Probabilitat condicionada

Una empresa produeix dos tipus de peces, de ferro i d’acer. El 60 % de la producció total correspon a peces de ferro i la resta són d’acer. Sabem que el 95 % de les peces de ferro produïdes no tenen cap defecte, mentre que el 3 % de les peces d’acer són defectuoses.

• a) Si agafem una peça a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuosa? [0,75 punts]

• b ) L’empresa aviat diversificarà la producció i començarà a produir també peces de titani, que es vendran en paquets de 5. Si la probabilitat que una peça de titani sigui defectuosa és un valor desconegut p, i cada peça és defectuosa independentment de les altres, comproveu que l’expressió que ens dona la probabilitat que en un paquet de 5 peces n’hi hagi exactament 4 de defectuoses (en funció de p) és f(p) = 5 ( p4 – p5 ). [0,75 punts]

• c) Considereu la funció f(p) de l’apartat anterior. Determineu el valor màxim que pren f(p) quan p ≥ 0. [1 punt]

(a) 0,042

(c) màxim amb p=4/5 --> f(4/5) = 0,41

• a) A continuació, treu de la bossa dues boles a l’atzar, una darrere l’altra i sense reemplaçament (és a dir, no retorna a la bossa la primera bola abans de treure’n la segona).

  • Calculeu la probabilitat que la primera bola sigui una A o una E. [0,5 punts]

  • Calculeu la probabilitat que les dues boles tinguin lletres diferents. [0,75 punts]

• b) L’Andreu torna a posar totes les boles a la bossa i en treu cinc a l’atzar, una darrere l’altra, però ara amb reemplaçament (és a dir, ara sí que retorna a la bossa cada bola extreta abans d’agafar-ne la següent).

  • Calculeu la probabilitat que no hagi tret cap A. [0,5 punts]

  • Calculeu la probabilitat que hagi tret almenys dues A. [0,75 punts]

(a) 1/3 ; 17/18 = 0,944...

(b) 0,284... ; 0,308...

L'Anna i el Blai juguen al joc següent: començant per l'Anna, s'alternen tirant una moneda equilibrada fins a un màxim de 4 cops cadascú; el primer que obtingui cara guanya, i si els hi surten vuit creus empaten.

a) Calcula la probabilitat que guanyi l'Anna i la probabilitat que guanyi el Blai. Qui té més possibilitats de guanyar?

Resposta: p(guanya Anna) = 0.66406 , p(guanya Blai) = 0.33203

b) Aquestes dues quantitats han de sumar 1? Justifica la resposta.

Resposta: p(empatar) = 0.0039063

c) Ara suposem que la moneda està trucada i que la probabilitat que surti cara en una tirada és 0<p<1. Quant ha de ser p per tal que l'Anna tingui el triple de possibilitats de guanyar el joc? (AJUDA: és independent de la quantitat de vegades que tiren la moneda, es pot fer analitzant només un llançament de cadascun)

Resposta: p = 2/3

Tirem un dau equilibrat repetides vegades fins que surti un sis, moment en el qual parem.

a) Quina és la probabilitat que després de n tirades encara no hagi sortit cap sis?

b) Quantes tirades hem de fer, com a mínim, per tal que la probabilitat que surti un sis sigui igual o superior a 0.95?

Resposta: 17 llançaments

c) Sabent que ens ha sortit el primer sis a la cinquena tirada, quina és la probabilitat que no hagi sortit cap cinc ni cap quatre?

Resposta: 0.1296