% de les truites de major pes. A partir de quin pes les haurem d’agafar ?

• Quin paràmetre hauríem de canviar d’aquesta distribució per tal que p (X < 190) = 0,5 ? De quina manera ?

La nota d’un determinat examen de Matemàtiques es distribueix normalment amb una mitjana de 5 punts i una desviació típica d’ 1,5. Si escollim un alumne a l’atzar (dels que han fet l’examen), calcula les probabilitats següents:

• Que hagi obtingut una puntuació superior o igual a 3,5 punts.

• Que la seva puntuació sigui superior a 9 punts.

• Que la seva puntuació sigui superior a 4 punts i inferior a 8.

El pes dels nadons en una població segueix una distribució normal amb mitjana μ = 3,5 kg i desviació típica σ = 0,2 kg.

a) Quina és la probabilitat que un nadó pesi més de 4 kg? I menys de 3,8 kg?

b) Quin és el pes que és superat pel 45 % dels nadons? 

0,0062 ; 0,9332 ; 3,526 kg

En una població s’estableixen dos grups A i B. Els quocients intel·lectuals d’ambdós grups es distribueixen segons N(100, 30) i N(120, 35), respectivament. S’escull un individu de cada grup de manera aleatòria i independent. Calcula:

• a) La probabilitat que l’individu del grup A tingui un quocient intel·lectual superior a 90.

• b) La probabilitat que l’individu del grup B tingui un quocient intel·lectual superior a 90.

• c) La probabilitat que ambdós tinguin un quocient intel·lectual superior a 90.

a) P = 0,6293; b) P = 0,8051; c) P = 0,50665 

Suposem que el pes dels atletes de marató segueix una distribució normal N(62, 3,4).

• a) Calcula la probabilitat que un atleta pesi més de 65 kg.

• b) El 70 % dels atletes no supera un determinat pes. Quin és aquest pes?

a) p = 0,1894; b) 63,768 kg 

En una ciutat s'estima que la temperatura màxima el mes de juny segueix una distribució normal, amb mitjana 23º i desviació típica 5º. Calcula quants dies del mes de juny podem esperar que s'arribi a màximes entre 21º i 27º.

13 dies

Diversos tests d'intel·ligència han donat una puntuació que segueix una distribució normal amb mitjana 100 punts i desviació típica 15.

• Determina el percentatge de la població que obtindria un coeficient entre 95 i 110.

• Quin interval centrat en 100 conté el 50% de la població?

• En una població de 2500 individus, quants s’espera que tinguin un coeficient superior a 125?

37,79%  ;  (90,110)  ;  119

Després d'un test de cultura general, s'observa que les puntuacions obtingudes segueixen una distribució N(65,18). Es vol classificar els examinats en tres grups (baixa cultura general, cultura general acceptable i cultura general excel·lent) de manera que el 20% de la població pertanyi al primer grup, el 65% al segon i el 15% al tercer. Quines han de ser les puntuacions que marquin el pas d'un grup a l'altre?

50 punts i 84 punts

Se suposa que els resultats d’un examen segueixen una distribució normal amb mitjana 78 i desviació típica 36. Es demana:

• Quina és la probabilitat que una persona que es presenta a l’examen obtingui una qualificació superior a 72?

• Es consideren No-Aptes el 25% dels estudiants amb les puntuacions més baixes. Calcula la proporció d’estudiants que tenen puntuacions que superen almenys en cinc punts la puntuació que marca la frontera entre Aprovat i No-Aprovat.

• Si se sap que la qualificació d’un estudiant és superior a 72, quina és la probabilitat que la seva puntuació sigui, de fet, superior a 84?

0,5636  ;  70,19%  ;  0,774