Probabilitat condicionada

2. En un panell electrònic hi ha 4 interruptors, dels quals només un encén un llum. Considerem l’experiment aleatori que consisteix a anotar el nombre d’interruptors que he de prémer per encendre el llum. Descriu l’espai mostral i calcula la probabilitat de cada un dels esdeveniments elementals.

Solució: p(1) = ¼ , p(2) = ¼ , p(3) = ¼ , p(4) = ¼

Urna amb boles roges i negres, sense reposició

Una urna conté tres boles roges i dues de negres, que es van extraient d’una en una, sense reposició. Calculeu:

• a) La probabilitat que les dues primeres boles extretes siguen del mateix color. (3 punts)

• b) La probabilitat que les dues primeres boles extretes siguen negres, sabent que la tercera és roja. (4 punts)

• c) La probabilitat que, en extraure les cinc boles, cadascuna siga de color diferent de l’extreta anteriorment. (3 punts)

Urna amb boles vermelles i negres

4. Agafem successivament dues boles d’una urna en la qual n’hi ha nou de vermelles i cinc de negres.

• Raona si es tracta de dues extraccions dependents o independents.

• Calcula la probabilitat que la primera bola sigui vermella i la segona negra.

• Calcula la probabilitat que una bola sigui vermella i l’altra negra.

45/182 , 45/91

Dues urnes amb boles numerades

5. L’urna X conté 10 boles iguals numerades de l’1 al 10. L’urna Y conté 5 boles iguals numerades de l’1 al 5. L’urna Z conté 3 boles iguals numerades amb els múltiples de 3 més petits que 10. Escollim a l’atzar una urna i n’agafem una bola. Calcula la probabilitat de...

• Treure una puntuació parella.

• Treure una puntuació senar.

• Treure un múltiple de 3.

0,41 ; 0,59 ; 0,50

PAU CTEC 2025.1.3 - Peces de ferro, acer i titani

Una empresa produeix dos tipus de peces, de ferro i d’acer. El 60 % de la producció total correspon a peces de ferro i la resta són d’acer. Sabem que el 95 % de les peces de ferro produïdes no tenen cap defecte, mentre que el 3 % de les peces d’acer són defectuoses.

• a) Si agafem una peça a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuosa? [0,75 punts]

• b ) L’empresa aviat diversificarà la producció i començarà a produir també peces de titani, que es vendran en paquets de 5. Si la probabilitat que una peça de titani sigui defectuosa és un valor desconegut p, i cada peça és defectuosa independentment de les altres, comproveu que l’expressió que ens dona la probabilitat que en un paquet de 5 peces n’hi hagi exactament 4 de defectuoses (en funció de p) és f(p) = 5 ( p4 – p5 ). [0,75 punts]

• c) Considereu la funció f(p) de l’apartat anterior. Determineu el valor màxim que pren f(p) quan p ≥ 0. [1 punt]

(a) 0,042

(c) màxim amb p=4/5 --> f(4/5) = 0,41

PAU CTEC 2024.0.5 - Joc amb una moneda

L'Anna i el Blai juguen al joc següent: començant per l'Anna, s'alternen tirant una moneda equilibrada fins a un màxim de 4 cops cadascú; el primer que obtingui cara guanya, i si els hi surten vuit creus empaten.

a) Calcula la probabilitat que guanyi l'Anna i la probabilitat que guanyi el Blai. Qui té més possibilitats de guanyar?

Resposta: p(guanya Anna) = 0.66406 , p(guanya Blai) = 0.33203

b) Aquestes dues quantitats han de sumar 1? Justifica la resposta.

Resposta: p(empatar) = 0.0039063

c) Ara suposem que la moneda està trucada i que la probabilitat que surti cara en una tirada és 0<p<1. Quant ha de ser p per tal que l'Anna tingui el triple de possibilitats de guanyar el joc? (AJUDA: és independent de la quantitat de vegades que tiren la moneda, es pot fer analitzant només un llançament de cadascun)

Resposta: p = 2/3

PAU CTEC 2024.0.6 - Joc amb un dau

Tirem un dau equilibrat repetides vegades fins que surti un sis, moment en el qual parem.

a) Quina és la probabilitat que després de n tirades encara no hagi sortit cap sis?

b) Quantes tirades hem de fer, com a mínim, per tal que la probabilitat que surti un sis sigui igual o superior a 0.95?

Resposta: 17 llançaments

c) Sabent que ens ha sortit el primer sis a la cinquena tirada, quina és la probabilitat que no hagi sortit cap cinc ni cap quatre?

Resposta: 0.1296