PAU

Compte amb errors en aïllaments

• -64x = 0 → x = 0

Si estem resolent equacions, no es poden simplificar les x. Cal treure factor comú per no perdre solucions:

• x3 = 4x2 → NO! → x = 4

• x3 = 4x2 → SÍ! → x3 - 4x2 = 0 → x2·(x-4) = 0 → x=0 i x=4

El 15% de … → 0,15·…

Augment/interès del 15% → ...·1,15

• Any rere any → funció exponencial ...·1,15 x

Rebaixa/retenció del 15% → ...·0,85

• Any rere any → funció exponencial ...·0,85 x

Eixos

• Eix horitzontal = X = abscisses

• Eix vertical = Y = ordenades

Si es demana…

• Abscissa → només cal la coordenada x

• Punt → calen les dues coordenades (x,y)

Arrel d’una funció → funció = 0 (equació)

• x=4 és una arrel de f(x) → f(4) = 0

Funció talla l’eix d’abscisses → funció = 0

La funció passa pel punt (3,-5) → x=3 , y=-5

Si hem de substituir un nombre negatiu en una funció o equació, sempre amb parèntesis

Teorema de Bolzano. Si f(x) és contínua i f(a) i f(b) tenen signe diferent, aleshores existeix algun valor c, entre a i b, per al qual f(c)=0

Asímptotes

• Verticals → en els punts que no són del domini

• Horitzontals → límits x → +∞ , x → -∞

Estudiar el signe d’una funció → fer la taula de signes, no de f ’(x), sinó de f(x)

Per fer qualsevol taula → funció = 0 i punts de discontinuïtat

Les expressions del tipus “créixer indefinidament”, “amb el pas dels anys”... equivalen a calcular límit x → +∞

Increment mitjà o taxa de variació mitjana = (f(b)-f(a)) / (b-a)

• Increment de 3000 unitats en 2 anys, és un increment mitjà de 1500 unitats anuals

ANÀLISI DE f ’

• Funció monòtona = funció sempre creixent o sempre decreixent

• Intervals de monotonia = intervals de creixement i decreixement

• Extrem relatiu = màxim o mínim

• Màxim, mínim, extrem relatiu → f ’ = 0

  • Màxim en x = 2 → f’(2) = 0

RECTA TANGENT

• Tangent , pendent de la recta tangent... → f ’

• Recta tangent horitzontal → f ’ = 0

• La recta tangent a f(x) és paral·lela a y=3x-5 → f ’ (x) = 3

• La recta tangent a la gràfica de la funció en el punt d’abscissa x = ... és paral·lela a la recta g = … → f ’ = g ’

• Equació de la recta tangent  y-y0 =m·(x-x0)

  • L’expressió y-3 = 2·(x+1) ja seria correcta, no cal fer-hi operacions.

• Pendents perpendiculars → m1·m2 = -1

• Funcions tangents entre sí → f = g ; f ’ = g ’

• La recta tangent a la gràfica de la funció f(x) en el punt d’abscissa x = ... és la recta g = … → f = g , f ’ = g ’

ANÀLISI DE f ‘’

• Punt d’inflexió → f ’’ = 0

  • Punt d’inflexió en x = 5 → f’’(5) = 0

• No tots els punts d’inflexió es veuen a la primera derivada

COMPTE! És molt important no confondre f amb f ’

Comprovar el domini de definició de la funció (de vegades, la x només pot prendre valors entre … i … )

• En molts problemes, els valors x negatius no tenen sentit

Cal comprovar si és màxim o mínim

• taula de signes de f ’

• signe de f ’’

Si f(x) és una arrel quadrada, n’hi ha prou buscant el màxim d’allò que hi ha dins de l’arrel.

• “El màxim de √(-x2+5x+1) s’assoleix en el mateix lloc que el màxim de -x2+5x+1”

Benefici = Ingressos - Costos

Preu unitari o preu mitjà = preu / quantitat d’unitats

Problemes en què quan una variable puja, l’altra baixa → funció de 2n grau

• ...per cada euro que augmentem el preu del menú, disminueix en 4 el nombre de clients... → (10+x)·(120-4x)

Punts de tall abans de calcular àrees

• 1 funció → f(x) = 0

• 2 funcions → f(x) = g(x)

• 3 funcions o més → cal representar-les abans

No surten funcions racionals que calgui descompondre

El producte de matrius no és commutatiu. A·BB·A

Factor comú en matrius…

• A2+A = A·(A+I)

• A2+2A = A·(A+2·I)

MATRIU INVERSA

• Si arribem a una expressió A·B=I, aleshores B=A-1 i A=B-1

• Invertible = que té inversa (det ≠ 0)

