Problemes d'optimització PAU2025

Una empresa produeix dos tipus de peces, de ferro i d’acer. El 60 % de la producció total correspon a peces de ferro i la resta són d’acer. Sabem que el 95 % de les peces de ferro produïdes no tenen cap defecte, mentre que el 3 % de les peces d’acer són defectuoses.

• a) Si agafem una peça a l’atzar, quina és la probabilitat que sigui defectuosa? [0,75 punts]

• b ) L’empresa aviat diversificarà la producció i començarà a produir també peces de titani, que es vendran en paquets de 5. Si la probabilitat que una peça de titani sigui defectuosa és un valor desconegut p, i cada peça és defectuosa independentment de les altres, comproveu que l’expressió que ens dona la probabilitat que en un paquet de 5 peces n’hi hagi exactament 4 de defectuoses (en funció de p) és f(p) = 5 ( p4 – p5 ). [0,75 punts]

• c) Considereu la funció f(p) de l’apartat anterior. Determineu el valor màxim que pren f(p) quan p ≥ 0. [1 punt]

(a) 0,042

(c) màxim amb p=4/5 --> f(4/5) = 0,41

• a) Calculeu el valor inicial de la inversió en començar el dia i determineu quin benefici o pèrdua haurà tingut al cap de 24 hores. Trobeu també a quina hora del dia el valor de la inversió ha estat màxim i quin era aquest valor màxim. [1,5 punts]

• b) Hi ha algun moment del dia en què el valor de la inversió és negatiu? Quin és el valor mínim que assoleix? [1 punt]

(a) valor inicial 250 euros ; benefici 1728 € ; màxim en x=24 amb 1978 €

(b) mínim a l'instant inicial amb 250 € ; no hi ha cap instant en què el valor de la inversió hagi estat negatiu.

Al Congrés Català d’Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d’universitat, d’educació secundària i d’educació infantil i primària. A hores d’ara, un 10 % dels docents inscrits són d’universitat, un 50 % són de secundària i la resta són d’infantil i primària. D’altra banda, un 40 % dels docents inscrits d’universitat, un 52 % dels docents inscrits de secundària i un 65 % dels docents inscrits d’infantil i primària són dones.

• opció B (b) Un hotel situat prop de l’espai on se celebrarà el Congrés ha fet un estudi de mercat. Inicialment es plantejaven oferir l’habitació doble a un preu de 80 € la nit i amb aquest preu estimaven que tindrien 100 reserves d’habitacions dobles. Però l’estudi mostra que la relació entre el preu de l’habitació doble i el nombre de reserves és lineal, de manera que per cada euro de descompte sobre el preu de l’habitació aconsegueixen dues reserves més. Si anomenem x el nombre de vegades que s’aplica el descompte d’un euro, escriviu la funció que dona els ingressos de l’hotel en funció de x. Quin ha de ser el preu de l’habitació doble per a maximitzar els ingressos? [1,25 punts]

(b) x = 15 --> el preu de l’habitació doble per maximitzar els ingressos ha de ser de 65 €

• a) Determineu el valor de k si sabem que a l’inici de l’estudi hi havia 50 microorganismes. Quin és el valor màxim de microorganismes al qual s’arribarà? En quin instant s’assolirà el màxim? [1,75 punts]

• b) En quin valor s’estabilitzarà el nombre de microorganismes a llarg termini? [0,75 punts]

(a) k = 5 ; 75 microorganismes a les 3 h

(b) 50 microorganismes

Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes:

1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l’empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer proveïdor ven l’oli a 3 €/L, la farina a 0,6 €/kg i la sal a 1 €/kg. El segon proveïdor ven l’oli a 3,5 €/L, la farina a 1 €/kg i la sal a 0,7 €/kg. Finalment, el tercer proveïdor ven l’oli a 2,5 €/L, la farina a 0,8 €/kg i la sal a 0,9 €/kg.

2. Elaboració, empaquetament i control de qualitat. Es fabrica i s’envasa la pasta. Posteriorment, es comprova que la pasta estigui ben feta i envasada correctament, i es verifica que els paquets pesin 500 g de mitjana.

3. Venda. L’estratègia de venda i el preu dels paquets es determinen fent un estudi de mercat.

• opció A (b) Cada paquet de pasta té un cost total de producció de 0,5 €. Si l’empresa el ven per 1,1 €, es venen 1.000 paquets diaris de pasta. També han comprovat que la relació entre el preu de venda i el nombre de paquets venuts és lineal, de manera que per cada 0,01 € que s’apuja el preu de venda del paquet disminueix en 10 el nombre de paquets venuts. Anomenarem x el nombre de cops que apugem 0,01 € el preu de venda del paquet. Trobeu la funció que descriu el benefici diari en funció de x i calculeu el valor de venda del paquet que fa que el benefici sigui màxim. Quin és aquest benefici? [1,25 punts]

(Ab) pujada de preu de 0,20 € ; benefici 640 € ; preu unitari del paquet 1,30 €

35 km/h ; 420 €