Probabilitat condicionada

Experiments dependents i independents

Dos experiments s’anomenen independents quan el resultat de cada un no depèn del resultat de l’altre.

Exemples d'experiments independents:

• Treure dues cartes d’una baralla amb reemplaçament / reposició (tornant la carta que agafem a la baralla).

• Llançar cinc daus són cinc experiments independents.

Exemples d'experiments dependents:

• Extreure tres cartes d’una baralla sense reposició.

• Elecció de dos alumnes del grup-classe.

Esdeveniments (o successos) dependents i independents

P(B/A) = “probabilitat que succeeixi B si sabem que ha succeït A”

• Esdeveniments independents: P(B) = P(B/A)

  • • P(A⋂B) = P(A) · P(B)

    • P(A⋂B⋂C) = P(A) · P(B) · P(C)

    • Exemple: P(surtin tres 5's en llançar 3 daus) = 1/6 · 1/6 · 1/6 = 1/216

• Esdeveniments dependents: P(B) ≠ P(B/A)

  • • P(A⋂B) = P(A) · P(B/A)

    • P(A⋂B⋂C) = P(A) · P(B/A) · P(C/A⋂B)

    • Exemple: P(surtin 3 cartes de cors en treure 3 cartes) = 13/52 · 12/51 · 11/50 = 11/850

Proves eliminatòries d'un concurs televisiu

37. Un concurs televisiu consta de tres proves eliminatòries. Les probabilitats de quedar eliminat en cada prova són: 0,55 en la primera, 0,3 en la segona i 0,4 en la tercera. Calcula la probabilitat de superar les tres proves.

Solució: 0,189

A, B, C jugant partides

39. Tres jugadors “A”, “B”, “C” que en saben igual, juguen partides consecutives. Qui guanya una partida s’adjudica un punt. Guanya el joc el primer que aconsegueix tres punts. “A” ha guanyat la primera partida i la tercera. “B” ha guanyat la segona. Calculeu les probabilitats que té cada jugador de guanyar el joc.

Curses de cavalls

41. Els cavalls, Bavossall, Llançacaps i Farfallós tenen probabilitat de guanyar una cursa (disputada entre ells) de 1/2, 1/3 i 1/6, respectivament. Si fan dues curses, calculeu les probabilitats següents:

• a) Que Bavossall guanyi les dues curses.

• b) Que Bavossall guanyi la primera cursa i Llançacaps la segona.

• c) Que Llançacaps guanyi la primera cursa i Farfallós la segona.

• d) Que Bavossall guanyi una cursa i Llançacaps l’altra.

• e) Que Llançacaps guanyi una cursa i Farfallós l’altra.

42. La probabilitat que l’home A visqui 10 anys més és 1/4. La probabilitat que la dona B visqui 10 anys més és 1/3. Considerant que els dos esdeveniments són independents, calcula les probabilitats següents:

• a) Que l’home A i la dona B siguin vius d’aquí a 10 anys.

• b) Que algun dels dos sigui viu (d’aquí a 10 anys).

• c) Que cap dels dos no sigui viu.

• d) Que únicament la dona sigui viva.

Urna amb boles vermelles i negres

4. Agafem successivament dues boles d’una urna en la qual n’hi ha nou de vermelles i cinc de negres.

• a) Raona si es tracta de dues extraccions dependents o independents.

• b) Calcula la probabilitat que la primera bola sigui vermella i la segona negra.

• c) Calcula la probabilitat que una bola sigui vermella i l’altra negra.

45/182 , 45/91

Les claus mestres del lladre

43. Un lladre té 7 claus mestres i vol obrir una porta que només es pot obrir amb dues d’aquestes claus. Com que té pressa, escull a l’atzar una de les claus. Ho prova només amb una de les claus cada vegada, ja que l’alarma no li dóna temps a fer-ho amb més (si no pot obrir, ja no torna a provar aquella clau). Sabem que ha provat d’obrir la porta durant tres dies. Calcula la probabilitat...

• a) que no obri la porta el primer dia.

• b) que cap dels tres dies no hagi pogut obrir.

• c) que algun dia hagi pogut obrir la porta.

(a) 5/7  ;  (b) 10/35  ;  (c) 25/35

L'Andreu, la Berta i la Carla llancen una moneda

44. L’Andreu, la Berta i la Carla llancen una moneda per ordre alfabètic. Quan un dels tres treu cara es considera que ha guanyat i els altres ja no la llancen.

• a) Quina probabilitat té cada jugador de guanyar?

• b) Quina és la probabilitat que no guanyi ningú?

