Càlcul d'àrees determinades per una funció

PAU CTEC 2022.2.1 , f′(x) = 3x2 – 12x , x = a (paràmetre)

Sigui  f′(x) = 3x2 – 12x  la derivada d’una funció f(x).

• a) Si sabem que f(x) talla l’eix de les abscisses en x = 1, calculeu l’expressió de la funció f(x). [0,75 punts]

• b) Calculeu l’abscissa del punt d’inflexió de f(x) i estudieu la concavitat de la funció. [0,75 punts]

• c) Sabem que l’àrea del recinte limitat per la corba y = f″(x), l’eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = a, amb a>2, és 15 u2 . Calculeu el valor de a. [1 punt]

(a) f(x) = x^3 − 6x^2 +5

(b) La funció té concavitat negativa o és còncava cap avall a l’interval (−∞,2)

Punt d'inflexió (2,-11) 

La funció té concavitat positiva o és còncava cap amunt a l’interval (2,+∞) 

(c) a = 3

PAU CTEC 2022.2.4

• a)  Trobeu una funció polinòmica y = g(x) de grau 3 tal que talli l’eix de les ordenades en el punt (0,5), que la recta tangent a y = g(x) en el punt d’abscissa x = 1 sigui horitzontal i que g″(x) = 2x + 1. [1 punt]

• b) Comproveu que la funció f(x) = –x3 + 6x2 – 16 té una arrel a x = 2 i que és estrictament creixent a l’interval (0,4). Utilitzeu aquesta informació per a calcular l’àrea determinada per la funció f(x), l’eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = 4. [1,5 punts]

(a) g(x) = (1/3)x3 + (1/2)x2 – 2x + 5 ; (b) 40 u^2 

PAU CTEC 2021.5.2 , f(x) = x3 – 9x , g(x) = 7x

Siguin les funcions f(x) = x3 – 9x i g(x) = 7x.

• a) Estudieu els intervals de creixement i decreixement de f(x). [1,25 punts]

• b) Calculeu l’àrea de la regió del semiplà x ≥ 0 compresa entre les gràfiques de f(x) i g(x). [1,25 punts]

(a) creix en (−∞,−√3) ∪ (√3,+∞) i decreix en (−√3,√3) ; (b) 64 u^2