  • Pot ser útil la propietat: det(A)·det(B) = det(AB)

• Per comprovar que una matriu té inversa, cal comprovar:

  • det A ≠ 0

  • Existeix una matriu B tal que A·B=Id i B·A=Id

• Aïllem pel costat correcte

  • X·A = B → X = B·A-1

  • A·X = B → X = A-1·B

Com a norma general:

• Si no hi ha paràmetres → Gauss

• Si hi ha paràmetres → determinants

Sistema amb paràmetres → det(A) = 0 → valors crítics

Per justificar de quin tipus és un sistema d’equacions…

• Rang A

• Rang A’

• → Teorema de Rouché-Frobenius

SCI → es podria deixar la solució amb la incògnita alliberada, sense canviar-la per un paràmetre.

• Per exemple, x = 2z-3 ; y= z+1 ; z = z

Punt pertany a… → substituir x, y, z

Per buscar punts…

• D’una recta → 1 grau de llibertat → donem 1 valor

• D’un pla → 2 graus de llibertat → donem 2 valors

Punt de tall → sistema d’equacions

Punt genèric, si són rectes diferents, han de tenir paràmetres diferents

• “Els punts de la recta tenen la forma Pr = ( 2+t , 3-4t , 1+2t )”

Equidista → mateixa distància

Angles → producte escalar (COMPTE si són recta i pla → 90º-...)

Perpendicular → producte escalar = 0

Distància de punt a pla, cal que el terme independent estigui a l’esquerra

• x + 2y - 3z = 8 →  x + 2y - 3z - 8 = 0

Equacions amb valors absolut → desdoblar en dues equacions

• | 2m + 5 | = 7 → 2m+5=7  i  2m+5=-7

Es resta 0,25 per no detallar el procediment de càlcul (per exemple, d'una equació de 2n grau o d'un determinant)

Es pot utilitzar bolígraf de qualsevol color excepte vermell i verd (per exemple, per al problema de programació lineal)

No us espanteu pel vocabulari. De vegades s’utilitzen expressions una mica diferents a les que hem utilitzat a classe.

• Si sembla programació lineal, és programació lineal

Comproveu que... / Demostreu que... → el que ve a continuació és cert

Comproveu si... / Demostreu si... → el que ve a continuació pot ser cert o no

Valors crítics → discussió

Punts singulars → màxims, mínims, punts d’inflexió

Teoremes i regles de càlcul amb nom propi

• Teorema de Bolzano (funcions)

• Regla de Barrow (integrals)

• Mètode de Gauss (matrius)

• Regla de Sarrus (determinants)

• Mètode de Cramer (sistemes d’equacions)

• Teorema de Rouché-Frobenius (sistemes d’equacions)

Trepitjar “sobre segur”

• Productes notables (3-5x)2... millor fer tota l'operació (3-5x)·(3-5x)

• Fer “controls de qualitat”

  • Per saber si estem fent bé x3+2x2+x = x·(x2+2x+1), substituïm per x=4 i comprovem

Vigilar possibles “trampes” a l’enunciat… 2x+z-3y=1

Compte amb la caligrafia…

• Z , 2

• S s , 5

• Y , 4

• b , 6

• B , 8

• λ , 1

Comproveu la calculadora en DEG (graus) o RAD (radiants)

• Funcions trigonomètriques → angles en radiants (RAD)

• Geometria → angles en graus (DEG)

La prioritat és resoldre l’exercici i arribar al final. Quan acabem, el temps que ens sobri ja completarem els càlculs.

Recordar, per si de cas...

• Poden utilitzar diverses lletres com a paràmetre: a,b,c,r,s,t,k,m,α,β,λ,μ...

• Cosec = 1 / sin

• Sec = 1 / cos

• Cotg = 1 / tg

Operacions amb fraccions

Equacions de grau 2, 3...

Sistemes d’equacions

Fer taules de valors (derivada, funció…)

Derivada d’una funció en un punt

Integral definida (càlcul d’àrees)

Rang d’una matriu (deducció a partir de “forma esglaonada”)

Matriu inversa

Determinants

Producte escalar ·

Producte vectorial x

f(x) → f ‘(x) = 0

Matriu, vectors, rectes... amb paràmetres → Determinant = 0

Vectors, rectes… amb paràmetres → producte escalar = 0

Per construir rectes o plans → Producte vectorial u x v

“Keep calm”

“Festegeu” amb el corrector

• Bona lletra

• Bona presentació

• En bolígraf

• Justifiqueu tots els passos

Esgoteu tot el temps de l’examen

Intenteu no deixar respostes en blanc

Assegureu-vos que heu respost la pregunta