(a) Andreu 1/2 , Berta 1/4 , Carla 1/8  ;  (b) 1 / 8

Sac amb boles blaques, negres i vermelles

45. Dins d’un sac hi ha dues boles blanques, una bola negra i una bola vermella. En traiem dues. Calcula les probabilitats següents:

• a) Que les dues boles siguin del mateix color.

• b) Que les dues boles siguin de color diferent.

• c) Que la primera bola sigui vermella i la segona blanca.

Bossa amb boles negres, blanques i vermelles

46. Tenim una bossa amb 5 boles negres, 4 de blanques i 3 de vermelles. Llancem un dau: si surt un 1 o un 2 afegim una bola negra a la bossa, si surt un 3 o un 4 n’afegim una de blanca i si surt un 5 o un 6 n’afegim una de vermella. Un cop feta aquesta operació, traiem una bola a l’atzar de la bossa. Calcula la probabilitat que aquesta bola sigui vermella.

Solució: 10 / 39

Dues urnes amb boles blanques i negres

47. Una urna A conté 12 boles blanques i 20 negres. Una urna B en conté 15 de blanques i 18 de negres. S’extreu una bola de A i, sense mirar-la, s’introdueix a B. Quina és la probabilitat que en treure una bola de B, aquesta sigui blanca?

492/1088 = 45,2 %

Condemnat a mort al regne de Falàndia

49. Al llunyà regne de Falàndia, els condemnats a mort tenien l’oportunitat de salvar la vida si treien una bola blanca d’una urna en la qual n’hi havia 60 de blanques i 40 de negres.

Un condemnat va demanar la gràcia d’escollir la bola d’una altra manera. Demanava dues urnes i la possibilitat de distribuir les boles en elles com ell volgués. Llavors escolliria una urna a l’atzar i una bola de la urna triada. Si era blanca, salvaria la vida.

El rei va desconfiar una mica i li va dir que acceptava si en lloc de 60 boles blanques i 40 de negres eren 50 de cada color. El condemnat s’ho va rumiar una mica i va acceptar. Va distribuir les boles col·locant-ne una de blanca a la primera urna i les resta de boles (blanques i negres) a la segona urna.

Amb aquesta distribució, quina probabilitat té de salvar la vida?

Dues monedes i una urna amb boles blanques i negres

50. Disposem de dues monedes, una de normal i una altra amb dues creus. També tenim una urna amb deu boles: 4 blanques i 6 negres. Traiem dues boles. Si són del mateix color, tirem la moneda normal. En cas contrari, tirem la de dues creus. Calculeu les probabilitats següents:

• a) Que les dues boles siguin del mateix color.

• b) Que surti creu.

PAU CTEC 2025.1.3a - Peces de ferro, acer i titani

Una empresa produeix dos tipus de peces, de ferro i d’acer. El 60 % de la producció total correspon a peces de ferro i la resta són d’acer. Sabem que el 95 % de les peces de ferro produïdes no tenen cap defecte, mentre que el 3 % de les peces d’acer són defectuoses.

• a) Si agafem una peça a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuosa? [0,75 punts]

(a) 0,042

PAU CTEC 2024.0.5 - Joc amb una moneda

L'Anna i el Blai juguen al joc següent: començant per l'Anna, s'alternen tirant una moneda equilibrada fins a un màxim de 4 cops cadascú; el primer que obtingui cara guanya, i si els hi surten vuit creus empaten.

a) Calcula la probabilitat que guanyi l'Anna i la probabilitat que guanyi el Blai. Qui té més possibilitats de guanyar?

Resposta: p(guanya Anna) = 0.66406 , p(guanya Blai) = 0.33203

b) Aquestes dues quantitats han de sumar 1? Justifica la resposta.

Resposta: p(empatar) = 0.0039063

c) Ara suposem que la moneda està trucada i que la probabilitat que surti cara en una tirada és 0<p<1. Quant ha de ser p per tal que l'Anna tingui el triple de possibilitats de guanyar el joc? (AJUDA: és independent de la quantitat de vegades que tiren la moneda, es pot fer analitzant només un llançament de cadascun)

Resposta: p = 2/3

PAU CTEC 2024.0.6 - Joc amb un dau

Tirem un dau equilibrat repetides vegades fins que surti un sis, moment en el qual parem.

a) Quina és la probabilitat que després de n tirades encara no hagi sortit cap sis?

b) Quantes tirades hem de fer, com a mínim, per tal que la probabilitat que surti un sis sigui igual o superior a 0.95?

Resposta: 17 llançaments

c) Sabent que ens ha sortit el primer sis a la cinquena tirada, quina és la probabilitat que no hagi sortit cap cinc ni cap quatre?

Resposta: 0.1296